介观体系中输运特性

a1, a2, a3 为晶格原胞的边长。
倒点阵的基矢是由晶体点阵的基矢按下列关系定义的
2
b1 (a2 a3)
2
b2 (a3 a1)
2
b3 (a1 a2 )
在倒点阵中任一格点的位置矢
Kn n1 b1 n2 b2 n3 b3
◆
布里渊区：由
b1,
b2 , b3
组成的平行六面体是倒点阵的元胞，
两个电子的波函数为 A Aexp( i / 0 ) ，这时
| A A || A |2 | A |2 A A* A* A
2A2 (1 cos(2 / 0 ))
0=/2e是超导磁通量子。
电子在固体中扩散的时间反演路经是非常多的，在一定的磁场 中他们产生的相移不同，其中相移较大的（〉）部分相互抵 消。某一确定的是时间反演路径对于磁致电导的贡献为
◆ Anderson 和 Gorkov深刻地阐明了无序散射势对二维系统和三 维系统的影响的原则区别。研究导体中载流子波函数相位相干性， 特别是涉及一对时间反演对称的无规行走闭合路径的干涉对输运 性质的影响，常称为弱局域化的研究。
◆弱局域化的研究使人们认识到弹性散射和非弹性散射这两类过 程的重要区别。弹性散射后载流子波函数的相位还有确定的关系， 或者说弹性散射并不破坏波函数的相干性。非弹性散射带来了相 位无规的变化破坏了载流子波函数的相干性。
这一工作1980年以来，被引用4500次以上。
J. Kondo, Solid State Physics 23, 183 (1969).
三、介观体系
◆ 宏观系统由大量微观粒子构成，空间的尺度远大于德布罗意波长， 因此这些粒子的状态波函数之间缺乏足够的相位相关性。
◆ 最早显示出在宏观量上出现与相位相联系的量子效应的是超导电 性：超导电性是在宏观尺度上量子力学现象的表现，电子发生“量 子凝聚”（Cooper 对，BCS 理论，1957）。
◆介观体系: 载流子的非弹性散射平均距离定义了一个有物理意
义的尺度，称为相位相干长度 L.在文献上，把尺度相当于或小 于L的小尺度体系称作介观体系（Mesoscopic System)，表示中
介与宏观体系与微观体系之间。
◆介观体系的一个重要特点是它失去了宏观体系通常具有的自平
均性。由于相位相干长度 L是由载流子非弹性散射的平均自由
介观体系中的输运特性
邓振炎
理学院 物理系 (G527, Tel: 4334)
一、输运现象
外场: 电场、磁场、温度场等
E
载流子运动 -e
载流子在运动过程中不断的受到晶格（声子）、杂质、缺 陷、边界的散射
当载流子加速和减速达到平衡时形成稳定的电荷/热量的输运， 有非零的稳定的电流/热流，这就是固体物理的输运现象。
◆ 固体的量子理论的一个历史性的成功是正确地指出晶体的电阻是 由于各种无规分布的破坏其周期性的因素引起的，这些因素可归结 为杂质和声子两大类。
◆ Anderson 局域化（1958）：在一个足够无序的场中，单个粒子 的薛定谔方程的解会变成局域的；也就是说，足够无序的杂质会 使一个导体的性质变成绝缘体的特性（ 对声波、光波、电磁波等 都观察到了Anderson 局域化现象）。Mott最先指出在一个准一维 的系统中，无论多弱的无序散射势都会导致局域化。
程可写为：
r f0 r
eE f0 k
f1
e
vk
B
f0 k
1
k,k 1
k
f1 (k ) f1 (k )
ωk,k’ 为由于碰撞电子从k态散射到k’态的几率。
2. 电导率
利用Boltzmann方程和电流密度的积分公式，可得电导率张量的表达 式：
1
4 3
e2
vk vk vk
包括Kondo效应的低温电阻为
ห้องสมุดไป่ตู้
1964年Kondo指出， 必须用s-d交换模型 处理问题，当电子被 磁杂质散射时，不仅 电子自旋状态发生变 化，同时杂质本身的 自旋状态也要发生相 应的变化，这是一种 多体效应。
剩余电阻 费米液体特性 晶格振动
Kondo的理论工作开启了多体理论的新纪元，是一个标志性的工作。 这一工作不仅解释了含磁性杂质金属的低温电阻反常现象，而且 也解释了磁化率、比热等一系列低温反常现象，统称为Kondo效应。
◆ 在散射存在时，电子波在三种典型的路径上量子干涉效应
A
C’
B
C’’
路径A为闭合回路，而时间反演对称路径上的电子分波的干涉给出 以h/2e为周期的磁致电导；路径B是电子被分开后又会合的量子干 涉效应，它导致以h/e为周期的磁致电导；路径C’ 和C’’是电子在导 线内两点之间不同的无规则行走路经间的干涉效应，这是普适电导 涨落的来源。
h L1
L2
h
这种A-B效应在1960年在真空路径中的实验已证实。
但传统意义上的A-B效应能否在无序存在的固体中观察到一直为人 们所关注。直到1984年Webb等人在直径245nm, 线宽30nm的金圆 环上证实。
h/e h/2e
1985年Webb等报道了更精确的实验（直径245nm, 线宽30nm，膜厚 38nm的金圆环, 40mK温度）。
程决定，因而随温度的下降而增加。对正常金属而言，在液氦温 度下可达微米量级。
1、传导电子的量子干涉现象
我们仅考虑处于相同能量本征态的电子波的干涉，也就是说，电子
所经历的散射必须全部是弹性的。那么这些电子分波保持相干的平
均时间为称之为相位相干时间。这些分波叠加的结果为
| An |2 An2 An Am*
由于电子的干涉效应是Aharonov和Bohm在1959年提出来，上述效 应被称为Aharonov-Bohm效应（或A-B效应)。
◆ 然而传统意义上的A-B效应是电子束分开，并包围一定的磁通而 后合并。
这时两电子分束的相位差为，周期为h/e
e [
A• dl
A•
dl]
e
A• dl 2 /(h / e)
4 A2 2 A2 (1 cos(2 / 0 )) 2 A2 (1 cos(2BS / 0 ))
经计算得弱局域化磁致电阻
00
[
(1 2
B0 B
) (1
2
B B
) ln( B B
)]
B0 / 4eB 0 B / 4eB
(1/2+x)为普西函数
渐近式为 (B / B )2 , B 0, ln(B / B )2 , B B B0
(1) 弱局域化电导修正
0
ne2 0 m*k F l
ln
0
修正项
0为电子处于动量本征态k的平均寿命 为相位相干时间。
◆ 一般△与0相差104~105量级。 ◆ 在电子平均自由程较小的样品中 容易观察到这种现象
◆ ~T-p , 因此， △~-plnT,
△R~plnT, 这就是低温下的电阻对数 上升现象
铜薄膜
(2) 弱局域化磁致电阻
电荷在电场和磁场中所受的力为：F
q(E
v c
B)
当B⊥E，电子将向侧向偏转，产生霍耳电场，平衡洛伦磁力，因
此横向磁致电阻为零。只有当 B//E, 磁致电阻不为零。
然而，导体中载流子不只有一种（包括电子、空穴及多带载流 子），它们可能具有不同的迁移率。 j e j / mj 这时单一的电场不 可能抵消不同载流子的横向运动，可能存在横向磁致电阻。
n
n
nm
其中 An | An | exp( in ) 为第n分波的波函数，n=Ent/h为其相位。第
一项是不考虑干涉效应的结果，第二项为干涉的贡献，含有相位因
子cos(n-m)
| A A | 4 A2
在某些条件下存在干涉效应的贡献： （1）沿一闭合路径反向运动的两电子分波，具有时间反演对 称性。这样的两电子分波的叠加在总平均不抵消为零（弱局域 化）。 （2）当样品尺寸L≤L时电子分波的运动被限制在数目相对较 少的若干路径时，上式的第二项的贡献显得非常重要。
r
vn (k)
1 m
nk (r) pˆ nk (r)
1
k
n
(k
)
在k空间中，外场引起的漂移速度对应于波矢k的改变
k
1 h
e
Er, t
vnk
(k )
Br, t
不同于自由电子，对于Bloch电子，波矢k并不正比例于电子的动量， 但对外电磁场的响应好象有动量ħk，一般称为晶体动量(Crystal momentum)。
Boltzmann方程成为处理固体输运现象的出发点。
引入驰豫时间(Relaxation Time) τ的概念：电子在晶体中相继两次散 射的平均时间为τ，在dt时间内，电子受到碰撞的几率为dt/τ.
f f f0 f1
t
假定非平衡的稳态分布相对于平衡分布偏离甚少：f=f0+f1
f1为小量。略去f1随r（或温度、化学势）及k的变化。Boltzmann方
1 L12
1 L2
1 ( 2wB )2 3 0
其中L和w为圆筒的周长和壁厚。在弱磁场下，以0=h/2e为周 期振荡；然而当磁场增强时，振荡的幅度减弱且很快消失。
几个月后，Sharvin父子很快 用实验（在极细的石英丝上 淀积金属镁膜，测轴相磁致 电阻）证实了理论预测，这 个实验首次在正常金属（非 超导）上观察到量子干涉效 应。
在上述情况下，磁场导致电阻增加，称为正磁致电阻
R R(B) R(0) B2 R / R2 B2
◆ 弱局域化源于时间反演路径的电子分波的干涉，会导致弱局 域化磁致电阻
电子在磁场中的附加相位
e
A• dl
顺时针方向：
C
e
A•
dl
e
B • ds
e
逆时针方向：
C
e
A•
dl
e
B
• ds
e
这表明由于量子效应，金属有负磁致电阻
理论结果
不同温度下 金属镁薄膜 的磁致电阻
(3) 介观量子干涉效应
◆ 1981年Altshuler等根据弱局域化的机理，推导出金属小圆筒 （周长小于相位相干长度）的磁致电导
00
L1 sinh(L / L1) cosh(L / L1) cos(2 / 0 )
二、大块固体的输运性质
◆ 在量子力学中，人们用波函数来描述系统的状态。波函数有振幅 和相位，遵从波的叠加原理。
有限性、连续性和单值性为波函数的三个标准条件。
i ( p•rEt)
自由粒子的波函数： (r,t) Ae
◆ 倒逆空间：晶体的第一重要特征是原子排列的周期性，晶体点
阵中任一格点的位置为
Rl l1 a1 l2 a2 l3 a3
在固体物理学中还采用另一种外形较复杂的元胞。它是由一个格点
与最近邻点的连线中垂面所围成的多面体，其中包含一个格点，称为
维格纳-赛茨(W-S)元胞。当这个多面体的中心定为倒逆空间的原点时，
它所包含的区域称为第一布里渊区
◆ 费密能量EF: 电子气体中的粒子满足泡利不相容原理，他们服从费 密-狄喇克统计，即在热平衡时，电子处在能量为E的状态的几率是
E EF
f (E) 1/(e kBT 1)
式中EF是费密能量或化学势，它的意义是在体积不变的条件下，系 统增加一个电子所需要的自由能， EF是温度T和电子数N的函数。
1. 相空间的Boltzmann方程
如果已知给定动量k，给定位置r的电子数随时间的变化，则电流 密度为：
j
1
4 3
evk f dk
dSF
SF为k空间的Fermi面积分。分量形式可写成
1
4 3
e2
vk vk vk
dSF
对于各向同性的立方晶体，可证明：
ne2 ( F )
m*
n为电子的浓度。
3、Kondo效应
在非磁性的简单金属（如Cu, Ag, Au等）中参入微量d壳层未填满 的磁性杂质（如Fe, Mn, Mo等)后就形成了稀磁合金。在稀磁合 金中普遍观测到低温电阻极小现象。
f 为电子的分布函数。在热平衡且无外场时，电子系统的分布函
数为Fermi分布：
f0 ( k )
1 e( k ) / kBT
1
外场和碰撞所引起的分布函数的变化遵从Boltzmann Equation:
r
f r
k
f k
f t
利用半经典模型（外场用经典方式（外场的波长远大于晶格常 数λ>>a, 忽略带间跃迁，能带指标n是运动常数）、晶格周期场 用能带论量子力学方式），这里电子速度