数学建模 投资的风险和效益

多目标优化

摘要：对市场上的多种风险投资和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略

的的设计需要考虑连个目标，总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，然而，这两目标并不是相辅相成的，在一定意义上是对立的。

模型一应用多目标决策方法建立模型，以投资效益没目标，对投资问题建立个一个优化模型，不同的投资方式具有不同的风险和效益，该模型根据优化模型的原理，提出了两个准则，并从众多的投资方案中选出若干个，使在投资额一定的条件下，经济效益尽可能大，风险尽可能小。

模型二给出了组合投资方案设计的一个线性规划模型，主要思想是通过线性加权综合两个设计目标：假设在投资规模相当大的基础上，将交易费函数近似线性化，通过决策变量化解风险函数的非线性。

【关键字】：经济效益 线性规划模型 有效投资方案 线性加权

1. 问题重述

投资的效益和风险(1998年全国大学生数学建模竞赛A 题)

市场上有n 种资产（如股票、债券、…）S i ( i=1,…n) 供投资者选择，某公司有数 额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n 种 资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si 的平均收益率为i r 并预测出购买Si 的风险损失率为i q 。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金 购买若干种资产时，总体风险用所投资的S i 中最大的一个风险来度量。

购买S i 要付交易费，费率为i p ，并且当购买额不超过给定值i u 时，交易费按购买i u 计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是0r , 且既无交易费又无风险。（0r =5%） 已知n = 4时的相关数据如下：

试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M ，有选择地购买若干种资 产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。

2模型的假设与符号说明

2.1模型的假设：

（1）在短时期内所给出的平均收益率,损失率和交易的费率不变。

（2）在短时期内所购买的各种资产（如股票，证券等）不进行买卖交易。即在买入后就不再卖出。

（3）每种投资是否收益是相互独立的。

（4）在投资的过程中，无论盈利与否必须先付交易费。

3问题分析

由于资产预期收益的不确定性，导致它的风险特性，在这里投资Si 的平均收益率为xiri ，风险损失为xiqi 。要使投资者的净收益尽可能大，而风险损失尽可能小，第一个解决方法就是进行投资组合，分散风险，以期待获得较高的收益，模型的目的就在于求解最优投资组合，当然最优投资还决定于个人的因素，即投资者对风险，收益的偏好程度，怎样解决二者的相互关系也是模型要解决的一个重要问题。

本题所给的投资问题是利用原给的数据，通过计算分析得到一种尽量让人满意的投资方案，并推广到一般情况，利用第二问进行验证，下面是实际要考虑的两点情况：

（1） 在风险一定的情况下，取得最大的收益 （2） 在收益一定的情况下，所冒的风险最小

当然，不同的投资者对利益和风险的侧重点不同，将在一定的范围内视为正常，所以只需要给出一种尽量好的模型，即风险尽量小，收益尽量大，这是一般投资者的心里。

对于模型一，在问题一的情况下，公司可对五种项目投资，其中银行的无风险，收益r0=5%为定值，在投资期间是不会变动的，其它的投资项目虽都有一定的风险，但其收益可能大于银行的利率，我们拟建立一个模型，这个模型对一般的投资者都适用，并根据他们风险承受能力的不同提出多个实用于各种类型人的投资方案（一般投资者分为：冒险型与保守型。即越冒险的人对风险损失的承受能力越强）。

对于模型二：由于资产预期收益的不确定性，导致它的风险特性，将资产的风险预期收益率用一定的表达式表示出来，在这里，投资Si 的平均收益为X(i)*r(i),风险损失为r(i)*q(i).要使投资者的净收益尽可能大，而风险损失尽可能小。

4模型的建立与求解

投资者的净收益为购买各种资产及银行的收益减去此过程中的交易费用。 在对资产Si 进行投资时，对于投资金额xi 的不同，所付的交易费用也有所不同步投资时不付费，投资额大于ui 时交易费为xipi ，否则交易费为uipi ，记

i

i i 0x 0u 0r ;i i i

i i x x x u ϕ=⎧⎪

=<<⎨⎪>⎩，；

即题中所给的交易费的计算数额是一个分段函数，在实际的计算中不容易处理，但我们注意到，在表1中，ui 的数值非常小，∑

i

u =103+198+52+40=387元，

对其中最大的ui 来说，u2=198<200元，而已知M 是一笔相当大的资金，同时交

易费率pi 的值也很小，即使在xi

4.1模型一：问题分析与求解

设购买i S 的金额为i x ，所付的交易费i c (i x )为0c (0x )=0。

00()0(1~)i i i i i i i i i i i x c x p u x u i n p x x u

=⎧⎪

=<<=⎨⎪≥⎩ (1)

因为投资额M 相当大，所以总可以假设对每个i S 的投资i x ≥i u ，

这时（1）式可化简为

()(1~)i i i i c x p x i n == (2)

对Si 投资的净收益:

()()()i i i i i i i i i R x r x c x r p x =-=- (3)

对i S 投资的风险:

()i i i i Q x q x = （4）

对i S 投资所需资金（投资金额i x 与所需的手机费i c (i x )之和）即

()()(1)i i i i i i i f x x c x p x =+=+ (5)

当购买i S 的金额为i x （i=0~n ）,投资组合x=(0x ,1x ,……，n x )的净收益总额

0()()n

i i i R x R x ==∑ (6)

整体风险：1()max ()i i i n Q x Q x ≤≤= (7)

资金约束：0

()()n

i i i F x f x M ===∑ (8)

多目标数学规划模型

净收益总额R( x)进、尽可能大，而整体风险Q(x)又尽可能小，则该问题的数学模型可规划为多目标规划模型，即

max ()min ().()0

R x Q x s tF x M x ⎧⎪⎪

⎨

=⎪⎪≥⎩ (9) 模型（9）属于多目标规划模型，为了对其求解，可把多目标规划转化为单目