惠州学院考试-高等数学(你懂的)

一、选择题（每小题3分，本大题共15分） 1） 设有直线

3210

:21030

x y z L x y z +++=⎧⎨

--+=⎩

及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ ）

A 、平行于平面π

B 、在平面π上

C 、垂直于平面π

D 、与平面π斜交 2） 二元函数()()()()()

22

,0,0,0,0,0xy x y x y

f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩

在点()0,0处（ ）

A 、连续、偏导数存在

B 、连续、偏导数不存在

C 、不连续、偏导数存在

D 、不连续、偏导数不存在 3） 设()f x 为连续函数，()()1

t

t

y

F t dy f

x dx =

⎰

⎰，则()2F '=（ ）

A 、()22f

B 、()2f

C 、()2f -

D 、0 4） 设∑是平面

123

x y z ++=由0,0,0x y z ≥≥≥所确定的三角形区域，曲面积分

()326x y z d S ∑

++=⎰⎰（ ）

A 、7

B 、

212

C 、14

D 、21

5） 微分方程1x y y e ''-=+的一个特解应具有形式（ ）

A 、x

ae b + B 、x

axe b + C 、x

ae bx + D 、x

axe bx + 二、填空题（每小题3分，本大题共15分）

1） 设平面经过原点及点()6,3,2-，且与平面428x y z -+=垂直，则此平面方程为。 2） 设arctan

1x y z xy

-=+

，则(1

,dz

=。

3） 设L 为22

1x y +=正向一周，则2

x

L

e dy =⎰ 。

4） 设圆柱面22

3x y +=，与曲面z xy =在点()000,,x y z 点相交，且他们的交角为

6

π

，

则正数0z =。

5） 设一阶线性非奇次方程()()y P x y Q x '+=有两个线性无关的解12,y y ，若

12y y αβ+（,αβ为常数）也是该方程的解，则应有αβ+=。

三、（本题7分）设由方程组cos sin u

u

x e v

y e v

⎧=⎪⎨=⎪⎩确定,u v 关于,x y 的函数，求u x ∂∂及v x ∂∂和v y ∂∂。

四、已知点()1,1,1A 及点()3,2,1B -，求函数()3ln 32u xy z =-在点A 处沿AB

方向的方向导数。

五、（本题8

分）计算累次积分2

411

2

2

11x

x

y

y

x

dx e dy dx e dy y

y

+

⎰⎰

⎰。

六、（本题8分）计算I zdxdydz Ω

=⎰⎰⎰，其中Ω由柱面2

2

1x

y +=及平面0,1z z ==围成

的区域。

七、（本题8分）计算()3

2

x y z d S ∑

++⎰⎰，其中∑是抛物面222z x y =+被平面2z =所截

下的有限部分。

八、（本题8分）计算222

224cos cos L x x x x x dx dy y y y y ⎛⎫+- ⎪⎝

⎭⎰，L 是点,22A π

π⎛⎫ ⎪⎝⎭到点(),2B ππ在上半平面()0y >上任意逐段光滑曲线。

九、（本题8分）计算()()()2

2

2

x y

dydz y z dzdx z x dxdy ∑

+++++⎰⎰，其中∑

为半球面

z =

十、（本题8分）设二阶连续可导函数()y f x =，s x t

=适合

2

2

2

2

4

0y y t

s

∂∂+=∂∂，求()y f x =。

十一、（本题4分）求方程4cos 2y y x ''+=的通解。

十二、（本题4分）在球面2222x y z a ++=的第一卦限上求一点M ，使以M 为一个顶点，各面平行于坐标平面的球内接长方体的表面积最小。

有关级数的题目：

1） 判别级数()

()1

11ln 1n n n n

-∞

=-++⎡⎤⎣⎦∑

是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？

2）求幂级数2

12!

n

n

n n x n ∞

=+∑

的收敛区间及和函数。

3）将函数()0000a x f x H x a

H a x πππ⎧<≤<⎪

=<<⎨⎪--<<⎩

展成以2π为周期的弗里叶级数。