第八章 第七节 抛物线

抛物线
了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道
它的简单几何性质．
[理 要 点]
一、抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离 相等的点 的 轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物 线的 准线 ．
二、抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0)
A．x＝1
C．x＝2
B．x＝－1
D．x＝－2
p 解析：抛物线的焦点 F( ，0)，所以过焦点且斜率为 1 的直线 2 p p 方程为 y＝x－ ，即 x＝y＋ ，将其代入得：y2＝2px＝2p(y＋ 2 2 y1＋y2 p 2 2 2 )＝2py＋p ，所以 y －2py－p ＝0，所以 ＝p＝2，所以 2 2 抛物线的方程为 y2＝4x，准线方程为 x＝－1.
3 2 答案： 4
4．(2010· 全国卷Ⅱ)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的准线为 l， 过 M(1,0)且斜率为 3的直线与 l 相交于点 A， C 的一个 与 交点为
B.若 A M ＝ M B ，则
p＝________.
p 解析：由题知准线 l 为 x＝－ (p>0)， 2 过 M(1,0)且斜率为 3的直线为 y＝ 3(x－1)， p p 则 A(－ ， 3(－ －1))， 2 2 设
程my2＋ny＋q＝0. (1)若m≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点； 当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点．
(2)若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与
抛物线的对称轴平行．
2．与焦点弦有关的常用结论．(以右图为依据) p2 (1)y1y2＝－p2，x1x2＝ . 4 2p (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝ 2 (θ 为 AB 的倾斜角)． sin θ p2 (3)S△AOB＝ (θ 为 AB 倾斜角)． 2sinθ (4) 1 1 2 ＋ 为定值p. |AF| |BF|
1 解：(1)设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线 l 的斜率是 时， 2 1 l 的方程为 y＝ (x＋4)，即 x＝2y－4. 2
x2＝2py 由 x＝2y－4
得 2y2－(8＋p)y＋8＝0，

y1y2＝4 ① ∴ 8＋p y1＋y2＝ 2
②
，又∵ A C ＝4 A B ，∴y2＝4y1，
图形
范围
x≥0，y∈R
x轴
x≤0，y∈R
对称轴
顶点坐标 焦点坐标 准线方程 离心率
原点O(0,0)
p ( ，0) 2
p x＝－ 2
e＝1
p (－ ，0) 2 p x＝ 2
标准方程 x2＝ 2py(p＞0)
x2＝ －2py(p＞0)
图形
范围
y≥0，x∈R y轴
y≤0，x∈R
对称轴
顶点坐标 焦点坐标 准线方程 离心率
(5)以 AB 为直径的圆与准线相切． (6)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切． (7)∠CFD＝90° .
一、把脉考情
从近两年高考内容上看，考查的重点为抛物线的方程、 几何性质或与抛物线相关的综合问题，主要涉及题型为选 择、填空题． 从能力上看，主要考查学生的数形结合能力及分析问 题解决问题的能力，焦点、弦及P的几何意义仍是考查的 热点，注意与向量知识的交汇考查．
原点O(0,0)
p (0， ) 2 p y＝－ 2
e＝1
p (0，－ ) 2 p y＝ 2
[究 疑 点] 1．抛物线的定义中定点F与直线的位置关系有何要求？
提示：在抛物线的定义中，定点F不能在直线l上，
若定点F在定直线上，则可得动点的轨迹为过F且垂 直于l的直线．
2．若抛物线方程为y2＝2px，那么p有几何意义吗？
答案：1
3． (2010· 浙江金华)已知过点 A(－4,0)的动直线 l 与抛物线 G：x2＝2py(p>0)相交于 B、C 两点．当直线 l 的斜率
1 是 时， A C ＝4 A B . 2
(1)求抛物线 G 的方程； (2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b， b 的取 求 值范围．
由①，②，③及 p>0 得：y1＝1，y2＝4，p＝2，则抛物线 G 的方程为：x2＝4y.
(2)设 l：y＝k(x＋4)，BC 的中点坐标为(x0，y0)，
x2＝4y 由 y＝kx＋4
得 x2－4kx－16k＝0，④
xC＋xB ∴x0＝ ＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k. 2 1 ∴线段 BC 的中垂线方程为 y－2k －4k＝－k(x－2k)，
答案：(1)A
(2)2
[归纳领悟] 抛物线标准方程的求解方法是“先定型，后计算”． 注意：焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一写成y2 ＝ax(a≠0)；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可统一写成x2 ＝ay(a≠0).
[题组自测] 1．连结抛物线x2＝4y的焦点F与点M(1,0)所得的线段与抛 物线交于点A，设点O为坐标原点，则△OAM的面积
解析：设直线方程为 y＝k(x－1)，代入 y2＝4x，得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 2k2＋4 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝ ，x1x2＝1， k2 1 1 1 1 ∴ ＋ ＝ ＋ |AM| |BM| x1＋1 x2＋1 x1＋x2＋2 ＝ ＝1. x1x2＋x1＋x2＋1
则此抛物线的方程是
A．y2＝12x C．y2＝6x B．y2＝8x D．y2＝4x
(
)
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义可得x1
＋x2＋p＝8，又AB中点到y轴的距离为2，∴x1＋x2
＝4，∴p＝4. 答案：B
4．(1)(2010· 长春模拟)当 a 为任何值时，直线(a－1)x－y ＋2a＋1＝0 恒过定点 P， 则过 P 点的抛物线的标准方 程为 9 4 2 A．y ＝－ x 或 x ＝ y 2 3
2
∴线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2 ＝2(k＋1)2， 对于方程④，由 Δ＝16k2＋64k>0 得：k>0 或 k<－4. ∴b∈(2，＋∞)．
[归纳领悟] 1．设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线Ax＋By＋C＝0，
将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方
答案：B
4．(2010· 青岛三月模拟)在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)
的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是
( A．(－2,1) C．(2,1) B．(1,2) D．(－1,2) )
解析：如图所示，直线l为抛物线y＝ 2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1
⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，
x＋2＝0， 解析：(1)由 －x－y＋1＝0
得定点 P(－2,3)，
2
9 ∵抛物线过定点 P，当焦点在 x 轴上时，方程为 y ＝－ x， 2 4 当焦点在 y 轴上时，抛物线方程为 x ＝ y. 3
2
(2)设点 A，B 的横坐标分别是 x1，x2，则依题意有焦点 F(1,0)，|AF|＝x1＋1＝2，x1＝1，直线 AF 的方程是 x＝1， 此时弦 AB 为抛物线的通径，故|BF|＝|AF|＝2.
为________．
解析：线段 FM 所在直线方程 x＋y＝1 与抛物线交于 A(x0，
x＋y＝1 y0)，则 2 x ＝4y
⇒y0＝3－2 2或 y0＝3＋2 2(舍去)．
1 3 ∴S△OAM＝ ×1×(3－2 2)＝ － 2. 2 2
3 答案： － 2 2
2．(2010· 洛阳模拟)过点 M(1,0)作直线与抛物线 y2＝4x 1 1 交于 A、B 两点，则 ＋ ＝________. |AM| |BM|
答案： D
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、 P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3， 则有 A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| ( )
B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|
D．|FP2|2＝|FP1|· 3| |FP
∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|， 当且仅当A、P、N三点共线时取等号．∴P点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A、C、D项．
答案：B
本题中条件若变为“抛物线y2＝2x的焦点为F，点P是抛物
线上的动点，又A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值及取到最
小值时P的坐标”．
二、考题诊断 1．(2010· 湖南高考)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4， 则点P到该抛物线焦点的距离是 ( )
A．4
C．8
B．6
D．12
p 4 解析：由抛物线的方程得 ＝ ＝2，再根据抛物线的定义， 2 2 可知所求距离为 4＋2＝6.
答案：B
2．(2010· 山东高考)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点 且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的 中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ( )
p 解析：抛物线的准线方程为 x＝－ ，由定义得|FP1|＝x1 2 p p p ＋ ，|FP2|＝x2＋ ，|FP3|＝x3＋ ，则|FP1|＋|FP3|＝x1＋ 2 2 2 p p ＋x3＋ ＝x1＋x3＋p,2|FP2|＝2x2＋p，由 2x2＝x1＋x3 得 2 2 2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.
答案：B
3．(2010· 浙江高考)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点 A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准 线的距离为________．