1005010333-王艳丽-论复变函数中支点的地位与作用

毕业论文（设计）题目：论复变函数中支点的地位和作用

学生姓名：王艳丽

学号：1005010333

所在院系：数学与计算科学系

专业名称：数学与应用数学专业

届次：2014 届

指导教师：霍玉洪

淮南师范学院本科毕业论文（设计）

诚信承诺书

1.本人郑重承诺：所呈交的毕业论文（设计），题目《

》是本人在指导教师指导下独立完成的，没有弄虚作假，没有抄袭、剽窃别人的内容；

2.毕业论文（设计）所使用的相关资料、数据、观点等均真实可靠，文中所有引用的他人观点、材料、数据、图表均已注释说明来源；

3. 毕业论文（设计）中无抄袭、剽窃或不正当引用他人学术观点、思想和学术成果，伪造、篡改数据的情况；

4.本人已被告知并清楚：学院对毕业论文（设计）中的抄袭、剽窃、弄虚作假等违反学术规范的行为将严肃处理，并可能导致毕业论文（设计）成绩不合格，无法正常毕业、取消学士学位资格或注销并追回已发放的毕业证书、学士学位证书等严重后果；

5.若在省教育厅、学院组织的毕业论文（设计）检查、评比中，被发现有抄袭、剽窃、弄虚作假等违反学术规范的行为，本人愿意接受学院按有关规定给予的处理，并承担相应责任。

学生（签名）：

日期：年月日

目录

引言 (1)

1预备知识 (2)

1.1支点的定义 (2)

1.2无穷远点（∞的引入） (2)

2支点在多值函数中的作用 (4)

2.1在多值函数中的作用 (4)

2.1.1支点在作可单值分支中的作用 (4)

2.1.2 支点在单值解析分支中的作用 (6)

2.2有限支点在复变函数中的地位及作用 (9)

2.3无穷远点在复变函数中的地位与作用 (12)

2.3.1 有关无穷远点的规定 (12)

2.3.2 无穷远点在解析函数奇点中的作用及地位 (14)

2.4支点在留数中的作用与地位 (15)

2.4.1无穷远点∞留数的计算方法 (16)

2.4.2 支点在多值函数的积分中的应用 (19)

结论 (23)

参考文献 (23)

淮南师范学院2014届本科毕业论文

论复变函数中支点的地位与作用

学生：王艳丽（指导老师：霍玉洪）

（淮南师范学院数学与计算科学系）

摘要：本文先对支点的定义进行介绍，再介绍无穷远点的引入及其相关知识点并结合例题加以说明支点在复变函数中的地位与作用。紧接着介绍支点在多值函数中的应用和有限支点在复变函数中的作用，最后再通过相关定理及例题说明支点在留数中的应用。

关键词:支点；有限点；无穷远点；留数

The position and role of the functions of a complex

variable fulcrum

Student: Yanli Wang (Faculty Adviser: Yuhong Huo) (Department of Mathematics and Computational Science, Huainan Normal University) Abstract: The paper introduce defines of fulcrum firstly, and then introduce the infinite point and related knowledge. Soon afterwards it combines

with examples to illustrate the fulcrum in complex status and function. And

then introduce the fulcrum in the application of multi value function

and limited fulcrum in the complex variable function. In the end, it adopts

the relevant theorems and examples to illustrate the application of the

fulcrum in the residue.

Keywords: fulcrum; the finite point; infinite point; residue

引言

如果把实数域中的初等函数推广到复数域中，那么这些初等函数的性质也

ln都变成了会跟着其发生相应的一些变化，譬如根式函数w=n z和对数函数w=z

多值函数。在多值函数的复平面上，如果用简单曲线把该多值函数的全部支点依次连接起来并沿着它割破z平面，那么割破了的z平面就构成了一个以这条割

论复变函数中支点的地位与作用

线为边界的区域，记作G，因此在G内就可以分出该多值函数的单值解析分支。

然而我们在G内任意选取一点z

0，并指定z

的一个辐角值，那么在G内任意的

点z,均可由z

的辐角，连续变化而唯一确定z的辐角。

当把数学分析中的初等函数的解析推广到复数域时,然而就会有些单值函数(譬如x

ln)随之派生出多值函数，而那些原本应该属于实数域中的多值函数就会随之变为复数域中的多值函数，由此可以看出，当且仅当在复数域内讨论这些多值函数才可以真正的体现出它们的真实本质。

因此在复变函数论中，多值函数的讨论占有重要位置，可见支点在复数函数中的重要性和地位。

1预备知识

1.1支点的定义

定义：若存在一点a（可以是∞），设多值函数f(z)在该点的某一充分小的去心邻域G-{a}内有定义,如果对于G-{a}中的任意一条不包含a的简单封闭曲线L，当变点z从L上一点出发，绕简单闭曲线L连续变动一周而回到其出发点时，此时f(z)的函数值没有发生变化，反之，若总存在一条包围点a的简单闭曲线L，使得当变点z绕a点旋转一圈时，使多值函数f(z)从其一支变为另一支,也就是说，当变点z回到其出发点的位置时，函数值与原来值相异，那么我们就称点a为f(z)的一个支点[1]。

1.2 无穷远点（∞的引入）

我们都知道，复数有一种几何表示法, 即任何一个复数都可以用复平面上的一个点来表示，如果借用地图制图学中将地图投影到坐标平面上的测地投影法,可以建立复平面与球面上的点的对应[2]。故，我们就用这种对应关关来说明复变函数中引入∞的合理性。