数学中的巧算1——特殊数

1.特殊数题(1)21－12

当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。

因为这样的两位数减法，最低起点是21－12，差为9，即(2－1)×9。减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故31－13＝(3－1)×9＝18。减数从12—89，都可类推。

被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……，常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数，其差不变。如

210－120＝(2－1)×90＝90，

0.65－0.56＝(6－5)×0.09＝0.09。

(2)31×51

个位数字都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。

若十位数字的和满10，进1。如

证明：(10a＋1)(10b＋1)

＝100ab＋10a＋10b＋1

＝100ab＋10(a＋b)＋1

(3)26×86 42×62

个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面补0。

证明：(10a＋c)(10b＋c)

＝100ab＋10c(a＋b)＋cc

＝100(ab＋c)＋cc (a＋b＝10)。

(4)17×19

十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。

原式＝(17＋9)×10＋7×9＝323

证明：(10＋a)(10＋b)

＝100＋10a＋10b＋ab

＝[(10＋a)＋b]×10＋ab。

(5)63×69

十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。

原式＝(63＋9)×6×10＋3×9

＝72×60＋27＝4347。

证明：(10a＋c)(10a＋d)

＝100aa＋10ac＋10ad＋cd

＝10a[(10a＋c)＋d]＋cd。

(6)83×87

十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。如

证明：(10a＋c)(10a＋d)

=100aa＋10a(c＋d)＋cd

＝100a(a＋1)＋cd(c＋d＝10)。

(7)38×22

十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。

原式＝(30＋8)×(30－8)

＝302－82＝836。

(8)88×37

被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。

(9)36×15

乘数是15的两位数相乘。

被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10；是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。

＝54×10＝540。

55×15

(10)125×101

三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。125＋1＝126。

原式＝12625。

再如348×101，因为348＋3＝351，

原式＝35148。

(11)84×49

一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。

原式＝8400÷2－84

＝4200－84＝4116。

(12)85×99

两位数乘以9、99、999、…。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。

原式＝8500－85＝8415

不难看出这类题的积：

最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差；

最低位上的两位数，是100与被乘数的差；

中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。

证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0)，则

如果被乘数的个位数是1，例如

31×999

在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。

71×9999＝709999－70＝709929。

这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a＋1)的形式，由9组成的自然数可表示为(10n－1)的形式，其积为

(10a＋1)(10n－1)＝10n＋1a＋(10n－1)－10a。

(13)1÷19

这是一道颇为繁复的计算题。

原式＝0.052631578947368421。

根据“如果被除数不变，除数扩大(或缩小)若干倍，商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果。

原式转化为0.1÷1.9，把1.9看作2，计算程序：

(1)先用0.1÷2＝0.05。

(2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除

如此除到循环为止。

仔细分析这个算式：

加号前面的0.05是0.1÷2的商，后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1＝0.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。这样我们又可把除数看作2继续除，依此类推。

除数末位是9，都可用此法计算。

例如1÷29，用0.1÷3计算。

1÷399，用0.1÷40计算。