圆锥曲线的综合问题(含答案)

课题：圆锥曲线的综合问题 【要点回顾】

1．直线与圆锥曲线的位置关系

判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2

＋bx ＋c ＝0(或ay 2

＋by ＋c ＝0)．

若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．

若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题

设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或 1＋1

k

2|y 1－y 2|.

【热身练习】

1．(教材习题改编)与椭圆x 212＋y 2

16＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( )

A ．y 2

－x 23＝1 B.y 2

3－x 2

＝1 C.34x 2－38

y 2＝1

D.34y 2－38

x 2

＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－x 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)，

则⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＋

b 2＝

c 2，

c

a ＝2，

c ＝2，

得a ＝1，b ＝ 3.故双曲线方程为y 2

－x 2

3

＝1.

2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2

4＝1的位置关系是( )

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．不确定

解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．

3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2

＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条

解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．

4．过椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点

为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________．

解析：由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，所以B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐

标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，则c 2＝2b 2

，则c 2a 2＝23，故e ＝63.

5．已知双曲线方程是x 2

－y 2

2＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2的

中点，则此直线方程是________________．

解析：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21

－y 212＝1，x 22

－y 22

2＝1，得k ＝y 2－y 1

x 2－x 1

＝

x 2＋x 1y 2＋y 1＝2×4

2

＝4，

从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2

－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．答案：4x －y －7＝0 【方法指导】

1.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．

2．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”． 【直线与圆锥曲线的位置关系】

[例1] (2012·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为2

2

.直线y

＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .

(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为

10

3

时，求k 的值． [自主解答] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝2，c a ＝2

2，

a 2

＝b 2

＋c 2

，

解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2

2

＝1.

(2)由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝k x －，x 24＋y

2

2

＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2

－4＝0.

设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则

y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 2

1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2

－4

1＋2k 2，

所以|MN |＝

x 2－x 12

＋y 2－y 1

2

＝＋k

2

x 1＋x 2

2

－4x 1x 2]＝

2

＋k 2＋6k

2

1＋2k

2

.

又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝

|k |1＋k

2

，