Boltzmann Transport Theory(波尔兹曼输运理论-电子输运性质)

1 Ce 2kB 2Tn / F 2
式中 n 为电子浓度， F 为费米能。 F 又可以用费米速度 vF 来表示：
(1)
F mvF 2
于是得到：
2 Ce 2kB2Tn / mvF
1 2
(2)
(3)
电子对热导率的贡献为：
1 2 ke CevF 3
将(3)式代入(4)式，得到：
类比式(13)的推导过程，我们可以得到：
(24)
f (k ) f
令：
FD
(k )
f (k ) v (k ) eE T T
(25)
E
e
(26)
是一个具有电场量纲的量。式(25)可以重写为：
f (k ) f
Boltzmann 输运理论需要用到体系的分布函数 f ，对于电子就是 Fermi-Dirac 分布，而 声子则是 Bose-Einstein 分布。
电导率表达式 的推导：
对于一个温度恒定由电场驱动的系统，当体系达到稳定的非平衡态，即所谓动态平衡 时，有：
f t

Electric file drive
流子能量的积分，得到：

( n) e2 d g ( )
0
f FD 2 vn ( (k )) n ( (k )) n
(19)
总的电导率为：
( n )
n
(20)
电子热导率 ke 推导：
在一个具有温差的系统中，选定一个小区域，用 j

q
表示净流出去的热流， j 表示净流入
f t
0
diffusion
(8)
第一项表示由于电场的驱动所引起的平衡态的偏离，第二项表示电子的散射项，由于 电子的散射使得体系能够达到动态平衡。第一项我们可以进一步写为：
f t

Electric fild drive
f k f v eE k t
(9)
L12T / L11
将式(36)代入式(30),得到：
(36)
j q ( L22 L21L12 / L11 )T
再根据傅里叶定律：
(37)
j q keT
比较(37)和(38)式，可以得到：
(38)
ke L22 L21L12 / L11
(39)
(式(39)可以解释为什么 BoltzTraP 程序中，电子热导率被高估了。)
2

2
(48)
ke 1 2 2 T e T
这个结果与我们从文献上看到的公式：
2 0
1 0

2
(49)
2 ke k B (r 7 / 2) Fr 5 / 2 L T e (r 3 / 2) Fr 1/ 2
(0) L11
根据(18)式，定义：
(33)
( ) e2 n ( (k ))
将式(34)代入
( )
dk ( (k ))vn2 ( (k )) 2 4 BZ
(34)
表达式(32)，得到：
( )
BZ
d
f FD ( ) (k )
(23)
这里再次需要考虑分布函数 f (k ) 在温度场与电场的作用下，产生的偏差。
f f t t

Electric file drive
f t

Temp driven
f t
chemicla potential
f k f T x f x k t T x t x t f = v eE T T
L11 (0) L21 TL12 L22
其中
(1)
e
1 (2) e2T
3e 2 2 kBT 3 e2

2
(kBT )2 '
(43)


(44)
F
式(43)和(44)是电子对热电效应贡献的基本结论。 在式(39)中，第二项相对于第一项是 kBT / F 倍的关系[1]。因此：

diffusion
f f FD

(11)
f f FD
f veE f veE ,由于分
(12)
从式(12)中可以看到，电场会引起平衡分布函数 f 的偏移，偏移量为
布函数 f 只是对平衡分布函数 f FD 的微小偏移，将(12)式中的分布函数 f 用平衡分布 函数 f FD 替代，得到：
则我们的分布函数 f 可写为：
f t

diffusion
f v eE
(10)
由于分布函数 f 只是对平衡分布函数 f FD 的微小偏移，引入电子弛豫时间 概念，表 示电子在两次碰撞过程中的平均时间。(10)式的左边可表达为：
f t
结合(10)式和(11)式，可以得到：
( ) e2
dk f FD (k )v2 (k )( (k ) ) 3 BZ 4
(32)
对比电导率表达式(18)( ( n) e2 率表达式简写为：
BZ
4
dk f FD 2 vn (k ) n (k ) ),可以发现可以通过 ( ) 将电导 2 n
Seebeck 系数：Seebeck 系数定义为单位温度产生的电势差：
dU dT U d S
结合(36)式，得到： (40)
L12 1 (1) S 11 L eT (0)
将具体表达式代入：
(41)
S
e T
BZ
4
dk f FD (k )v 2 (k )( (k ) ) 3 dk f FD 2 (k )v (k ) 3 4 BZ
(35) hot
现考虑体系在恒定温差与电势差中的动态平衡。电子本来应该有热端向 冷端扩散，但冷端的电子密度达到一定程度，会在冷端与热端之间产生 电势差，抑制电子由热端扩散到冷端 (这就是热电器件工作的原理) 。 所以在温度差恒定的情况下，冷热端之间将不存在粒子流，即式(30)中
E cold
j 0 。于是有：
n
的粒子流， j 表示所有净流入粒子的总能量， 表示化学势(可理解为这一区域所有粒子的 平均能量)，则有：
j q j j n
根据统计物理，粒子流与和流入的能量流可以写为：
n dk 1 j 3 v(k ) f (k ) j BZ 4 (k )
(29)
j q L21 L22 (T ) j L11 L12 (T )
(式中 j 为电流密度，对于自由电子气 j env ) 其中：
(30)
L11 (0) L TL
21 12
(1)
e
(31)
L22
1 (2) e2T
( ) 定义为：
(r 5 / 2) Fr 3 / 2 (r 3 / 2) F r 1/ 2

(50)
还有些差距。 要想从(46)式得到(47)式，我们需要注意一下三点： 1： 式(47)中的 Fermi-Dirac 积分中的变量时约化的载流子能量，即在(46)式中的载流子能量需 要除以 k BT 。 2：式(47)中的 r 的意义及来源。文献上会说，考虑到声学声子对电子的散射作用，r=-1/2； 如果是光学声子， r=3/2。 这个 r 其实来源于 系。以下是我从一本书[2]中的截图：
f f FD
f FD veE
(13)
有了分布函数，就可以方便的得到电导率的表达式。 对于自由电子气体，电导率表达式为：
en
(14)
其中，迁移率定义为载流子在单位电场下的速度，即：

由此：
v E
(15)
env / E
对于半导体，则需要对不同能带不同波矢的电子做平均：
(4)
1 ke 2kB 2Tn / m 3
(5) 自由电子气模型下，电导率可表达为：

由(5)、(6)式，可得到：
n e2 m
(6)
ke 1 2 kB 8 2 2.45 10 (W K ) T 3 e
2
(7)
这个就是 Wiedemann-Franz law，采用自由电子气模型推导出来的，这个结论可用作金属以 及重掺杂体系。 为了得到半导体中的“Wiedemann-Franz law” ，必须先介绍 Boltzmann Transport Theory。 Boltzmann 输运理论是解决输运问题的重要工具，无论是对于声子还是电子或者其它 粒子的输运问题都可借助 Boltzmann 理论来分析，得到定量的表达。
f FD (k ) v (k ) e T T
(28)
将式(28)代入式(23),同样考虑到平衡态分布函数 f FD 对电导率无贡献：
jq
上式可以简写为：
BZ
4
dk
3
( (k ) )v 2 (k )
f FD (k ) e T T
(16)
( n)
e dk f (k )vn (k ) E BZ 4 2
(17)
将(13)式代入(17)式，考虑到平衡态分布函数 f FD 对电导率无贡献：
( n) e2
dk f FD 2 vn (k ) n (k ) 2 n BZ 4
(18)
dk 考虑到 d g ( ) ，其中 g ( ) 为态密度。将(18)式中对波矢 k 的积分转换为对载 2 BZ 4 0
(21)
(22)
其中 v(k ) 表示携带波矢 k 的粒子的速度， f (k ) 为体系中粒子的分布函数，注意，此时由于 温差和电场(温差会引起电场，热电效应)的存在， f (k ) 不再是平衡态的费米狄拉克分布
f FD (k ) 。由此得到热流：
jq
BZ
4
dk
3
( (k ) )v(k ) f (k )
对于半导体而言，直接结合(33)和(39)式，得到：

进一步用
( )
ke

L22 L21L12 L11 L11L11
(47)百度文库
表示：
1 2 eT
“Wiedemann-Franz law”表达式为：
ke
2 0
1 0
FD
(k )
f (k ) v (k ) e T T
(27)
由于分布函数 f 只是对平衡分布函数 f FD 的微小偏移， 将(27)式中的分布函数 f 用平衡分布 函数 f FD 替代，得到：
f (k ) f
FD
(k )
2
ke L22 O kBT / F
2
2
(45)
结合(43)式中的第三式，我们再次得到 Wiedemann-Franz law。
ke 1 2 kB T 3 e
(46)
需要注意的是，以上结果是基于式(30),(31),(32)在金属近似下得到的结论，如果是对于半导 体则不能作上述近似。下面我们将导出半导体中的“Wiedemann-Franz law” 。
(42)
(式(42)可以解释为什么掺杂浓度越大，Seebeck 系数越小。)
对于金属而言，当 F
时，
f FD ( ) 才有贡献。采用 Sommerfield expansion，对温
2
度保留一阶修正，我们可以得到(精度为 kBT / F )[1]：(下面结论我没有推导 -_-…)
记录下电子输运理论的过程，备忘！ ------范登栋-武汉大学物理科学与技术学院 1064540094@qq.com 2015.9.28 Wiedemann-Franz law：支持了电子气作为电荷和能量的载体的模型 下面以自由电子气模型推导 Wiedemann-Franz law： 单位体积电子气对电子比热容的贡献为：