离心率专项练习

离心率专项练习

1、 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24

＋y 2

＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，

B 分别是

C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是_____________．

【解析】本题考查椭圆、双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单几何性质，考查转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想以及运算求解能力．设双曲线方程为x 2

a 2

－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)①，点A 的坐标为(x 0，y 0)． 由题意得a 2＋b 2＝3＝

c 2②，则|OA |＝c ＝3，

所以⎩⎪⎨⎪⎧

x 20＋y 20＝3，x 20＋4y 20＝4，

解得x 2

0＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b 2

③，联立②③解得a ＝2，所以e ＝c a ＝62

．

2、 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和

A 2

B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线

C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是__________．

【解析】本题主要考查双曲线的离心率、直线与曲线的位置关系、不等式的性质．设双曲线的焦点在x 轴上，则由题意知该双曲线的一条渐近线的斜率k (k >0)必须满足3

3

线的离心率为e ＝c

a

＝

1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，所以233

b

2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，

∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为____________．

【解析】本题主要考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的定义、方程与几何性质等知识，意在考查考生的运算求解能力．

法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝

2c

2a ＝

|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝3

3

.

法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2

a ，所以

|PF 2|＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2

a

，变形可得3(a 2－c 2)＝

2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝

3

3

或e ＝－3(舍去)． 4、 从椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x

轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是____________．

【解析】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查曲线和方程这一解析几何的基本思想．由已知，点P (－c ，y )在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝⎛⎭⎫－c ，b

2

a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－

b a ＝－b 2a

c ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是2

2.

5、 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，

连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝4

5，则C 的离心率为___________．

【解析】本题主要考查圆锥曲线的定义、离心率，解三角形等知识，意在考查考生对圆锥曲线的求解能力以及数据处理能力．由余弦定理得，|AF |＝6，所以2a ＝6＋8＝14，又2c ＝10，所以e ＝1014＝5

7

.

6、 如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ，b ＞0)的左、右

焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是___________．

【解析】不妨设c ＝1，则直线PQ ：y ＝bx ＋b ，两渐近线为y ＝±b

a x ，因此有交点P (－

a a ＋1，

b a ＋1)，Q (a 1－a ，b 1－a )，设PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为(a 21－a 2，b 1－a 2)，因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的坐标为(3,0)，因此有k MN ＝b

1－a 2－0a 21－a 2

－3＝－1b ，所以3－4a 2＝b 2＝1－a 2，所以a 2＝23，所以e ＝6

2

.

7、 设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a

2

上一点，△F 2PF 1

是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为____________．

【解析】由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，所以2(32a －c )＝2c ，所以3a ＝4c ，所以e ＝3

4.

8、 如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，

O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是____________．