时间序列中自相关与偏相关函数分析_于宁莉

时间序列中自相关与偏相关函数分析

于宁莉　易东云　涂先勤

(国防科学技术大学数学与系统科学系,长沙,410073)摘　要　相关函数表现出时间序列中任意两个值之间的相关性是如何随着时间间隔而改变的.自相关函数刻画了时间序列相邻变量之间的相关性,偏相关函数则是排除了其它中间变量的影响,真实地反映两个变量之间的相关性,并且二者紧密相连.同时两个相关图所反映的信息在时间序列分析各个方面发挥着关键作用.关键词　自相关函数　偏相关函数　时间序列

Analyze Auto -correlations and Partial -correlations

Function in time Series

Yu Ningli Yi Do ng yun Tu Xiaoqin

(N ational U niv e rsity of Defe nse Technolog y ,Cha ng sha ,410073)

Abstract Co r rela tiov e functio n reflac ts how do es the co r rela tio n of the ev er y tw o v alue in the time series analysis v ery with the time -dista nce .Auto -cor relatio ns function depicts the co rr ela tio n o a va lue and the nearby o ne in the time series,but par tial-cor relatio ns function elimina tes the affect of the o th ers.Besides,they hav e nea rest co nnectio n.Th e tw o cor relativ e functio ns reflect mor e info rma tio ns,th ey a ll pla y key effects in ev ery a spect o f time series a na ly sis .

Keywords auto -co r rela tio ns functio n

　par tial -cor relatio ns functio n time series a na ly sis

1　自相关和偏相关函数的定义、推导方法

定义1　设已有零均值平稳序列{e t }的一组观测数据e 1,e 2,…,e n ,则对r k 的有偏估计为:r ∧k =1n ∑n -k

t =1

e t e t +k ,{r k }称为样本自协方差函数,则样本自相关函数为: {d ∧k },d ∧k =r ∧k /r ∧0,k =0,1,2,….

定义2　对于平稳时间序列{e k },k 阶偏相关函数定义为e t ,e t -k 关于e t -1,…,e t -k +1的条件相关函数

h kk =d e t e t -k |e t -1,…e t -k +1=E (e t e t -k |e t -1,…,e t -k +1)Var (e t |e t -1,…,e t -k +1),

第27卷第1期

2007年3月 数学理论与应用

M AT HEM AT IC AL THEORY AN D APPLICATIONS Vol.27No.1 M ar.2007

朱健民教授推荐　收稿日期:2006年6月8日

其中E ( |e t -1,…,e t -k +1)是关于条件密度函数f (e t ,e t -k |e t -1,…,e t -k +1)的条件期望.偏相关函数难以由定义直接计算得到,但是,由公式推导可以发现,k 阶偏相关函数即是按k 阶自回归模型对e t 作线性最小方差估计时的最后一项系数.由此可以得到计算偏相关函数的递推公式:

h k +

1,k +1=d k +

1-∑k

j =1d k +1-j h k ,j 1-∑k j =1d j h k ,j ,(1) h k +1,l =h k ,l -h k +1,k +1h k ,k +1-l

, l =1,2,…,k (2)只要一个AR(p )过程具有无限伸延的自相关函数,那么,就可由自相关函数的p 个非零函数来描述自身的特性,偏相关函数就是基于这一事实的一种描述手段.对任何平稳过程,都可以由偏相关函数 kk ,当然也都是作为过程自相关d k 的函数,但是,对于AR(p )过程有:当k >p ,时 kk =0,这是只适合于刻划p 阶AR 过程的明显特征.定义的量 kk 称为过程{z k }滞后为k 的偏相关,这是由于 kk 事实上用来度量z t 和z t -k 之间在扣除了中间变量z t -1,z t -2…,z t -k +1的影响之后的相关(或是z t 和z t -k 之间未被z t -1,z t -2,…,z t -k +1所解释的相关).可以定义为:

kk =co rr [z t -z ∧t ,z t -k -z ∧

t -k ].

例如,我们求出 11=co rr [z t ,z t -1],而

22=cor r [z t -z ∧t ,z t -k -z ∧

t -k ]

=h 2-2d 1V 1+d 21V 0[(V 0+d 21V 0-2d

1V 1)2]1/2=d 2-d 211-d 21.2　自相关和偏相关函数反映的信息

2.1　检验某一时间面序列是否平稳

平稳过程的自相关系数和偏自相关系数都会以某种方式衰减趋于0,前者测度当前序列与先前序列之间简单和常规的相关程度,后者是在控制其它先前序列的影响后,测度当前序列与某一先前序列之间的相关程度,如果某一时间序列的自相关函数随着滞后k 的增加而很快地下降为0,那么我们就认为该序列为平稳序列;如果自相关函数不随着k 的增加而迅速下降为0,就表明该序列不平稳.如果一个时间序列的自相关和偏相关图没有任何模式,而且数值很小,那么该序列可能就是一些互相独立的无关的随机变量.

2.2　识别AR 、M A 、ARM A 模型及阶数

1)自回归AR(p )模型:

当k >p 时,有 k =0或 k 服从渐近正态分布N (0,1/且(| k |>2n 1/2)的个数≤

4.5%,即平稳时间序列的偏相关系数 k 为p 步截尾,自相关系数r k 逐步衰减而不截尾,则序列是AR(p)模型.实际中,一般AR 过程的ACF 函数呈单边递减或阻尼振荡,所以用PACF 函数判别从(p 阶开始的所有偏相关系数均为0).2)移动平均M A (q )模型:55

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