几何原本与几何基础的公理体系和我国平面几何课本的历史演变样本

欧氏几何的公理体系和中国平面几何课本的历史演变

（一）几何原本与几何基础

我们都知道, 两千多年前, 古希腊的数学家欧几里得写了一本著名的书《原本》。在古往今来的浩瀚书海中, 《原本》用各国文字出版的印数仅次于《圣经》而居世界第二位。中国最早的中译本是在明朝末年由外国传教士利玛窦与中国科学家徐光启翻译的, 16 出版, 书名定为《几何原本》。此后, 中国出版的各种译本都沿袭这一名称叫做《几何原本》。

《几何原本》列出了五条公设与五条公理, 并在各章的开头给出了一系列定义, 然后根据这些定义, 公理和公设推导出了465个数学命题, ( 按照当前通行的希思英译本《Euclid’s Elements》13卷计算, 该书的中译本于1990年出版) , 其系统之严谨, 推理之严密, 令人叹为观止。《几何原本》的内容涉及初等数学的各个领域, 包括代数, 数论, 平面几何, 立体几何, 甚至现代极限概念的雏形, 但各部分的表述大都是从图形出发的。第一卷讲直线形, 包括点、线、面、角的概念, 三角形, 两条直线的平行与垂直, 勾股定理等; 第二卷讲代数恒等式, 如两项和的平方, 黄金分割; 第三卷讨论圆、弦、切线等与圆有关的图形; 第四卷圆的内接和外切三角形, 正方形, 内接正多边形( 5, 10, 15边) 的作图; 第五卷比例论, 取材于欧多克索斯( Eudoxus) 的公理法, 使之适用于一切可公度和不可公度的量; 第六卷将比例论应用平面图形, 研究相似形; 第七八九卷是初等数论, 其中给出了辗转相除法, 证明了素数有无穷多; 第十卷篇幅最大, 占全书的四分之一, 主要讨论无理量, 能够看作是现代极限概念的雏形; 第十一卷讨论空间的直线与平面; 第十二卷证明了圆面积的比等于直径的平方比, 球体积的比等于直径的立方比, 但没有给出比例常数; 第十三卷详细研究了五种正多面体。

欧几里得《几何原本》中的内容已在现代中等教育中分成了若干部分, 分别归入平面几何, 代数, 三角, 立体几何。初中平面几何的内容主要取材于《几何

原本》的前六章, 大致能够概括为点、线、面、角的概念, 三角形, 两条直线的位置关系( 包括平行, 垂直) , 四边形, 圆, 相似形, 求图形的面积这样几个部分。在全书的开头列出的5个公设和五个公理如下。公理适用于数学的各个领域:

1.等于同量的量彼此相等。

2.等量加等量, 其和相等。

3.等量减等量, 其差相等。

4.彼此能重合的物体是全等的。

5.整体大于部分。

公设适用于几何部分:

1.由任意一点到任意( 另) 一点可作直线。

2.一条有限直线能够继续延长。

3.以任意点为心及任意距离能够画圆。

4.凡直角都相等。

5.同平面内一条直线和另外两条直线相交, 若在某一侧的两个内角的和

小于而直角, 则这二直线经无限延长后在这一侧相交。

当然, 按照现代数学的公理化体系去衡量, 《几何原本》的公理体系不是很完备, 比如对点、线、面等原始概念的定义不甚清晰, 关联, 顺序, 运动, 连续性等方面的公理还有待补充, 个别公理欠独立性。一些命题的证明基于公理4的几何直观, 即: 彼此能重合的物体是全等的。也就是说, 一个平面图形能够不改变形状和大小从一个位置移动到另一个位置。这实际上是不加定义默认了平面的刚体运动。后者在现代数学中的严格定义是平面到自身的保持距离不变的一个映射。

1899年数学泰斗希尔伯特Hilbert 出版了她的著作《几何基础》, 并于30多年间不断地修正和精炼, 于1930年出了第七版。《几何基础》一书为欧几里得几何补充了完整的公理体系, 给出了点、线、面、关联、顺序、合同这些

原始概念的的准确定义。

《几何基础》将公理体系分为下述五类。第一类叫做关联公理, 由两点确定一条直线; 一条直线上至少有两个点, 至少有三个点不在一条直线上, 等8个公理组成。

第二类叫做顺序公理, 由下述四个公理组成。1. 设A,B,C是一条直线上的三点, 如果B在A,C之间, 则B也在C, A之间。 2. 已知A, B是直线上两点, 则直线上至少有一点 C, 使得B在A, C之间。3. 一条直线的三点中, 至少有一点在其它两点之间。

4. 若直线a 不经过三角形ABC的顶点, 且与线段AB相交, 则a与AC或BC相交。

由此能够证明( 见《几何基础》第一章第4节定理8) : 平面上的任意一条直线将该平面上其余的点分为两个区域, 一个区域的每一点A和另一区域的每一点B所确定的线段AB内, 必含有a的一个点, 而同一个区域的任意两点A和A’所确定的线段AA’内, 不含有直线a的点。有了这个定理, 我们才能够定义平面上直线a的同侧或异侧。

我们还能够根据顺序公理的前三条, 定义直线a上的一点O将直线分为两侧: 设A、 A’、 O 和B是一直线a上的四点, 若O不在点A, A’之间, 称A, A’在O的同侧; 若O在点A, B之间, 称A, B在O的异侧。因而直线上点O同侧的点的集合, 叫做始于O点的一条射线。

第三类是合同公理, ( 或全等公理) 。 1. 已知直线a及 a上的线段 AB, 给出直线 a’及其上的点A’并指定a’上点A’的一侧。则在a’上点A’的该侧存在点B’, 使A’B’合同于( 或等于) AB. 记作AB=A’B’.

2. 若 A’ B’ = AB, 且A’’B’’=AB, 则A’B’=A’’B’’.

3. 关于两条线段的相加。

4. 关于角的合同, ( 或相等) 。

5. 若两个三角形△ABC 和△A’B’C’有下列合同式: AB=A’B’, AC=A’C’, ∠BAC=∠B’A’C’, 则∠ABC=∠A’B’C’, 且∠ACB=∠A’C’B’.

并以此为根据, 经过《几何基础》第一章第5节定理28建立了平面的刚体运动。为《几何原本》中”彼此能够叠合的物体是全等的”这一事实奠定了公理化基础。

第四类中只有一个公理, 即著名的平行公理: 过直线外一点至多有一条直线与已知直线平行。与《几何原本》的叙述稍有不同, 后者的表述是: 两条直线被第三条直线所截, 若某一侧同旁内角之和小于两个直角, 则两直线在该侧相交。