1998年全国大学生数学建模竞赛题

B题灾情巡视路线

下图为某县的乡（镇）、村公路网示意图，公路边的数字为该路段的公里数。

今年夏天该县遭受水灾。为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视。巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。

(1) 若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。

(2) 假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V=35公里/小时。要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。

(3) 在上述关于T , t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。(4) 若巡视组数已定(如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳巡视路线的影响。

灾情巡视路线模型

摘要

本文将求最佳巡视路线间题转化为图论中求最佳推销员回路（哈米尔顿回路）的问题,并用近似算法去寻求近似最优解。对赋权图中的路径分组问题定义了均衡度用以衡量分组的均衡性。对问题1和问题2先定出几个分的准则进行初步分组,并用近似算法求每一组的近似最佳推销员回路,再根据均衡度进行微调,得到较优的均衡分组和每组的近似最佳推销员回路。对问题1，运用求任意两点间最短路的Floyd算法,得出总路程较短且各组尽可能均衡的路线,各组的巡视路程分别为公里,公里,公里,总路程公里。对问题2,证明了应至少分为4组,并求出了分为4组时各组的较优巡视路线,各组的巡视时间分别为小时,小时,小时,小时。对问题3,求出完成巡视的最短时间为小时,并用较为合理的分组的准则,

分成22个组对问题4，研究了在不影响分组的均衡条件下, T,t,V的允许变化范围,并得出了这三个变量的关系式,并由此对分三个组的情况进行了具体讨论。

关键词：最佳推销员回路问题哈米尔顿回路赋权图近似算法均衡度

一、问题重述

1998年夏天某县遭受水灾。为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各17个乡（镇）、35个村巡视。巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。

(1) 若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。

(2) 假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，

汽车行驶速度V=35公里/小时。要在24小时内完成巡视，至少应分几组；

给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。

(3) 在上述关于T , t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时

间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。

(4) 若巡视组数已定(如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳

巡视路线的影响。

二、问题分析

本题给出了某县的公路网络图，要求的是在不同的条件下，灾情巡视的最分组方案和路线.将每个乡（镇）或村看作一个图的顶点，各乡镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边，各条公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所给公路网就转化为加权网络图，问题就转化图论中一类称之为旅行售货员问题，即在给定的加权网络图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一次再回到点O，使得总权（路程或时间）最小.

本题是旅行售货员问题的延伸－多旅行售货员问题.本题所求的分组巡视的最佳路线，也就是m条经过同一点并覆盖所有其他顶点又使边权之和达到最小的闭链（闭迹）.如第一问是三个旅行售货员问题，第二问是四个旅行售货员问题.

众所周知，旅行售货员问题属于NP完全问题，即求解没有多项式时间算法.

显然本问题更应属于NP 完全问题. 有鉴于此，一定要针对问题的实际特点寻找简便方法，想找到解决此类问题的一般方法是不现实的，对于规模较大的问题可使用近似算法来求得近似最优解.

三、模型假设

1．汽车在路上的速度总是一定，不会出现抛锚等现象；忽略天气、故障等因素的影响。

2．巡视当中，在每个乡镇、村的停留时间一定，不会出现特殊情况而延误时间； 3．每个小组的汽车行驶速度完全一样；

4．分组后，各小组只能走自己区内的路，不能走其他小组的路，除公共路外。 四、符号说明

(,)w i j ……………………………………..任意两点i ，j 间的间距。

i e ……………………………………..各点的停留时间，即点权。

V ………………………………………汽车行驶速度。

ij d ………………………………从任意点i 至点j 的时间，则(,)/ij d w i j V =。

五、模型建立与求解

公路网图中，每个乡（镇）或村看作图中的一个节点，各乡（镇）、村之间的公路看作图中对应节点间的边，各条公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所给公路网就转化为加权网络图，问题就转化为在给定的加权网络图中寻找从给定点O 出发，行遍所有顶点至少一次再回到O 点，使得总权（路程或时间）最小，此即最佳推销员回路问题。

在加权图G 中求最佳推销员回路问题是NP —完全问题，我们采用一种近似算法求出该问题的一个近似最优解，来代替最优解，算法如下：

算法一 求加权图G （V ，E ）的最佳推销员回路的近似算法：

1． 用图论软件包求出G 中任意两个顶点间的最短路，构造出完备图

),(E V G ''，()E y x '∈∀,， ()()y x Mind y x G ,,=ω； 2． 输入图G '的一个初始H 圈；

3． 用对角线完全算法（见[23]）产生一个初始H 圈； 4． 随机搜索出G '中若干个H 圈，例如2000个；

5． 对第2、3、4步所得的每个H 圈，用二边逐次修正法进行优化，得到近似最佳H 圈；

6． 在第5步求出的所有H 圈中，找出权最小的一个，此即要找的最佳H 圈