画法几何 点线面的相对位置

2.4
线面相对位置
一般面与投影面垂直面互交
求交线：
可见性判别： m0′
a′
m′
e′
n′
f′
b′
c′
d′
c
d m0 m
b
n e
f
a
【例2.30】如图所示，作△ABC与铅垂的矩形DEFG的交线， 并表明可见性。
求交线：
可见性判别：
a′ d′ g′ i k e′
c′
f′ c
b′
a k d(e)
i g (f) b
f
2
c
a
1
e
二、平面与平面垂直
几何条件： 一个平面上有一条直线垂直于另一平面或一平面通 过另一平面的法线。
Q
M P L2
基本作图： ① 判别两平面是否垂直 ② 过空间一直线作已知平 面的垂面
N L1
【基本作图一】判别两平面是否垂直 a′
△ABC⊥△EFG g′ b′
e′
1′
2′
c′ c
1 g 2
【例2.31】如图所示，作平行于侧面的△ABC和垂直于正 面的△DEF的交线，并表明可见性。
求交线：
可见性判别：
a’ d’ e’
Z a” d” e” l” b’ c’ f’ c” f” k” b”
k’(l’)
O
【例2.32】如图所示，分别作出正垂面P与△ABC，水平 面Q的交线，并表明可见性。
求交线：
h
a
【基本作图二】过空间一点作已知平面的垂线
a′
b′ 2′ f′
e′
1′
c′ c
1
2
e
f b
a
【基本作图三】过空间一点作已知直线的垂面
e′ a′ c′
b′
f′
c
f
a
b
e
【例2.34】如图所示，过点A作一平面，平行于直线BC， 垂直于△DEF g′
b′
h′ a′ c′
d′ 2′
f′
1′
e′
b
g
h d
1、直线与平面垂直 2、平面与平面垂直
E PV F A C L2 D L1 B PH
2.4.3.1、直线与平面以及两平面垂直垂直的几何 条件与投影特性 一、直线与平面垂直
几何条件:直线必须垂直于该平面上的任意两相交直线
E PV F A C
基本作图：
L2
D L1 B
① 判别直线是否与平 面垂直 ② 过空间一点作已知 平面的垂线 ③ 过空间一点作已知 直线的垂面
M
K F N C A L
(一) 一般线与一般面相交
可以利用辅助平面和辅助投影的方法使相交一方具有积聚性。 辅助平面法：通过已知直线做投影面垂直面，求出两平面 的交线，此直线与原直线的交点即为所求的点。
求交点的步骤: （1）包含直线（MN）作 辅助平面（Q）；
（2）求辅助平面与已知 平面（ABC）的交线 （ⅠⅡ）； （3）求交线与已知直 线的交点，此即所求。
PH
判别直线是否与平面垂直
1、几何条件
M
M M
L1 L2 L K2 P N N L1 K
L1
L2
P
N
如果一直线垂直于平
如果一直线垂直于某
面内的一对相交直线， 则此直线垂直于该平面
平面，则此直线垂直于 该平面内的任意直线
2、投影特性
(直线垂直于一平面)
m C N PV B D
M V
c
a
n
特殊位置的线面垂直问题
m p
n
m
PV
p
m(n)
n m p n m PH n m p n
【例2.36】 如图所示，过点A作正垂面△CDE的垂 线AB和垂足B，并确定点A与△CDE平面的真实距离。
c′
d′
b′
a′
e′ d e
b
a
c
(2) 平面与平面垂直
几何条件
A
B P
如果一直线垂直 于一平面，则包含此 直线的一切平面都与 该平面垂直。
k´
Ⅱ
e´
B
a ´
ⅠC
K
Ⅲ
A
f b
Ⅳ
a
k c 3(4)
E
e
H
利用重影点判别可见性
( 2´ ) f ´ 1´
c´ 4´ k´
b´
3´
e´ a´ a k 1 c 4(3) e
f b
2
(二) 两一般位置平面相交
求两平面的交线，只要求出两平面的 两个公共点或一个公共点和交线的方向。
线面交点法 三面共点法
判别可见性的原 理是利用重影点。
m´
m
a
h c n
(三) 三面共点法（两平面轮廓部分不直接相交）
通过第三面找到三个平面的共有点，找到两个这样 的共有点，连接这两点，即为两平面的交线。
a
b f l k
c
d
PV
e P1
g s
h
QV
r
P2 e
a r
b f l
k g
c s h
d
2.4.3、直线与平面以及两平面垂直
线面交点法
b´ c´ n´ PV h´ QV a´
求交线步骤：
1、用直线与平面求 交点的方法求两平面 的共有点； 2、判别可见性。
2´ k´ 1´
m´
e´ b 2 k e
m
a h
B M
cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 n
C K N
E
A
H
判别两平面的可见性
1´ c´ b´ n´
h´ ) 3´ ( 4´
2´ b 1 （2） 3 a´ 4
可见性判别： a′
b′ d′ e′ PV
f ’ (g’) QV
c′
X c g O
a
d′
e′ b f
2.4.2.2、两相交元素的投影都无积聚性时求交
由于相交的两元素均无积聚 性，故不能直接利用积聚性进行 求解。解决这类问题，通常可借 助设置特殊辅助平面进行求解。
C
A
E
F
B
B
基本作图
＊一般直线与一般平面相交； ＊两一般位置平面相交。
P
b d b
A
PH
H
c
d
a
n
m
如果一直线垂直于一平面， 则该直线的正面投影垂直于该平 面内正平线的正面投影，该直线 的水平投影垂直于该平面内水平 线的水平投影。
【基本作图一】判别直线是否与平面垂直
a′
b′ 2′ f′
K′
e′
EF⊥△ABC
GH⊥P平面
1′ g′
h′
c′ c
1
2
e
f b
PH g
K
几何条件
K Q L P
K Q L P
如果两平面互相垂直，则从一平面上任一点向 另一平面所作的垂线必在前一平面上。
【例2.37】 如图所示，过直线AB作一般位置平面垂直于 正垂面P，过点C作正垂面P的正垂面Q和正平面R。 a′
d′
f′
e
a
d f
b
【基本作图二】过空间一直线作已知平面的垂面
a′
b′ 2′
g′
e′
f′
1′
c′
c
1 2
e
f
a
g b
2.4.3.2
两元素中至少有一个处于特殊位置时，直线与 平面以及两平面垂直
（1）特殊位置的直线与平面相互垂直
V m M X m H n O n N P
当直线垂直于某投影面垂直面时， 则此直线必为该投影面平行线。
A
Ⅰ
M
K
C
Ⅱ
B
N
(一) 一般线与一般面相交
QV f´ m´
k ´
c´
解题步骤： 1、 过EF作正垂面Q。 2、求Q平面与ΔABC的交线MN。 3、求交线MN与EF的交点K。
b´
n´
f
4、可见性判别
e´ a´
a
Q
C M E K F
N
n
b m
B
k
c
e
A
可见性判别方法
f´ c´
F
V
1´ (2´)
b´
判别可见性的原理 是利用重影点。