高等代数§1.5 因式分解定理

这与 p( x)在 P上不可约矛盾.故f ( y)在 P上不可约.
2、性质 命题1 设 p( x) P[x],( p( x)) 1, 则 p( x)在P上不可约p( x)在P 上的因式只有 c,cp( x), 其中c 0.
命题2 若p( x)在P上不可约, 则f ( x) P[x], 必有p( x) | f ( x) 或 ( p( x), f ( x)) 1.
其中i min ri , li , i 1,2,L , s.
(2)
f ( x), g( x)

p u1 1
(
x
)
p2
u2
(
x
)L
psus ( x),
其中 ui max ri ,li , i 1,2,L , s.
(3) f ( x) g( x) ri li , i 1,2,L , s.
一、不可约多项式 1、定义
定义1 设 p( x) P[x]且( p( x)) 1,若 p( x) 不能 不能表示成数域 P上两个次数比 p( x) 低的多项 乘积，则称 p( x)为数域 P上的不可约多项式. 否则，称 p( x)为数域 P上的可约多项式.
说明： ① 一次多项式总是不可约多项式. ② 一个多项式是否不可约依赖于系数域. ③ (不)可约多项式前提是次数大等于1.
命题3 若p( x)是数域P 上不可约多项式, 则 f ( x), g( x) P[x], 由 p( x) | f ( x)g( x)可推出 p( x) | f ( x)或 p( x) | g( x).
思考: 对于次数大等于1的多项式p( x),命题2,3的 逆命题是否成立.
二、因式分解及唯一性定理
pi ( x) ciqi ( x) 其中 ci (i 1, 2,L , s) 是一些非零常数．
标准分解式
f ( x) P( x), 若 ( f ( x)) 1 ,则 f ( x)总可表成
f
(
x)

cp1r1
(
x)
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p r2 2
(
x)L
psrs ( x)
其中c为 f ( x) 的首项系数, pi ( x)为互不相同的, 首项系数为1的不可约多项式，ri ¢ . 称之为 f ( x) 的标准分解式.
例2
若
f
(
x)

ap1r1
(
x)
p r2 2
(
x)L
psrs ( x),
g(
x)

bp1l1
(
x
)
p l2 2
(
x
)L
psls ( x),
其中 ri 0, li 0且ri li 0, pi ( x) 为互不相同的
首1不可约多项式,
则有 (1) f ( x), g( x) p11 ( x) p22 ( x)L pss ( x),
说明: ① 若已知两个多项式 f ( x), g( x)的标准分解式, 则可直接写出( f ( x), g( x)),[ f ( x), g( x)].
② 虽然因式分解定理在理论有其基本重要性， 但并未给出一个具体的分解多项式的方法．
实际上,对于一般的情形普通可行的分解 多项式的方法是不存在的.而且在有理数域上, 多项式的可约性的判定都是非常复杂的.
定理1 f ( x) P( x), 若 ( f ( x)) 1 ,则 f ( x)可 唯一地分解成数域 P上一些不可约多项式的乘积. 所谓唯一性是说，若有两个分解式
f ( x) p1( x) p2( x)L ps ( x) q1( x)q2( x)L qt ( x) 则 s t，且适当排列因式的次序后，有
使 f ( y) g1( y)g2( y),其中( gi ( y)) ( f ( y)),i 1, 2.
令 y x b ,则
a
p( x) f (
其中gi
(
x
a
b
)

x b) a
P[ x]且
g1 (
x
a
b )g2(
x
a
b)
xb
( gi ( a )) ( gi ( y)) ( f ( y)) ( p( x)).
§1.5 因式分解定理
问题的引入 x4 4 的因式分解？
x4 4 x2 2 x2 2
（在 ¤ 上）
x 2 x 2 x2 2 （在 ¡ 上）
x 2 x 2 x 2i x 2i
（在 £ 上） 因式分解与多项式系数所在数域有关。
问题：数域P 上，不是不可约的多项式是否必是
可约多项式？
(×)
P 上多项式
常值多项式 次数大等1
零多项式
非零常值多项式，即 零次多项式 不可约多项式
可约多项式
例1 设 p( x)是数域P 上的不可约多项式，a,b P
且a 0, 判断 f ( y) @p(ay b)在 P上是否可约.
证: 假设 f ( y)在 P上可约,则存在 g( y),h( y) P[ y],