数学建模入门精彩试题极其问题详解

1.你要在雨中从一处沿直线走到另一处，雨速是常数，方向不变。

你是否走得越快，淋雨量越少呢？

2.假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书

馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？

3.一人早上6：00从山脚A上山，晚18：00到山顶B；第二天，早

6：00从B下山，晚18：00到A。问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？

4.如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？

5.兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家

中的狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。分析半小时后，狗在何处？

6.甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面，并事先

约定先到者在那等待10分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？

7.设有n个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至

少存在两人他们认识的人一样多。

8.一角度为60度的圆锥形漏斗装着10

端小孔的

面积为0.5

9.假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜

坡，计算这种情

下的刹车距离。如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？

10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包

扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。

:顶=1：a:b ，选v>0,而设语

L(

1q -+v x ),v ≤x Q(v)=

L(

v x -q +1),v>x

2.解：由于教授每天借一本书，即一周借七本书，而图书馆平均每周

收回书的1/10，设教授已借出书的册数是时间t 的函数小x(t)的函数，则它应满足（时间t 以周为单位）

其中 初始条件表示开始时教授借出数的册数为0。

解该线性题得X(t) =70[1-e t 10 ]

由于当t ∞时，其极限值为70,故在充分长的时间内，一位普通教授大约已借出70本书。

3.解：我们从山脚A 点为始点记路程，设从A 到B 路程函数为f （t ）,

即t 时刻走的距离为f （t ）;同样设从B 点到A 点的路程为函数g （t ）。由题意有

f(8)=0,f(18)=|AB|，g （8）=|AB|，g （18）=0；

令h （t ）= f （t ）--g （t ），则有h(8)= f(8) -- g （8）=-- |AB||<0, h(6)=f(6) -- g(6)= | AB|>0

又注意f （t ），g （t ）都是时刻t 的连续函数，因此h （t ）也是时刻t 的连续函数，由连续函数的介质定理，一定存在某时刻t 。使h （t 。）=0，即f （t 。）=g （t 。）

所以存在一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点。

4.解：设I 为平面上任一封闭曲线，p 为平面上一点（不妨设p 在I 内），则存在已过点p 的直线，将I 所围的面积二等

分，如下图

设l为过点p的一条直线，若S1= S1，则得证，否则设S1 >S2,l与x轴夹角为a，让l逆时针绕p旋转S2 ，S2，则S1，S2随a的变化连续的变化，记其面积为S1a），S2（a）,则记S1（a）= S1, S2（a）= S2,

f(a+∏)<0,且f（a）连续，由连续函数的介值定理知，在（0，∏）存在ā使f（ā）=0，a=ā对应的直线即为所求。

5．解：哥哥与妹妹的速度分别为3公里/小时及2公里/小时，因此一小时后，哥哥与妹妹都已到家，而狗一直在二者之间，因此狗已到家。

6．解：设甲乙两人分别在12点x分及y分等可能到达到达约定地点，显然0≤x≦60,0≦y≦60，若两人相遇则有|x-y|≦10，这是一个几何概率问题，其中样本空间为A={（x，y）|≤x≦60,0≦y≦60}

它构成了空间直角标系中的正方形，相遇空间为

G={（x，y）, |x-y|≦10}

其图形见上图阴影部分，Sa，Sg分别表示正方形、阴影部分的面积，从而相遇的概率为P=Sa/Sg=(60*60-2*1/2*50*50)/(60*60)≈0.306 7. 证明：设第i个人认识的人为s（i），则s（i）∈{0.1.2.3……N-1}

设没有两个人认识的人一样多，则s（1），s（2），……互不相等，则s（i）取遍集合{0、1、2……N-1}中的一个值，即至少存在某两个人k1，k2使s（k1）=N-1，s（k2）=0，而对第ki个人，由于（ki）=N-I，故他必然认识第k2人，故s（k）至少为1，与s（k2）=0矛盾，得证。

8．解：由水力学定律可知Q=dv/dt=0.62S gh

2，其中0.62为流量系数S为空口横截面，g为重力加速度，h为从从空口到水面的高度，故有dv=0.31gh

2dt，

另一方面，在△t 时间内，水面由h 降至h+dh （dh<0）,则仅有 dv=-∏r*r*dh=-∏/3*h*h*dh, 所以有0.31gh 2dt=-∏/3*h*h*dh ，再由h(0)=10,联立求得其解为

t=(∏/3)*(2/5)*1/(0.31g 2(5.210-5.2h ,当水流完时，h=0， 解得t=2∏/(15*0.31g 2)*5.210

9．解：设t=0时为开始刹车的时刻，x （t ）为从t=0到t 时刻所幸的

距离，由刹车时所受的制动力为-uW

1100*100100+-W*1100*1001+，其中W 为车重，故x （t ）满足g w

*d （dt/dt ）/dt=-uW 错误！未找到引用源。-W*1

100*1001+ 又由x （0）=0，dx/dt|t=0=v 。

解得x （t ）=-1/2（1100*100100+ug +1100*100+g ）t 2+v 。*t 故制动时间为

t b =v 。/(1100*100100+ug +1100*100+g )

因此刹车距离为

x(t b )=1/2*[ v 。/(1100*100100+ug +1100*100+g )]

同理可得汽车由西驶来时，刹车距离为1/2*[ v 。/(1100*100100+ug +1100*100+g )]

10.解：假设管道是直的圆的、粗细一样，带子宽度一样。

参数宽为W ，圆管周长为C ，缠绕角度为a,