051平面向量基本定理及共线向量定理

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平面向量共线向量定理

平面向量共线向量定理1. 什么是共线向量？说到平面向量，咱们先得搞明白什么是共线向量。

共线向量，简单来说，就是一群向量，它们的方向一致，就像一群小鸟齐齐飞向同一个方向。

想象一下，如果你和朋友们都朝同一个地方走，那你们就是共线的。

这样的向量在数学上可不是随便说说，它们有着特别的关系，甚至可以通过一些简单的计算来证明。

1.1 向量的定义向量其实就像一条有方向的箭，箭头指的地方就是它的方向，而箭的长度就是它的大小。

想象一下，如果你在操场上朝一个方向跑，跑的快慢、方向都可以用向量来表示。

平面向量则是在二维平面上的向量，咱们日常生活中的位置、速度等都可以用平面向量来描述。

1.2 向量的加法与数乘现在，咱们再聊聊向量的加法和数乘。

就像把两根同样的手指放在一起，你的总长度就变大了。

向量加法也是如此，把两个向量的起点连起来，最后的箭头指向的地方就是它们的和。

而数乘，就像你把这根手指伸长了几倍，方向不变，但大小却变大了。

这些操作在数学上是基础，但实际上它们的用途可多了去了。

2. 共线向量的性质接下来，咱们得看看共线向量的性质。

首先，共线向量的方向是一致的，换句话说，它们的方向角是相同的。

如果你把两根共线向量放在一起，你会发现它们可以重合，仿佛它们就是亲兄弟。

其次，任何一个共线向量都可以表示成其他向量的倍数，听起来有点复杂，其实就像是你把一道菜用不同的调料做成的风味，但本质上还是那道菜。

2.1 数学表达说到数学表达，咱们可以用公式来理解这一点。

如果有两个向量 ( vec{a ) 和( vec{b )，它们是共线的，那就意味着存在一个非零的实数 ( k )，使得 ( vec{a = k cdot vec{b )。

简单来说，就是你可以通过某种方式把一个向量变成另一个向量，这就叫共线。

2.2 生活中的例子在生活中，我们也能找到共线向量的例子。

比如说，两个车沿着同一条道路行驶，不管它们的速度多快或慢，只要方向一致，它们就可以看作是共线向量。

平面向量基本定理

平面向量基本定理
平面向量基本定理：
1、定义：平面向量基本定理是一种数学定理，它将向量的矢量乘积和其他数学定理结合在一起。

2、证明：平面向量基本定理可以由叉积定理和等价矢量乘积定理来证明：
A×B = C×A+B , 其中A和B是两个向量，C是其叉积。

同时有：A⋅(B×C) = B⋅(C×A) + C⋅(A×B)
将C×A替换成A×B，得到A⋅B×C= B⋅C×A + A⋅A×B，再将A⋅A×B 替换成C×A，即得到A⋅B×C = B⋅C×A + C⋅A×B。

故A×B=C×A+B，即平面向量基本定理得证。

3、应用：平面向量基本定理主要应用于平面向量运算。

它可以用于求解三角形和圆的关系，计算叉积和点面积，求解抛物线的中心，解决线性方程组的特殊解，以及证明连续多边形的属性等。

4、例题：
（1）已知AB、BC、CD是相互垂直的向量，若AB=2，BC=3，则
AC⋅CD的值为？
（2）A、B、C、D四点不共线，且AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，若AC=4，求CD的值？
解：（1）由题意可知，ABCD四点不共线，AB、BC、CD相互垂直，由矢量乘积的叉积定理可得，AB×BC=AC×CD，故
AC⋅CD=AB⋅BC=2×3=6。

（2）由题意可知，AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，且AC=4，因为AB、BC、CD相互垂直，所以有：AB×BC=AC×CD，由于有AB⋅BC=2，AC=4，故CD=2/4=1/2。

平面向量基本定理课件

e2 e1
uuu r uu u r uu u r OA, O别找一 uuur uuu r uuu r OM + ON = OC ？点M、N，使
B C O A B C
探究一：给定平面内任意两个向量e1， e2，如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？
e2 e1
2 如图，在平行四边形 ABCD 中， uuu r uuu r =a， AB AD =b，E、M 、F分别是 AD、DC 、BC的中点，以a，b为基 uu r uuu r 底分别表示向量AM 和 EF .
uuur 1 AM a b 2
B
F
C
M
uuu r EF a
A
E
D
变式：如图，在平行四边形 ABCD 中， uuu r uuu r AB =a， AD =b，E是AD中点，点F在BC上，且BC=3BF ，以 a ， b 为基底分别表示向量 uuu r uur 和 AF . EF
平江一中：何新良
知识回顾
1 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？
AB＋BC=AC 首尾相接，由首至尾
三角形法则
D C
AB＋AD＝ＡＣ平行四边形法则
共起点
A
B
2.向量a与λa的关系（长度与方向）？
（1）|λ a|= |λ ||a| （2）λ >0时， λa与a方向相同 λ<0时, λa与a方向相反
λ=0时， λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？非零向量a与向量b共线一实数λ ，使b＝λa. 存在唯
二维平面一维直线a∥e
a = e
?
a、e1、e2共面
a = 1e1 2e2
探究一：给定平面内两个向量e1，e2，如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？

平面向量中的定理

平面向量中重要定理总结（非常经典）1、共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .2、三点共线的证明方法若存在非零实数λ，使得AB →＝λAC →或AB →＝λBC →或AC →＝λBC →，则A ，B ，C 三点共线．3、平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.4、奔驰定理：已知O 是ABC ∆内一点，则0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S AOB AOC BOC推论：已知O 是ABC ∆内一点，若=⋅+⋅+⋅z y x ，则z y x S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆5、极化恒等式定理：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍. 即：)|||(|2|AD ||AB |2222BO AO +=+ 设.,b AD a AB == 则,,b a DB b a AC -=+= 极化恒等式：[]22)()(41b a b a b a --+=⋅，即：=⋅6、三点共线定理：已知OB y OA x OC +=，且1=+y x ，则C B A ,,三点共线 OABC向量等和线：平面内一组基底，及任意向量，21λλ+=，若点P 在直线AB 上或在与AB 平行的直线上，则k =+21λλ(||OC k =反之也成立,我们把直线AB 以及与AB 平行的直线称为基底系数等和线7、三角形各“心”的概念介绍重心：三角形的三条中线的交点，重心将中线长度分成2∶1；垂心：三角形的三条高线的交点，垂线与对应边垂直；内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)，内心到三角形三边的距离相等；外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．三角形各“心”的向量表示(1)O 是△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(2)O 是△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.(3)O 是△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →2)．(4)O 是△ABC 的内心⇔OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|－AC →|AC →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BA →|BA →|－BC →|BC →|＝OC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CA →|CA →|－CB →|CB →|＝0.注意：向量λ((AB →|AB →|＋AC →|AC →|)(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线)．。

平面向量基本定理

、 e1 e2的相应运算。
e1与 e2），
总结： 1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解（1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性（２）基底的不唯一性（３）定理的拓展性３、平面向量基本定理的应用求作向量、解（证）向量问题、解（证）平面几何问题
思考
在梯形ABCD中，E、F分别时AB、CD
e2,则有：
BC = BD + DC =(AD–AB)+DC 1 1 = e2 - e1+ 2 e1 = - 2 e1 + e2 MN = DN-DM D M 1 =(AN-AD)- 2 DC
1 = 2 e1 - e2 1 = 4 e1 - e2
1 - 4 e1
C
.
A
N
B
评析
能够在具体问题中适当地选取
的中点，用向量的方法证明： EF//AD//BC,且EF =
1 2
(AD+BC)
特别的，若a与 e（ e2 ）共线，则有 1
2=0（1 =0），使得: a = 1e1 + 2e2 .
例1：
已知向量 e1、e2 求做向量-2.5 e1 e2 +3 C B
e2
A
e1
3e2
2.5e1
· O
例2
如图所示，平行四边形 ABCD的两条对角线相交于点， M 且 AB a ， b，用a、 AD b表示MA MB、、 ? 、 MC MD
基底，使其他向量能够用基底来表示，再利用有关知识解决问题。
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理学中的力的
分解模型来理解，它说明在同一平面内任一向量都可以表示为不共线向量的线性组合，该定理是平面向量坐标表示的基础，其本质是一个向量在其他两

平面向量基本定理及共线向里之应用(精)

平面向量的概念与其线性运算1．向量的有关概念名称定义备注平行向量方向一样或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向一样或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向一样的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘XX数λ与向量a的积(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；[例3]在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且与点C 不重合，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则实数x 的取值X 围是( )．A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞)C．(－1,0) D ．(0,1)[例4]若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC的形状为________．[例5]在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.[课堂巩固]1．如图，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+， AQ ＝23AB ＋14AC ，则△ABP 的面积与△ABQ的面积之比为( )A ．15B ．45C ． 14 D ．13A3．如图，在△ABC 中，已知2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若AM AB BC λμ=+，则λμ+=.3、向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb (λ,μ∈R),则λμ=_________.3、ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m 的值是多少？4、在△ABC 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，求y x +4的最小值。

平面向量的共点与共线定理

平面向量的共点与共线定理平面向量是数学中重要的概念，它们可以描述平面上的位移、力等物理量。

在研究平面向量时，共点与共线定理是一个重要的概念，本文将详细介绍平面向量的共点与共线定理及其应用。

一、平面向量的基本概念在平面直角坐标系中，平面向量通常由有序实数对(a, b)表示，其中a为向量在x轴上的分量，b为向量在y轴上的分量。

平面向量可以用箭头（或有向线段）表示，箭头从向量起点指向终点，长度表示向量的大小，方向表示向量的方向。

二、平面向量的共点与共线1. 共点向量若有两个或多个向量的起点都相同，则这些向量称为共点向量。

2. 共线向量若有两个或多个向量都能够通过平移将它们重合在同一直线上，则这些向量称为共线向量。

共线向量除了在同一直线上的位置相同外，其大小和方向都可以不同。

三、平面向量的共点定理如果三个平面向量a, b, c共点，则存在实数λ, μ，使得a = λb + μc。

即，一个向量可以用其他两个向量的线性组合表示。

四、平面向量的共线定理1. 三个向量共线的充分必要条件给定三个平面向量a, b, c，它们共线的充分必要条件是存在实数λ, μ，使得a = λb + μc。

2. 两个向量共线的判定方法给定两个非零向量a和b，它们共线的充分必要条件是存在实数λ，使得a = λb。

五、平面向量的应用平面向量的共点与共线定理在许多问题中有广泛的应用。

下面以几个例子来说明其应用。

例1：证明三角形的垂心、重心和外心共线。

解析：设O为三角形的外心，M为三角形的中心，D为三角形的垂心。

连接OM、OD。

根据共点与共线定理，只需证明OM和OD共线即可。

例2：证明四边形的对角线的交点与中点共线。

解析：设ABCD为四边形，连接AC和BD，并设交点为E。

根据共点与共线定理，只需证明AE和DE共线即可。

例3：证明四边形的对角线和中线共点。

解析：设ABCD为四边形，连接AC和BD，并设交点为E。

根据共点与共线定理，只需证明AC和BD的中点与交点E共线即可。

共线向量与平面向量基本定理

2 3
#a»
（2）当 λ > 0 时，λ #a» 的方向与 #a» 的方向相同；当 λ < 0 时，
图 5-2-1
λ #a» 的方向与 #a» 的方向相反；当 λ = 0 时，λ #a» = #0».
2. 运算律
（1）对数因子的交换律：λµ #a» = µλ #a»；
（2）对数因子的结合律：λ(µ #a») = (λµ) #a»；
§ 5-2 共线向量与平面向量基本定理
2018 年 1 月 1 日
1. 实数与向量的积
设 #a» 是一个非零向量，则 2 #a» 表示与 #a» 方向相同且长度为 #a» 的 2 倍的向量，1 #a» 表示与 #a» 方向相同 2
且长度为 #a» 的 1 的向量. 类似地，−3 #a» 表示与 #a» 方向相反且长度为
（B） 3 5
（C） 4 5
（D） 7 5
A
天
F E
B
C
图 5-2-5
变式 5
（1）（2008 广东理 8）在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的
延长线与 CD 交于点 F . 若 A# C» = #a»，B# D» = #b»，则 A# F» =
（3）向量对数因子的分配律：(λ + µ) #a» = λ #a» + µ #a»；
（4）数因子对向量的分配律：λ( #a»
+
#» b)
=
λ #a»
+
#» λb.
3. 共线定理
定理
向量
#» b
与非零向量
#a»
共线的充要条件是有且只有一个实数
λ，使得

平面向量基本定理与向量共线定理的区别

平面向量基本定理与向量共线定理的区别下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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平面向量基本定理

c a
b
a
2. 平面向量 a 与 b 的夹角为 60, |a|2, |b|1, 则 |a2b| 的模等于 ( B ) (A) 3 (B) 2 3 (C) 4 (D) 12 解: 画出 a 与 b 的夹角为 60, |a|2, |b|1. 再由平行四边形法则画 a2b,
(一)基本定理
平面向量基本定理: 如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任一向量 a, 有且只有一对实数 1、2, 使 a 1e12e2. 即: 平面内任一向量 a, 可用平面内不共线的两向量 e1、e2表示. e1、e2叫做表示平面内所有向量的一组基底.
o
（2）若AP=t AB ，则OP
A
P M
B
OP （－ 1 t） a＋tb
（2）若AP=t AB ，则OP
分析：OP = OA + AP O
P
B
A
解：
AP t AB OA t (OB OA) (1 t )OA tOB
OP OA AP OA t AB
2.3.1 平面向量基本定理
知识回顾
（1）向量共线充要条件
向量b与非零向量a共线的充要条件是
有且只有一个实数λ，使得b = λa.
（2）向量的加法：
b
O
B
C
ab
a
A
b a
O
平行四边形法则
ab
B
b
A a 三角形法则
新课导入
对于平面内的向量
α、 β ，根据三角形法则
O
B
C
ab
或者平行四边形法则，能很快的画出 a + b . 另外两个分向量表示呢？

平面向量基本定理(完整版)

量基本定理结合向量共线，推证结论.
O 课本P97例2
O
1．已知平行四边形 ABCD，下列各组向量中，是该平面内
所有向量基底的是 ( )
A.A→B，D→C B.A→D，B→C
C.A→D，C→B
D.A→B，D→A
2. 若点o是平行四边形 ABCD 的中心，AB 4e1, BC 6e2, 则3e2 2e1 _______.
向量 c 与 d 能否作为基底 .
跟踪练习. 若e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为基底的 ( )
A. e1 e2和e1 e2 C. e1 3e2和e2 3e1
B. 3e1 2e2和4e2 6e1 D. e2和e1 e2
用基底表示向量【例 2】在▱ABCD 中，设A→C＝，B→D＝，试用，表示A→B，B→C.

O

a
的夹角．注是同意起:两点向的量必须
A
r 特别的： a
r ObB
0
rr a 与 b同向
r
B
A
r
a
Bb O
180
rr
a 与 b 反向
r
A
b
O

r a
A
r r 90 r
r
夹角的范围：
a 与b 垂直，记作 a b
例2.在等边三角形中，求 (1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。
r j
y)
Or
x
i
平面向量的坐标表示
注意： r
（1）与 a 相等的向量的坐标均为（x,
y)(2)
r i
rr i0j
(1, 0)

高中数学(人教B版)必修第二册：向量基本定理【精品课件】

λ=μ.
激趣诱思
知识点拨
名师点析对共线向量基本定理的理解
(1)共线向量基本定理中条件“a≠0”必不可少,这是因为如果a=0,则
一定有b与a共线(零向量与任意向量共线),此时b有两种情况:
①b=0;②b≠0.若b=0,此时b=λa中的λ有无数个;若b≠0,此时不存在λ
使得b=λa成立.这两种情况违背λ“存在且唯一”的特点.
其中正确的结论的序号为
.
解析:如图,
1
1
= + =-b+2 =-b-2a,①正确;
1
= + =a+2b,②正确;
1
1
1
1
= + =-b-a, = + 2 =b+2(-b-a)=2b-2a,③正确;
④ =
1
1
=-2a,④不正确.
性.唯一性是指如果c=xa+yb=μa+vb,那么x=μ且y=v.
(3)当a与b不共线时,xa+yb≠0的充要条件是x与y中至少有一个不为
0.
激趣诱思
知识点拨
2.基底
平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a,b},常称为该平面上
向量的一组基底,此时如果c=xa+yb,则称xa+yb为c在基底{a,b}下
若|a|=5,b与a方向相反,且|b|=7,则a=
b.
5
解析:由题意知a=- 7 b.
5
答案:-
7
微拓展
对于任意两个向量a,b,若存在不全为0的实数对(λ,μ)使λa+μb=0,则
a与b共线.
激趣诱思
知识点拨
微练习 2
已知向量 a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三

平面向量的基本定理

P B
A
o
例4、已知梯形ABCD中，AB 2 DC
M，N分别是DC，AB的中点，若AB e1, AD e2 用e1, e2表示DC，BC，MN
DM C
A
N
B
作业数学之友：T5.5
；云客云控 / 云通天下
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讶地望向热心人,而对方却给她使了一个“走你”の眼色.“谢谢.”陆羽点点头轻声道声谢,不管对方有没听见,已快步转身拐进人群里.即将走出门口时,她回头看了一眼.那是一名体格健硕の青年男子,浓眉大眼,一件短袖恤衫束在牛仔裤里,寸板头显得他形象粗犷略性感.一身の阳刚之气充满男人味,看人の时候似笑非笑の,气势内敛却又难掩自身の强悍,吸引了不少目光.把那酒鬼扔地下之后,扫一眼全场没发现异常,他来到吧台敲了敲台面.“你老板呢？”“刚有事出去了,让您等会儿.”问得轻松,酒吧主管答得状似轻松随意.如此淡定肯定有所依仗,要么常客要么是熟人.站得老远の陆羽放心了,迅速离开这个是非之地.这时,青年男子点点头,回头冷淡地瞟一眼挨了自己教训の酒鬼.对方好不容易爬起来,终于有熟人发现他不见了出来找并扶起他,三人四下张望吆喝：“谁？！刚才谁推我？！妈.の...”吧哩吧啦嚷着要找人报仇.事不关己无人搭理,大家继续各玩各,灯红酒绿,熙熙攘攘の.一杯色泽炫酷の特饮摆在眼前,青年男子转过头来,粗砺而灵活の手缓缓转着杯子.“刚才那情形往日没人理？”“有,当然有,没你快而已.”酒吧主管轻笑,“管之前一般先看女士の表现,如果她愿意,我们也管不着.”这种场合鱼龙混杂,不缺奇葩,你情我愿の买卖有の是.青年嘴角扯了下,边喝边继续打量四周,那眼神异常锋锐,“没有未成年吧？”感觉刚才那女生长相青涩稚嫩,像是未成年少女.如果是,哈哈,这店完了.“大门口刷胡集取票,旁边还有四双眼睛盯着,不信可以查监控,发现半个算我输...”酒吧主管戏谑举手比划一下眼睛,以示本店绝对合理合法,严格执行相关の法律法规,未成年绝对混不进来.青年嗤了声,不再多言,仔细品尝杯中美酒耐心等待...晚上の八九点,大都市精彩の夜生活才刚刚开始.刚从喧嚣中脱身回到家の陆羽,打开自己紧锁の房门,把包包挂好.然后第一时间去洗漱一番,把沾了满身酒气の自己从头洗到脚, 弄得干干净净香喷喷の才肯罢休.拿起搁在枕头边の相册翻了翻,想起那捞不着の家人,心境十分复杂.不过,这儿毕竟是出租屋,使用灵能多有不便.纤细の手指在相册の硬面摩梭几下,最终把它放回行李箱.待找到一个真正属于自己の地方再慢慢探究,人活着就有希望,她总有一天能找出原因来.放好相册,陆羽来到书桌前打开电脑.作为一名具有预知能力の新人类,趋吉避凶是必然の选择.梦中の她是一名下等人（普通人）,一些重要の情报狄家儿女从不与她分享,甚至不想让她知道得太多.幸运の是,人类の是非天性让她从其他普通群体中得知一个重要信息.原来华夏除了军部建立の安全区,西南部还有一个自始至终很安全の地方...第24部分由于路途远,江湖险恶,狄、陆两家不得已选择另外两个去处.乱世没有国家,只有四大安全区、八大基地,及其他小部落或乌合之众组成の小基地.华夏幸存者比其他地方多些,除了安全区,八大基地の其中两个也位于西南与东部地区.附近の中小型基地几乎全部被三大区招安了,成为各路人马奔赴大本营の休息补给站点.其余の小基地要么归顺,要么到处流窜,谁撞上谁倒霉,除非能力够强悍.最大の安全区掌握在军方手中,其余两个基地の首领也非等闲之辈.据陆羽所知,东部地区在战乱开始时曾发生几场不大不小の动乱,是狄家日后要投奔之所,不必考虑.军部安全区人口太多,也是陆家人以后の选择.远离狄家,陆家也不是善茬,能不掺和尽量躲着点儿.所以,西南部最适合她.那地方远是远了些,胜在如今是太平盛世,交通方便,慢慢走着去也是一种颇为享受の生活方式.所谓背靠大树好乘凉.她不知道那位基地领主是男是女,叫什么名字,什么时候出现,也不知道详细位置,反正西南一带均在对方の管辖之内.能与之做邻居最好,做不了就借贵人の屋檐挡挡风雨.相信二三十年后の她,有能力保护自己.再不济の,她干脆逃进画里,等外面の世界清洗完再出来应该不会挨揍吧？话说,她の能力谈不上稀罕,在厨房里听到那些妇人说,人家大首领一般稀罕の是能储存物资の私人空间、治愈术和其他具有叩伤力の能耐.而她呢？世上有几个人愿意脱离现实,永远躲在图画世界里？画里の世界跟现在一样,所有物资要用钱买,可新世纪の人类手里没钱,总不能隔几天或者几个月就出来大街上捡钱吧？还有,如果每个人出入得靠她牵引,她岂不成了人形活电梯？陆羽汗：...算了,那个以后再想.她记得有人说过,那位牛人の基地之前是一个世外桃源,就是一个农家乐旅游区,不知哪处美景吸引了他/她.可是,这些年来各种形形式式の农家乐、世外桃源层出不穷,没有一千,至少也有几百个点遍布华夏各地.就拿刚刚查过の西南地区,与世外桃源扯上关系の有十几二十间,农家乐约莫数十家.到底是哪里呢？查看了老半天,一点儿头绪都没有.她索性趴在床上冥思苦想,努力搜刮脑海里の存货看有没遗漏什么.那个梦只做了一遍,想找线索,她只能靠回忆.可惜一直到她睡着, 仍是一无所获...第二天の十一点左右,陆羽被一阵敲门声惊醒,她睡眼惺忪地爬起来打开门一看.“陆陆...”见她还没起床,有些疲累の陈悦然愣了下.要知道,睡到自然醒这种事一向是她の专利,陆羽每天准时六点起床.“干嘛？有话快说,我刚起床...”正在洗耳恭听却没下文, 被叫醒の女生一脸不耐.一想到自己现在头未梳牙未刷,心境极差.两人相识四年,陈悦然知道她有起床气,顾不得关心她昨晚干嘛了,忙支支吾吾地,“呃,陆陆,你,你跟狄景涛之间...”又是这个,到底要说几遍才肯信？“最后说一次,我跟他之间没关系,现在没有,以后也没有！”陆羽显得异常烦躁.说完,她泄气地双手自然垂直,目光呆滞倚在门边,眼前一片白濛濛.“那就好,”陈悦然仿佛松了一口气,“昨晚我们喝多了...不知该怎么办...”语焉不详,颇有深意.喝多了...嚯？！陆羽紧闭の双眼倏地一睁,猛然清醒.那三个字堪称她一生の噩梦,教训太深刻,硬是把她从游魂状态吓醒过来.“喝多了？那你们...”陆羽下意识地往对方脖子一瞧,哟,原该印在自己脖子上の草莓红点,如今落在她の身上.这,该同情她么？她の出神呆愣,看在别人眼里成了自己男人被抢后の不知所措,因为狄景涛在海山时说陆羽已默认他是男朋友.煮熟の鸭子飞了,不气才怪呢.脑补一番, 陈悦然只觉得扬眉吐气,同时含有几分羞涩.毕竟是第一次,还是她主动の,脸上从今早起一直火辣辣の热.“是,我们已经...”“哦.”表说,她知道了.哦？陈悦然脸上の羞赧之色渐褪,就这样？“还有事吗？我要刷牙.”陆羽打个哈欠,转身回房拿了一个橡筋把头发随意束起,然后去漱口.陈悦然一路跟着,“陆陆,你生气了？是我们不对,你骂吧！别憋着...”噗,谁憋了？正在刷牙一嘴泡沫の姑娘险喷,不禁冲镜子翻了个白眼...陆羽洗漱完毕,回头发现陈悦然正烦躁地在客厅走来走去.见她出来,陈悦然立即上前问：“陆陆,你辞职了？”“对呀.”“那干嘛推荐谢妙妙顶你の位置？我不行吗？”刚接到の消息,可把她给气坏了.文教授の工作室福利待遇好,跟在他身边前途无量,这是多少学子梦寐以求の事？难得有机会干嘛不便宜她？不是朋友吗？她の质问让陆羽哭笑不得,“你当然不行,扪心自问,你哪方面能跟谢妙妙比？”以前顾及她自尊心不好直说,一个只懂抄书の能跟创作型人才比较？不自量力.“你...”真相是残酷の,对方软绵柔和の声线仿佛带着刺,陈悦然被刺得面红耳赤,无言以对.“对了,这房子还有三个月到期,我不租了,而且随时可能退租,你要另找地方住.不搬也行,房租、押金你一个人付,或者另外找人跟你合租.”边说边忙碌着, 她要烧开水泡面吃,只烧自己の.陈悦然听罢神色大变.这房子是两位学姐转租の,押金由陆羽付,房租两人对半分.如果一个人租,陆羽撑得住,她绝对不行.“陆陆,你讨厌我？”静默一会儿,陈悦然缓缓说道.“不,”陆羽转过身来,眼神清冷,“是你讨厌我,陈悦然.”不然回来得瑟什么？幸灾乐灾の,跟梦里一模一样,看着烦.假面被撕破,陈悦然冷着脸出了门.陆羽没理她,捧着一碗泡面回到电脑前查看世外桃源の图画与资料,仔细判断哪个地方更吸引人.凡是合心意の风景皆收藏路线,列表,待改天打印出来再一路找过去.至于房子,退是退定了の,行李先放这儿,三个月应该足够她找到目の地.第25部分说做就做,先把西南地区所有跟世外桃源、农家乐有关の资料列表,下午の时候她出去打印,等回来时,意外发现有三个男生在她家搬东西.幸亏是认识の,其中一个是狄景涛,另外两个是陌生人.“小周,先帮忙把柜子搬出来.”狄景涛充当指挥.陆羽拧眉进屋来,“你们干嘛？”狄景涛出现在这里,九成九是陈悦然招来の.今非昔比,狄景涛只瞥她一眼,懒得跟她说话,径自帮忙搬东西.倒是里边の陈悦然听到动静从房间里出来,淡笑道：“我让景涛帮忙搬东西,你不是让我滚吗？如你所愿.”望过来の眼神充满讽刺.她是负担不起全部房租,更给不起押金,可她有男人养啊！反观姓陆の,父母死了,狄景涛说她为了钱连兄嫂都不认,哈,毫无倚仗,看她以后怎么死.陆羽眉角轻挑,唉,撕破脸了,光明正大当着男人面给她上眼药.这么幼稚の手段她是不会计较の,更没必要解释,“那你搬仔细了,别落下东西.这房子是我租の,明天我要出远门,所以今晚找人过来换锁,以后可没人给你开门了.”“陆羽,你能不能要点脸？悦悦以前怎么对你你全忘了？有必要做得那么绝？”以前自己瞎了眼看错人,如今她当面欺负他の女人,狄景涛实在咽不下这口气,冲她横眉冷对.陆羽打开自己の房门,一边回头反驳：“我说の是实话,总不能她想搬多久我就陪着等多久吧？哦,你们脸大我要迁就？”双贱合璧欺负她是不是？哼,换了以前她会息事宁人,现在难了,意义上她比常人多了一段经历,知道有些人喜欢得寸进尺.以陈悦然の为人,拖得越久,以后越可能出妖蛾子,不得不防.怼完狄景涛,瞟一眼陈悦然,见她满脸委屈地站在他身边,小鸟依人似の. 陆羽心中仅剩の一点同情心烟消云散,当着两人の面给房东打电话要求换锁,所有费用由她付.谈妥之后,她回自己房间也开始收拾东西.“景涛,算了,别跟她计较.”陈悦然见狄被怼得脸色铁青,知道两人再无可能,心喜之余也有点心疼,温声安抚道.“呸,谁跟她计较,见利忘义の东西,早

平面向量的共线定理和共点定理

平面向量的共线定理和共点定理平面向量是数学中重要的概念之一，其具有广泛的应用。

在平面向量的运算中，共线定理和共点定理是两个重要的定理，对于理解和应用平面向量具有重要意义。

共线定理是指如果两个非零向量的起点相同或终点相同，且它们的方向相同或相反，则这两个向量共线。

换句话说，如果两个非零向量可以通过缩放或反向缩放得到，那么它们是共线的。

举个例子来说，假设有两个非零向量A和B，它们的起点都为点P，且它们的方向相同或相反，那么根据共线定理，可以得出结论：向量A和向量B是共线的。

共线定理可以通过以下公式表示：若向量A和向量B是共线的，则有 A = k * B 或 A = -k * B，其中k 为非零实数。

共点定理是指如果两个非零向量的起点和终点相同，则这两个向量共点。

具体而言，如果两个非零向量的起点都是点P，终点都是点Q，那么根据共点定理，可以得出结论：向量A和向量B是共点的。

共点定理可以通过以下公式表示：若向量A和向量B是共点的，则有 A = B。

根据以上的共线定理和共点定理，我们可以进行一些相关的应用和推论。

首先，利用共线定理和共点定理，我们可以判断两个向量是否共线或共点。

只需判断它们的起点和终点是否相同，以及它们的方向是否相同或相反即可。

其次，共线定理和共点定理还可以用于求解向量的系数。

例如，已知点P、Q和R的位置关系，以及向量PA和向量QA共线，我们可以利用共线定理求解出向量PA和向量QA之间的系数。

同样地，如果已知向量A和向量B共点于点P，并且向量A、向量B和向量C共线，我们可以利用共点定理求解出向量A和向量B之间的系数。

此外，共线定理和共点定理还可以用于证明一些几何性质。

例如，我们可以利用共线定理证明平面中两个角的余弦值相等，或者利用共点定理证明平面中的四边形为平行四边形。

总结起来，平面向量的共线定理和共点定理在求解向量的位置关系、系数和证明几何性质方面起着关键作用。

通过充分理解和应用这两个定理，我们可以更好地理解和运用平面向量的相关概念和运算。

高中数学,空间向量基本定理

C
E
G B
O
A
练习3、如图所示，四面体ABCD的六边都相等，O1、O2
是BCD和ACD的中心，以向量AB，AC，AD 为一个 A
基底，求O1O（2 用基底表示）。
O2 D
B
O1
E
C
小结:
1、本节课的重点内容是空间向量基本定理及推论.
2、注意空间向量基本定理就是空间向量分解定理，即空间任一向量可分解为三个方向上的向量之和；
a =λ1e1+λ2e2
我们把不共线的两个向量e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
这表明:平面内任一向量可以用该平面内的两个不共线向量来线性表示.
通过平面向量基本定理来类似地推广到空间向量中吗？空间向量基本定理:
向如量果p三，个存向在量惟e1一, e的2, e有3不序共实面数，组那(x么, y,对z)，空使间任一
3、介绍了空间向量基本定理的应用。选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量法解立体几何问题的一项基本功。
p xe1 ye2 ze3
z
O
y
x
建构数学
空间向量基本定理:
如果三个向量e1, e2 , 的有序实数组(x, y,
ze)3，不使共面p，那x么e1对空y间e2任一z向e3量p ，存在
唯一
{e1, e2, e3}— 基底 e1, e2, e3 — 基向量
强调：对于基底{e1, e2, e3}
1则、练a如习与果b有a, 什b与么任关何系向？量都共不线能构成空间的一个基底，
2、判断：O, A, B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不

平面向量基本定理应用

定理应用：平面向量基本定理在解决向量问题、计算向量长度、求解向量方程等方面有广泛应用。
定理推广：平面向量基本定理可以推广到三维空间，成为空间向量基本定理。
定理证明
平面向量基本定理：如果两个向量a和b满足a·b=0，那么向量a和b互相垂直。证明过程：假设a和b不互相垂直，那么a·b≠0。
反证法：假设a和b不互相垂直，那么a·b≠0。
平行四边形法则：力的合成与分解遵循平行四边形法则
应用实例：力的合成与分解在工程、物理学等领域的应
用
速度和加速度的研究
平面向量基本定理：向量的加法和数乘运算
速度和加速度的定义：速度和加速度是向量，可以用平面向量基本定理进行研究
速度和加速度的关系：速度和加速度是相互垂直的向量，可以用平面向量基本定理进行研究速度和加速度的应用：速度和加速度是物理学中的重要概念，可以用平面向量基本定理进行研究
实例二：已知两个力的大小和方向，求合力的大小和方向
实例三：已知一个力的大小和方向，求另一个力的大小和方向
实例四：已知两个力的大小和方向，求第三个力的大小和方向
Байду номын сангаас
速度和加速度实例
速度：物体在单位时间内通过的距离加速度：物体速度的变化率实例：汽车行驶过程中，速度随时间变化，加速度表示速度的变化率应用：通过速度和加速度的测量，可以分析物体的运动状态和运动规律
解决物理问题实例
实例二：利用平面向量基本定理求解力的平衡问题
实例一：利用平面向量基本定理求解力的合成与分解
实例三：利用平面向量基本定理求解力的转动问题
实例四：利用平面向量基本定理求解力的传递问题
平面向量基本定理的应用前景

2020年高考山东版高考理科数学 5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示

专题五平面向量【真题典例】5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示挖命题【考情探究】分析解读 1.从“方向”与“大小”两个方面理解平面向量的概念.2.结合图形理解向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.3.掌握求向量坐标的方法,掌握平面向量的坐标运算,并能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题.4.用坐标表示的平面向量共线的条件是高考考查的重点,分值约为5分,属中低档题.破考点【考点集训】考点一平面向量的概念及线性运算1.(2018陕西西安中学11月月考,5)给出下列四个命题:①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;③若a=b,b=c,则a=c;④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.其中正确命题的序号是( )A.①②B.②③C.③④D.②④答案B2.(2018辽宁六校协作体期中联考,4)设非零向量a,b,下列四个条件中,使=成立的充分条件是( )A.a∥bB.a=2bC.a∥b且|a|=|b|D.a=-b答案B3.(2017河南中原名校4月联考,7)如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若=λ+μ(λ,μ为实数),则λ2+μ2=( )A. B. C.1 D.答案A考点二平面向量基本定理及坐标运算1.(2017河北衡水中学三调考试,6)在△ABC中,=,若P是直线BN上的一点,且满足=m+,则实数m的值为( )A.-4B.-1C.1D.4答案B2.(2018湖南湘东五校4月联考,15)在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若=λ+μ,则实数λ+μ=.答案3.(2018吉林长春期中,15)向量,,在正方形网格中的位置如图所示,若=λ+μ(λ,μ∈R),则= .答案 2炼技法【方法集训】方法1 平面向量的线性运算技巧和数形结合的方法1.(2018河北唐山二模,4)已知O是正方形ABCD的中心.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则=( )A.-2B.-C.-D.答案A2.(2018辽宁葫芦岛期中,3)在△ABC中,G为重心,记=a,=b,则=( )A.a-bB.a+bC.a-bD.a+b答案A方法2 向量共线问题的解决方法1.(2018陕西部分名校摸底考试,7)如图,在△ABC中,=,P是BN上一点,若=m+,则实数m 的值为( )A. B. C. D.答案D2.(2017福建福州3月质检,6)设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C 三点共线,则+的最小值为( )A.4B.6C.8D.9答案C3.(2018四川德阳三校联考,11)在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,I是△ABC的内心,若=m+n(m,n∈R),则=( )A. B. C.2 D.答案B4.(2018中原名校联考,15)如图,在△ABC中,点M是BC的中点,N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,则= .答案 4方法3 平面向量的坐标运算技巧1.(2018辽宁丹东五校协作体联考,4)向量a=,b=(cos α,1),且a∥b,则cos 2α=()A. B.- C. D.-答案C2.(2018重庆一中月考,10)给定两个单位向量,,且·=-,点C在以O点为圆心的圆弧AB上运动,=x+y,则x-y的最小值为( )A.-B.-1C.-2D.0答案B3.(2017福建四地六校4月联考,13)已知A(1,0),B(4,0),C(3,4),O为坐标原点,且=(+-),则||等于.答案2过专题【五年高考】A组山东省卷、课标卷题组考点一平面向量的概念及线性运算1.(2018课标Ⅰ,6,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( )A.-B.-C.+D.+答案A2.(2015课标Ⅰ,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点,=3,则( )A.=-+B.=-C.=+D.=-答案A3.(2014课标Ⅰ,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为. 答案90°考点二平面向量基本定理及坐标运算1.(2016课标Ⅱ,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( )A.-8B.-6C.6D.8答案D2.(2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=.答案3.(2015课标Ⅱ,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.答案B组其他自主命题省(区、市)卷题组考点一平面向量的概念及线性运算(2015北京,13,5分)在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x= ,y= .答案;-考点二平面向量基本定理及坐标运算1.(2015湖南,8,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为( )A.6B.7C.8D.9答案B2.(2014福建,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( )A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案B3.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若m a+n b=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为.答案-34.(2014北京,10,5分)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=.答案5.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.(1)若++=0,求||;(2)设=m+n(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值. 解析(1)解法一:∵++=0,又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),∴--解得x=2,y=2,即=(2,2),故||=2.解法二:∵++=0,则(-)+(-)+(-)=0,∴=(++)=(2,2),∴||=2.(2)∵=m+n,∴(x,y)=(m+2n,2m+n),∴两式相减得,m-n=y-x,令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.评析本题考查了向量线性坐标运算,简单的线性规划等知识;考查运算求解,数形结合、转化与化归的思想.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2019届山东淄博实验中学第一次诊断,9)已知△ABC和点M满足++=0,若存在实数m,使得+=m成立,则m=( )A.2B.3C.4D.5答案B2.(2019届山东青岛高三初期调研,6)已知向量a=(-1,1),b=(3,m),若a∥(a+b),则m=( )A.-2B.2C.-3D.3答案C3.(2019届山东博兴一中10月质检,9)如图,在△ABC中,点D在BC边上,且CD=2DB,点E在AD边上,且AD=3AE,则用向量,表示为( )A.+B.-C.+D.-答案B4.(2018江西师大附中12月模拟,10)设D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,则+2+3=( )A. B. C. D.答案D5.(2018河北衡水中学2月调研,5)直线l与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于点E,F,且交其对角线AC于点M,若=2,=3,=λ-μ(λ,μ∈R),则μ-λ=()A.-B.1C.D.-3答案A6.(2017河北冀州模拟,7)已知向量a=,b=(4,4cos α-),若a⊥b,则sin=( )A.-B.-C.D.答案B二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2018河北衡水中学9月大联考,13)已知向量a=,b=(k,1),若a∥b,则k= .答案 18.(2018河北石家庄重点中学12月联考,14)在平行四边形ABCD中,M为BC的中点,若=λ+μ,则λμ=.答案9.(2017山西大学附中模拟,15)在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=1,AB=2,E,F分别为AB,BC 的中点,点P在以A为圆心,AD长为半径的圆弧DE上运动(如图所示).若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则2λ-μ的取值范围是.答案[-1,1]三、解答题(共10分)10.(2018河南许昌、平顶山两市联考,21)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,M为平面上任意一点,A,B,C 三点满足=+.(1)求证:A,B,C三点共线,并求的值;(2)已知A(1,sin x),B(1+sin x,sin x),M,x∈(0,π),且函数f(x)=·+-·||的最小值为,求实数m的值.解析(1)证明:∵=+,备战2020高考∴-=(-),∴=,又∵,有公共点B,∴A,B,C三点共线.∵=,∴=3.(2)∵A(1,sin x),B(1+sin x,sin x),M,O(0,0),∴·=1+sin x+sin2x,=(sin x,0).又x∈(0,π),∴||=sin x,∴f(x)=·+-·||=sin2x+2msin x+1.设t=sin x,∵x∈(0,π),∴t∈(0,1],∴y=t2+2mt+1=(t+m)2+1-m2.①当-m≤0,即m≥0时,y=t2+2mt+1无最小值,不符合题意;②当0<-m≤1,即-1≤m<0时,当t=-m时,y min=1-m2=,∴m=-舍去;③当-m>1,即m<-1时,当t=1时,y min=2+2m=,∴m=-,此时m>-1,不符合题意.综上可知,m=-.。