大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高数c期末考试题及答案

大一高数c期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 极限的定义中，当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于该点的极限值，下列哪个选项是正确的？A. 函数值可以无限接近但不等于极限值B. 函数值必须等于极限值C. 函数值可以等于也可以不等于极限值D. 函数值必须等于极限值，且只能等于一个值答案：A2. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5答案：B3. 以下哪个选项是正确的不定积分？A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫x^2 dx = x^3 + CC. ∫x^3 dx = x^4 + CD. ∫x^4 dx = x^5 + C答案：B4. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...C. 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...D. 1 + 2 + 3 + 4 + ...答案：B5. 以下哪个选项是正确的二阶导数？A. f''(x) = 2xB. f''(x) = 2x + 3C. f''(x) = 2D. f''(x) = 3x^2答案：C6. 以下哪个选项是正确的洛必达法则的应用？A. ∫0/0 形式的极限可以通过洛必达法则求解B. ∫∞/∞ 形式的极限可以通过洛必达法则求解C. ∫0×∞ 形式的极限可以通过洛必达法则求解D. ∫∞-∞ 形式的极限可以通过洛必达法则求解答案：B7. 以下哪个选项是正确的泰勒级数展开？A. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...C. cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...D. ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...答案：A8. 以下哪个选项是正确的定积分计算？A. ∫[0,1] x^2 dx = 1/3B. ∫[0,1] x^3 dx = 1/4C. ∫[0,1] x^4 dx = 1/5D. ∫[0,1] x^5 dx = 1/6答案：A9. 以下哪个选项是正确的多元函数偏导数？A. ∂f/∂x = 2x + 3yB. ∂f/∂y = 3x + 2yC. ∂f/∂z = 4x + 5yD. ∂f/∂w = 6x + 7y答案：A10. 以下哪个选项是正确的曲线积分？A. ∫C x ds = ∫C x dsB. ∫C y ds = ∫C y dsC. ∫C z ds = ∫C z dsD. ∫C xy ds = ∫C xy ds答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是________。

大一上学期高等数学期末试题及解答

Q( x) sin x , x
y
e
1 x
dx
s
in x
x
e
1 x
dx
dx
C
eln x sin x eln x dx C
x
1 x
sin x x
x dx
C
1 cos x C .
x
把y( ) 1代入通解，得 C 1.
故特解为
y 1 ( cos x 1).
x
四、计算题（每小题9分，共36分）
则f (ln x)定义域是 [1, e] .
知识点：复合函数的定义域
分析 0 ln x 1, 1 x e
一、填空题（每小题3分，共15分） 2. 已知y x x ,则y _______ .
知识点：对数求导法
解 ln y x ln x , y =lnx 1, y
y xx (ln x 1).
( A) p 1,q 2; (B) p 2,q 3;
(C) p 2,q 1; (D) p 3,q 2 .
解：特征方程为：r2 pr q 0 , 把特征根 r1 1 , r2 2 1 p q 0 分别代入特征方程，得 4 2 p q 0
解得
p 3,q 2 .
4. 求曲线y e x ( x 0)与y 0, x 0围成的
右边无限伸展的图形绕轴旋转一周所得立体的体积.
知识点：反常积分，定积分的应用，旋转体的体积，
解 V + πy2dx + πe2xdx
0
0
π e2x 2
|0+
π. 2
五、解答题（每小题10分，共20分）
1. 在抛物线y x2 (0 x 1)上找一点P，使经过P的

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰0232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

页眉内容大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：101233()2x f x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰123()1(1)xxd e x dx--=-+--⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷及(Ji)答案详解一、选择题(Ti)（共12分）1. （3分(Fen)）若为连续函(Han)数,则的(De)值为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)-12. （3分(Fen)）已知则(Ze)的(De)值为（）.(A)1 (B)3 (C)-1 (D)3. （3分）定积分的值为（）.(A)0 (B)-2 (C)1 (D)2f x在该点处( ).4. （3分）若在处不连续,则()(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题（共12分）1．（3分）平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为的曲线方程为 .2. （3分） .3. （3分）= .4. （3分）的极大值为 .三、计算题（共42分）1.（6分）求2.（6分）设求3.（6分）求(Qiu)不定积分4.（6分(Fen)）求其(Qi)中5.（6分）设函(Han)数由方(Fang)程所(Suo)确定,求6.（6分(Fen)）设求(Qiu)7.（6分）求极限四、解答题（共28分）1.（7分）设且求2.（7分）求由曲线与轴所围成图形绕着x轴旋转一周所得旋转体的体积.3.（7分）求曲线在拐点处的切线方程.4.（7分）求函数在上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设在区间上连续,证明标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.二、 1 2 3 0; 4 0.三、 1 解原式 5分1分2解 2分4分(Fen)3 解原(Yuan)式 3分(Fen)2分(Fen)1分(Fen)4解(Jie) 令则(Ze) 2分1分(Fen)1分1分1分5两边求导得 2分1分1分2分6解 2分4分7解原式= 4分= 2分四、1 解令则 3分= 2分2分1分2解(Jie) 3分(Fen)2分(Fen)2分(Fen)3解(Jie) 1分(Fen)令(Ling)得(De) 1分当时,当时, 2分为拐点, 1分该点处的切线为 2分4解 2分令得 1分2分最小值为最大值为 2分五、证明1分1分1分1分1分移项即得所证. 1分。

高数(大一上)期末试题及答案

高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：一、填空（每小题3分，满分15分）1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。

0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1二、单项选择（每小题3分，满分15分）1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。

2.已知 f(x) = { e^x。

x < 1.ln x。

x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。

3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。

1/(2e))，答案为 C。

4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。

+∞) 内发散。

5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。

+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。

三、计算题（每小题7分，共56分）1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定，即 y = 3 - x，因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1]，因此 f'(x)。

大一高数b1期末考试题及答案解析

大一高数b1期末考试题及答案解析一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项是微分的定义？A. 函数在某点的导数B. 函数在某点的切线斜率C. 函数在某点的极限D. 函数在某点的增量答案：C解析：微分是函数在某点的极限，即函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋近于零时的极限。

2. 函数f(x)=x^3+2x-1的导数是？A. 3x^2+2B. x^3+2C. 2x^2+2D. x^2+2x答案：A解析：根据导数的定义，f'(x)=3x^2+2。

3. 以下哪个选项是定积分的定义？A. 函数在某区间的原函数B. 函数在某区间的增量C. 函数在某区间的极限D. 函数在某区间的差分答案：C解析：定积分是函数在某区间的极限，即函数在该区间上所有小矩形面积的和的极限。

4. 曲线y=x^2与x轴围成的面积是？A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：A解析：曲线y=x^2与x轴围成的面积可以通过定积分计算，即∫(0,1)x^2dx=1/3。

二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x)=x^2-3x+2，求f'(x)=________。

答案：2x-3解析：根据导数的定义，f'(x)=2x-3。

2. 函数f(x)=ln(x)的导数是________。

答案：1/x解析：自然对数函数ln(x)的导数是1/x。

3. 求定积分∫(0,1)x^2dx的值。

答案：1/3解析：通过计算定积分∫(0,1)x^2dx=1/3。

4. 曲线y=x^3与x轴围成的面积是________。

答案：1/4解析：曲线y=x^3与x轴围成的面积可以通过定积分计算，即∫(0,1)x^3dx=1/4。

三、解答题（每题10分，共20分）1. 求函数f(x)=e^x的导数。

答案：f'(x)=e^x解析：指数函数e^x的导数仍然是e^x。

2. 求定积分∫(0,2)e^xdx的值。

答案：e^2-1解析：通过计算定积分∫(0,2)e^xdx=e^2-1。

大一数学期末考试试题及答案解析

大一数学期末考试试题及答案解析一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是实数集的符号表示？A. ZB. NC. QD. R答案：D解析：实数集的符号表示为R，整数集为Z，自然数集为N，有理数集为Q。

2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的根是：A. -1B. -2C. 1D. 2答案：B解析：通过求解二次方程x^2 + 3x + 2 = 0，我们得到(x + 1)(x + 2) = 0，因此根为-1和-2。

3. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B解析：根据洛必达法则，当x趋近于0时，(sin x)/x的极限值为1。

4. 以下哪个选项是复数z = 2 + 3i的共轭复数？A. 2 - 3iB. 2 + 3iC. -2 + 3iD. -2 - 3i答案：A解析：复数z = a + bi的共轭复数为a - bi，因此2 + 3i的共轭复数为2 - 3i。

二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x) = 2x - 3的反函数是f^(-1)(x) = _______。

答案：x/2 + 3/2解析：将f(x) = 2x - 3中的x和y互换，得到x = 2y - 3，解出y 得到反函数。

2. 圆的方程x^2 + y^2 = 9的圆心坐标是(0, 0)，半径为_______。

答案：3解析：圆的方程x^2 + y^2 = r^2，其中r为半径，因此半径为3。

3. 集合{1, 2, 3}的子集个数为_______。

答案：8解析：一个有n个元素的集合的子集个数为2^n，因此3个元素的集合有2^3 = 8个子集。

4. 向量a = (3, 4)和向量b = (-4, 3)的点积为_______。

答案：-7解析：点积计算公式为a·b = |a||b|cosθ，其中θ为两向量之间的夹角。

由于向量a和向量b的点积为3*(-4) + 4*3 = -12 + 12 = -7，因此答案为-7。

(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解

标准答案
一、1 B;2 C; 3 D;4 A.
二、1 2 3 0; 4 0.
三、1解原式 6分
2 解 2分
4分
3解原式 3分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2分
1分
4 解令则2分
5 1分
6 1分
1分
1分
7 两边求导得 2分
8 1分
1分
2分
9 解 2分
10 4分
11 解原式= = 6分
四、1解令则 3分
= 2分
2分
1分
2 解 3分
-----------3
3．求摆线在处的切线的方程.
解：切点为 -------2
-------2
切线方程为即 . -------2
4.设，则 .
5．设，求 .
解： ---------2
--------------2
= ------------2
故 =
四．应用题（每小题9分，3题共27分）
1．求由曲线与该曲线过坐标原点的切线及轴所围图形的面积.
(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限
二、填空题（共12分）
1．（3分）平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为的曲线方程为.
2. （3分） .
3. （3分） =.
4. （3分）的极大值为.
三、计算题（共42分）
1.（6分）求
2.（6分）设求
3.（6分）求不定积分
4.（6分）求其中
(D)(D)若可积函数为奇函数,则也为奇函数.
4.设 ,则是的（C）.
(A)连续点;(B)可去间断点;
(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.

大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解

大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解大一高等数学期末考试试卷（一）一、选择题（共12分）1.（3分）若/3= 2XXV0,为连续函数,则d的值为（）.a+ x,x>0（A）I （B） 2 （C）3 （D）-I2.（3分）已知厂⑶=2,则Ii y "7⑶的值为（）.λ→0 2hOOl （B） 3 （C）-I （D）I23.（3分）定积分∫>Λ∕1-COS23Xdx的值为（）•■⑷ 0 （B）-2 （C）I （D） 24.（3分）若/⑴在“勺处不连续,则/3在该点处（）・（A）必不可导（B）—定可导（C）可能可导（D）必无极限二、填空题（共12分）1.（3分）平面上过点（0,1）,且在任意一点（Λ∙,y）处的切线斜率为3疋的曲线方程为_________________________ .2.（ 3 分）∫ ι（x2+x4 Sin XyIX = _______ 1-3.（3 分）IilnX2 Sin丄= ・.r→υX4.（3分）y = 2√ -3√的极大值为________________ —2 （6分）设尸冕,求*JT + 1三、计算题（共42分）1.（6 分）求Iim史S.∙*→υ Sin 3x^3.（6分）求不定积分JXIn（I+十）厶.x .v<ι4.（6 分）求J /（X-1）JΛ∖其中/（x）= < l + cosχ,e' +l,x> 1.5.（6分）设函数y = f（x）由方程JO e,M + ［cos∕d∕ = 0所确定,求dy.6.（ 6 分）设 f f{x）dx = Sin + C,求j + 3）dx.7.（6 分）求极限IinJI÷-Γn→30k 2/7 7四、解答题（共28分）1.（7 分）设,Γ（lnx） = l+x,且/（0） = 1,求32.（7分）求由曲线y = cosx［-^-<x<^及X轴所围成图形绕着X轴旋I 2 2）转一周所得旋转体的体积.3.（7分）求曲线y = x3-3√÷24x-19在拐点处的切线方程•4.（7分）求函数y = x + √∏7在［-5,1］上的最小值和最大值.五、证明题（6分）设厂（X）在区间［“］上连续,证明i a f^dx = ¥ ［/（“） + f（b）］+1 ［（X - a）（x - b）fj）dx.（二）一、填空题（每小题3分，共18分）1.设函数/（χ）= 2χ2~1 ,则"1是心）的第_________ 类间断点.X -3x + 23.=∙v→∞V X)4・曲线 V 在点(扣)处的切线方程为・5 .函数J = 2X 3-3X 2在［-1,4］上的最大值 _________________ ,最小值 __________ .二、单项选择题(每小题4分，共20分)1.数列&”｝有界是它收敛的( )•(A)必要但非充分条件； (C)充分必要条件； 2.下列各式正确的是((B)充分但非必要条件; (D)无关条件.)・(A) je-χdx=e"x+C i(B) J In X(IX = _ + C ; (C)JI 2∕x=2hl (l 2x)+C ；(D) f —5—JX = Inlllx+ C ・' ,J XInX3-设/(x)在RM 上，广(x)>O 且厂(x)>0,则曲线y = f(x)在［“问上•6.∣∙arctanx J l +x 2(IX(小沿X轴正向上升且为凹(B)沿兀轴正向下降且为凹的；的；(D)沿X轴正向下降且为凸(C)沿兀轴正向上升且为凸的；的.则/(x)在兀=0处的导? :( )•4. 设/(*)=XInX ’⑷等于1;（C）等于O ；（D）不存在•5.已知Ihn/（x）= 2,以下结论正确的是（）•G）函数在工=1处有定义且/（1）=2 ; （B）函数在；V = I处的某去心邻域内有定义；（C）函数在2 1处的左侧某邻域内有定义；（D）函数在21处的右侧某邻域内有定义.三、计算（每小题6分，共36分）1.求极限:HlnX2 sinx→0X2.已知y = ln（l + χ2）,求几3.求函数J = >0）的导数.5.J X COS XdX ・丄 16.方程y x =X y确定函数y = f（x）f求八四、（H）分）已知/为/（X）的一个原函数，求∫x2∕（x}∕x.五、（6分）求曲线,=壮7的拐点及凹凸区间.六、（10 分）设J广（√∑）/X = X（e、' +1）+C ,求/（X）・（三）填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）・±J_(1)⅛(COSX)r = ________ 石________ .(2)曲线A = Xlnx上及直线X-y + l= °平行的切线方程为y =x-∖(3 )已知f f(e x) = xe~x,且/(D = O ,则大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解/(X)= _________ /Cv)= 2(In X)________ .X 211(4)曲线V =3777的斜渐近线方程为 _______ V= 3Λ^9,二、选择题(本题共5小题，每小题4分，共20分)・(1)下列积分结果正确的是(D )(2)函数/W 在［恥］内有定义，其导数广⑴的图形如图1-1所示, 则(D ) •(A)刁宀都是极值点.⑻ g ，/3))，(£，/(£))都是拐点.(C) F 是极值点.，U 是拐点. (D) WJy))是拐点，勺是极值点.(3) 函数y = qe v ÷C 2e-÷A -e'满足的一个微分方程是(D ).(A) /-y-2>∙ = 3xe t . (B) /-y-2y = 3e v . (C) / + y-2y = 3Λ∙e c .(D) / + y~2y = 3e r .lim∕(⅞)-∕(⅞~z0 (4) 设/W 在％处可导，则I h 为(A ) •⑷ 广仇). (B) -f ,M.(C) O. (D)不存在.(5)下列等式中正确的结果是((A) (J* /(x)"∙χ)'Z=/W-(C) 町 /(χ)"χ]=/W -) 微分方程= (V+1)-的通解为三、计算J (本共4小题，每小题6分，共24分).y =3 _5 "3 O(或令 √Γ+χ = r)四、解答题（本题共4小题，共29分）•1. （本题6分）解微分方程r-5∕÷6j = xe -.解：特征方程r 2-5r + 6 = 0 ------------- 1分特征解斤=2,r 2 =3. ------------ 1分 3x大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解恤（丄—丄）1∙求极限j X-I In —X 11. xlnx-x+1Iim (—— _ ——)IIm ---------In XIUn I XTl x-1 I---- + In xh ∖x Iim x →,X -1 + xln1.1 + In X 1 IUn -------- =— j 1 + In X +1 2Λ = In Sin t2.方程尸COSWSinf 确定V 为X 的函数,dy y ,(f)-=-一 =∕sm∕, 解 JX 十⑴求dx 及Jx 2 .（3分） (6分)arctan JX3. 4.计算不定积分J石(1+『. arctanA∕√7—— (i + χ)=21 arctan √7t∕ arctan y ∕x ——解 Hatan 仇=2 J √x(l + x)=(arctan2+C ——「一 dx4.计算定积分如+曲.'3χ(l -VTTX) 0解分）oT7⅛7_ V dx = 一J(：(I-、/i+x)〃X（6分）LL i∖l4/1 «\ ? r V 八2.(本题7分)一个横放着的圆柱形水桶(如图4-1),桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ,水的比重为乙计算桶的一端面上所受的压力.解：建立坐标系如图3.(本题8分)设/B在S】上有连续的导数，f(u) = f(b) = θ9且∫O∕2(X)JΛ =1^试求∫>∕ω∕解:J：Xf(X)f∖x)dx = £ Xf(X)df(x) 2 分= -∫n^^W ------------ 2 分=IV 2(Λ-)⅛-|£72(X)厶一一2 分4.(本题8分)过坐标原点作曲线＞, = h^的切线，该切线及曲线y =lnx及X轴围成平面图形D.⑴(3) 求D的面积A;⑵(4) 求D绕直线X = e旋转一周所得旋转体的体积V.解:(1)设切点的横坐标为"，则曲线y = In Λ在点(⅞Jn ⅞)处的切线方程y = Inx0 + —(X-X0).氐__I分由该切线过原点知山心-1 = 0,从而心=匕所以该切线的方程为1y = -X.平面图形D的面积1V = -X(2)切线"及X轴及直线Xe所围成的三角形绕直线Xe旋转V I = -7te1所得的圆锥体积为,3 2分曲线尸IZ及X轴及直线所围成的图形绕直线Xe旋转所得的旋转体体积为V2=(oπ(e-e>)2dy9】分因此所求旋转体的体积为V=V l-V2=-^2-e y)2dy = -(5e2-∖2e + 3).五、证明题(本题共1小题，共7分)•1.证明对于任意的实数Y , eJl + x.e x = l + x + —Λ2≥l + x2解法二设fM = e x-x~^则/(0) = 0.因为f f M = e x-∖. 1 分当Xno时，f,M≥o.f(χ)单调增加，/(χ)≥∕(θ)=o.当x≤0时，∕,ω≤0.∕(Λ∙)单调增加，/(X)≥/(0) =0. 所以对于任意的实数X, ∕3≥°∙即e'≥l + I 解法三：由微分中值定理得，R -1 = “ -60 =^(X-O) = ^Xt 其中§位于0 到X 之一1分2分A = V -ey)dy = ~e~^∙解法一:2分2分1分2分间。

(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷一、选择题（共12分）1. （3分）若为连续函数,则的值为( ).2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩a (A)1 (B)2 (C)3 (D)-12. （3分）已知则的值为（）.(3)2,f '=0(3)(3)lim2h f h f h →--(A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. （3分）定积分的值为（）.(A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. （3分）若在处不连续,则在该点处( ).()f x 0x x =()f x (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题（共12分）1．（3分）平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为的曲线方(0,1)(,)x y 23x 程为 .2. （3分） .1241(sin )x x x dx -+=⎰3. （3分） = .201lim sinx x x→4. （3分）的极大值为 .3223y x x =-三、计算题（共42分）1.（6分）求2ln(15)lim.sin 3x x x x →+2.（6分）设求y =.y '3.（6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4.（6分）求其中3(1),f x dx -⎰,1,()1cos 1, 1.x xx f x xe x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5.（6分）设函数由方程所确定,求()y f x =0cos 0y xte dt tdt +=⎰⎰.dy 6.（6分）设求2()sin ,f x dx x C =+⎰(23).f x dx +⎰7.（6分）求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题（共28分）1.（7分）设且求(ln )1,f x x '=+(0)1,f =().f x 2.（7分）求由曲线与轴所围成图形绕着轴旋转一cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭x x 周所得旋转体的体积.3.（7分）求曲线在拐点处的切线方程.3232419y x x x =-+-4.（7分）求函数上的最小值和最大值.y x =+[5,1]-五、证明题(6分)设在区间上连续,证明()f x ''[,]a b 1()[()()]()()().22bbaab a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.二、 123 0;4 0.31;y x =+2;3三、 1 解原式 5分25lim3x x xx→⋅=1分53=2解2分2ln ln ln(1),2xy x ==-+4分21221xy x '∴=-+3 解原式 3分221ln(1)(1)2x d x =++⎰2分222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x=++-+⋅+⎰1分2221[(1)ln(1)]2x x x C =++-+4解令则2分1,x t -=1分321()()f x dx f t dt -=⎰⎰1分1211(1)1cos t tdt e dt t -=+++⎰⎰ 1分210[]t e t =++1分21e e =-+5两边求导得2分cos 0,yey x '⋅+= 1分cos y xy e'=-1分cos sin 1xx =-2分cos sin 1xdy dx x ∴=-6解2分1(23)(23)(22)2f x dx f x d x +=++⎰⎰ 4分21sin(23)2x C =++7解原式= 4分23323lim 12n n n ⋅→∞⎛⎫+⎪⎝⎭=2分32e 四、1 解令则3分ln ,xt =,()1,t t x e f t e '==+=2分()(1)t f t e dt =+⎰.t t e C ++ 2分(0)1,0,f C =∴=1分().x f x x e ∴=+2解3分222cos x V xdx πππ-=⎰2分2202cos xdx ππ=⎰2分2.2π=3解1分23624,66,y x x y x '''=-+=-令得1分0,y ''= 1.x =当时, 当时,2分1x -∞<<0;y ''<1x <<+∞0,y ''>为拐点,1分(1,3)∴该点处的切线为2分321(1).yx =+-4解2分1y '=-=令得1分0,y '=3.4x =2分35(5)5 2.55,,(1)1,44y y y ⎛⎫-=-+≈-== ⎪⎝⎭最小值为最大值为2分∴(5)5y -=-+35.44y ⎛⎫= ⎪⎝⎭五、证明1分()()()()()()bbaax a x b f x x a x b df x '''--=--⎰⎰ 1分[()()()]()[2()bb a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+⎰ 1分[2()()ba x ab df x =--+⎰1分 {}[2()]()2()bba a x ab f x f x dx =--++⎰ 1分()[()()]2(),b a b a f a f b f x dx =--++⎰移项即得所证. 1分。

大一(第一学期)高数期末考试题及答案(完整版).doc

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰0232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。