051平面向量基本定理及共线向量定理

平面向量基本定理和共线定理
学习目标
一．知识回顾
1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．
特别提醒：基底不惟一，关键是不共线；
【重要结论】
4.设 是不共线的向量，已知向量 ，若A、B、D三点共线，则k的值为。
5.已知数列 为等差数列， ，O为坐标原点，且点P,A,B三点共线，则 =
6.如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若 ＝λ ＋μ ，则λ＋μ＝________.
7．设a和b是两个不共线的向量，若 ＝2a＋kb， ＝a＋b， ＝2a－b，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于________．
8.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若 ＝m ， ＝n ，则m＋n的值为________．
9.在△ABC中， ＝ ，P是直线BN上的一点．若 ＝m ＋ ，则实数m的值为()
A．－4 B．－1C．1 D．4
10.已知 点 在 上， . 则向量 等于()A． B． C． D．
3.如图，在四边形ABCD中，AB=2AD=1，AC= 且∠CAB= ，
∠BAD= 设 ，则λ+μ=（ ）
A．4 B．6 C．-4 D．-2
4Leabharlann Baidu在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记 ， 分别为a，b，则 ＝()
A. a－ bB. a＋ bC．－ a＋ bD．－ a－ b
考向二 共线向量定理及应用
例2.设a，b是不共线的两个非零向量，
(1)若 ＝2a－b， ＝3a＋b， ＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．
例3.设 ， 不共线，求证：点P，A，B共线的充要条件是： ＝λ ＋μ 且λ＋μ＝1，λ，μ∈R.
练习：(1)在△ABC中， ＝2 ， ＝ ＋λ ，则λ＝________．
1）若向量 与 相等的条件是 且
2）若向量 ，则
2．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa；
2．典型例题
考向一 平面向量基本定理
1.下列各组中的 与 能否作基底：（1） ， ； （2） ， ；
2.如图所示，| |＝| |＝1，| |＝ ，∠AOB＝60°， ⊥ ，设 ＝x ＋y ，求实数x，y的值．
11.如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若 ＝λ ＋μ ，则λ＋μ的值为()
A. B．－ C．1 D．－1
12.在三棱柱 中，侧面 底面 ， ，且侧面 为菱形.
证明： 平面 ；
若 ， ，直线 与底面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值.
（2）如图所示，在△ABC中， ＝ ，P是BN上的一点，若 ＝m ＋ ，则实数m的值为________．
三．课后作业
1．(2015·课标全国Ⅱ，理)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
2．已知向量 ， ， ，其中 、 不共线，若 ，则 =， =．
3.已知： 点C在 内,且 则 ．