高考数学一轮总复习 第8章 解析几何 第7节 抛物线课件 理 新人教版
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新高考数学人教版一轮课件第八章第七节抛物线
则d1＝
t2＋1，d2＝
2 t2＋1 .
因此，四边形ADBE的面积
S＝12|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3) t2＋1.
设M为线段AB的中点，则Mt，t2＋12. 因为E→M⊥A→B，而E→M＝(t，t2－2)，A→B与向量(1，t)平行，
所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1. 当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4 2. 因此，四边形ADBE的面积为3或4 2.
1．(易错题)抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为( B )
1 A.4
B．－14
C．4
D．－4
2．过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是( A ) A．y2＝－92x或x2＝34y B．y2＝29x或x2＝43y C．y2＝29x或x2＝－43y D．y2＝－92x或x2＝－43y
3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则 |PQ|＝________.
35 A. 5
B．2
11 C. 5
D．3
2．(多选题)(2021·山东济宁模拟)已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，圆
C：x2＋(y－1)2＝16与抛物线E交于A，B两点，点P为劣弧
上不同
于A，B的一个动点，过点P作平行于y轴的直线l交抛物线E于点N，则下 列说法正确的是( BCD )
A．点P的纵坐标的取值范围是(2 3，5) B．|PN＋|NF|等于点P到抛物线准线的距离
A．(0,0) C．(1， 2)
B．21，1 D．(2,2)
考法(二) 点与准线的距离之和最小问题 [例2] (2021·邢台摸底)已知M是抛物线x2＝4y
上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是 __________． [解析] 依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l： y＝－1引垂线，垂足为M1(图略)，则有|MA| ＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA| ＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1,5)到y＝－1 的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，
新高考数学一轮复习第八章立体几何8.7抛物线课件
A．1
B．2
C．4
D．6
(2)已知抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，以 F 为圆心的圆与抛物线交于
M，N 两点，与抛物线的准线交于 P，Q 两点，若四边形 MNPQ 为矩形，
则矩形 MNPQ 的面积是( A )
A．16 3
B．12 3
C．4 3
D．3
【解析】 (1)当|MO|＝|MF|时，有 2 个点 M 满足题意；当|OM| ＝|OF|时，有 2 个点 M 满足题意．所以点 M 的个数为 4，故选 C.
(2)根据题意，四边形 MNPQ 为矩形，可得|PQ|＝|MN|，从而 得圆心 F 到准线的距离与到 MN 的距离相等，所以有 M 点的横 坐标为 3，代入抛物线方程，从而求得 M(3,2 3)，N(3，－2 3)， 所以|MN|＝4 3，|NP|＝4，所以矩形 MNPQ 的面积 S＝4×4 3＝ 16 3.
方法技巧 1涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可 相互转化；2应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考， 通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几 何特征，体现了用数形结合思想解题的直观性.
1．若抛物线 y2＝4x 的焦点是 F，准线是 l，点 M(4，m)是抛物线
方法技巧 1.应用抛物线定义的两个关键点 1由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转 化. 2注意灵活运用抛物线上一点 Px0，y0到焦点 F 的距离|PF|＝|x0| ＋\f(p,2)或|PF|＝|y0|＋p2. 2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点 位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有 一个参数 p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
线交抛物线于 A，B 两点，则弦 AB 的长为( D )
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第8章 解析几何 8.7 抛物线
因为 AB 过焦点 F,所以 y1y2=-p ,联立两切线方程易得
2
1 +2
P(- ,
),
2
2
所以点 P 必在抛物线的准线上,且 PM 平行于 x 轴,所以①⑤正确.
两条切线的斜率之积为 k1k2= · =-1,
1 2
所以 AP⊥PB,故②正确.
因为 PM 平行于 x 轴,
所以
1
1 21 +22
∵点 A(1,1)在抛物线 C
1
上,∴1=2p,∴p= .
2
∴抛物线 C 的方程为 x =y,∴抛物线 C 的准线为
∵点 A(1,1),B(0,-1),∴直线 AB 的方程为 y=2x-1.
2
1
y=-4,故
A 错误.
= 2-1,
联立抛物线 C 与直线 AB 的方程,得 2
消去 y,
= ,
解题心得在涉及抛物线的焦点、顶点、准线的问题中,要注意利用几何
图形直观、形象地解题.涉及抛物线上的关键点时,应运用代入的技巧,从
代数的角度进行定量分析.
对点训练2
(1)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作抛物线的弦,与抛物线交于A,B两点,M
为AB的中点,分别过A,B两点作抛物线的切线l1,l2相交于点P,△PAB常被称
1
因为|PA|= |AB|,所以
2
9
C.
7
D.2
3(1 + 2) = 2 + 2,
31 = 2 .
12 = 41 ,
2
又 2
易得 x1=3.
2 = 42 ,
故点 A 到抛物线 C 的焦点的距离为
2
2
1 +2
P(- ,
),
2
2
所以点 P 必在抛物线的准线上,且 PM 平行于 x 轴,所以①⑤正确.
两条切线的斜率之积为 k1k2= · =-1,
1 2
所以 AP⊥PB,故②正确.
因为 PM 平行于 x 轴,
所以
1
1 21 +22
∵点 A(1,1)在抛物线 C
1
上,∴1=2p,∴p= .
2
∴抛物线 C 的方程为 x =y,∴抛物线 C 的准线为
∵点 A(1,1),B(0,-1),∴直线 AB 的方程为 y=2x-1.
2
1
y=-4,故
A 错误.
= 2-1,
联立抛物线 C 与直线 AB 的方程,得 2
消去 y,
= ,
解题心得在涉及抛物线的焦点、顶点、准线的问题中,要注意利用几何
图形直观、形象地解题.涉及抛物线上的关键点时,应运用代入的技巧,从
代数的角度进行定量分析.
对点训练2
(1)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作抛物线的弦,与抛物线交于A,B两点,M
为AB的中点,分别过A,B两点作抛物线的切线l1,l2相交于点P,△PAB常被称
1
因为|PA|= |AB|,所以
2
9
C.
7
D.2
3(1 + 2) = 2 + 2,
31 = 2 .
12 = 41 ,
2
又 2
易得 x1=3.
2 = 42 ,
故点 A 到抛物线 C 的焦点的距离为
2
2025年高考数学一轮复习课件第八章平面解析几何-8.7抛物线
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【点拨】在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的
特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
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变式2（1） 设为坐标原点，直线 = 2与抛物线: 2 = 2 > 0 交于，两点.
若 ⊥ ，则的焦点坐标为(
A. 1,0
焦点
准线
叫做抛物线.点叫做抛物线的______，直线叫做抛物线的______.
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2.抛物线的标准方程和简单几何性质
简单几何性质
标准方程
2 = 2
>0
2 = −2
>0
图形
开口
向右
_____
向左
焦点
,0
_______
2
− ,0
2
准线
=
−
2
=
______
2
范围
对称轴
4 = 4 3,解得 =
3
.故所求抛物线的方程为 2
3
=
2 3
.故选A.
3
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（3）已知是抛物线 2 = 8的焦点，点 4,2 ，为抛物线上一点，点不在直线
上，则△ 的周长的最小值是(
A.4
B.6
)
C.6 + 2
√
2
D.6 + 2
解：抛物线 2 = 8的焦点 2,0 ，准线为 = −2.
故填3.
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考点一 抛物线的定义及标准方程
例1（1） 【多选题】经过点 4, −2 的抛物线的标准方程为(
A. 2 =
√
B. 2 = 8
C. 2 = −8
高三数学一轮复习 第8章 第7课时 抛物线 文 新人教版
二、抛物线标准方程与几何性质
[自测 2] 抛物线 y2＝－8x 的焦点坐标是( )
A．(2，0)
B．(－2，0)
C．(4，0)
D．(－4，0)
B
ppt课件
教材梳理 基础自测
二、抛物线标准方程与几何性质
[自测 3] 如果抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点在直线 3x－4y
－12＝0 上，那么抛物线的方程是( )
＝x0＋2p＝x0＋41，∴x0＝1.
ppt课件
考点突破 题型透析
考点一 抛物线的定义及应用
2．(2015·忻州市高三联考)已知 P 为抛物线 y2＝4x 上一个动点，Q 为圆 x2 ＋(y－4)2＝1 上一个动点，那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准 线距离之和的最小值是__________． 由题意知，圆 x2＋(y－4)2＝1 的圆心为 C(0，4)，半径为 1，抛物线的焦 点为 F(1，0)．根据抛物线的定义，点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线 准线的距离之和即点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线焦点的距离之和， 因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝ 17－1.
得13x2－72x＋136＝0. ∴x1＋x2＝－－172＝221，即 xA＋xB＝221.
3 由于|AB|＝xA＋xB＋p，所以|AB|＝221＋32＝12.
ppt课件
考点突破 题型透析
考点一 抛物线的定义及应用
涉及抛物线的焦半径(抛物线上的点与焦点的连线)、焦点弦的问题，应利 用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即|PF|＝|x|＋ p2(焦点在 x 轴上)或|PF|＝|y|＋p2(焦点在 y 轴上)．
教材梳理 基础自测
2025年高考数学一轮复习-8.7-抛物线(课件)
√
2.(2023·甘肃酒泉模拟)已知抛物线 ，过焦点 的直线交抛物线 于 ， 两点，且线段 的长是焦半径 长的3倍，则直线 的斜率为_______.
解析：设直线 的倾斜角为 ，则 .因为线段 的长是焦半径 长的3倍，所以 ，故 ，当 时， ， ，则 ，解得 ，所以直线 的斜率为 ,同理可得当 时， ，所以直线 的斜率为 .综上，直线 的斜率为 .
√
2.若抛物线 的准线方程是 ,则 的值是_ ___.
解析：把抛物线方程 化为标准形式得 ,所以 ,解得 .
3.顶点在原点，且过点 的抛物线的标准方程是________________________.
或
√
（2）已知 为抛物线 上的一个动点， 为圆 上的一个动点,那么点 到点 的距离与点 到抛物线准线的距离之和的最小值是_________.
解析：由题可知，抛物线 的准线方程为 ，焦点坐标为 ，圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，设点 到抛物线准线的距离为 ，则 ，故 ，所以当动点 , 位于线段 上时，点 到点 的距离与点 到抛物线准线的距离之和最小，此时 .
8.7 抛物线
课标要求
考情分析
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的应用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.3.了解抛物线的简单应用.
考点考法：抛物线的方程及其性质是高考的重点内容，常与其他曲线相结合进行命题，多以选择题或填空题的形式出现，试题难度中等.核心素养：数学运算、直观想象
解析：选C.抛物线 的焦点 ，准线为 ，过 点作 准线 于点 ，故 的周长为 ， ，可知当 , , 三点共线时周长最小，为 .故选C.
解析：设抛物线的方程是 或 ,代入点 （ ， ），解得 , ,所以 或 .
2.(2023·甘肃酒泉模拟)已知抛物线 ，过焦点 的直线交抛物线 于 ， 两点，且线段 的长是焦半径 长的3倍，则直线 的斜率为_______.
解析：设直线 的倾斜角为 ，则 .因为线段 的长是焦半径 长的3倍，所以 ，故 ，当 时， ， ，则 ，解得 ，所以直线 的斜率为 ,同理可得当 时， ，所以直线 的斜率为 .综上，直线 的斜率为 .
√
2.若抛物线 的准线方程是 ,则 的值是_ ___.
解析：把抛物线方程 化为标准形式得 ,所以 ,解得 .
3.顶点在原点，且过点 的抛物线的标准方程是________________________.
或
√
（2）已知 为抛物线 上的一个动点， 为圆 上的一个动点,那么点 到点 的距离与点 到抛物线准线的距离之和的最小值是_________.
解析：由题可知，抛物线 的准线方程为 ，焦点坐标为 ，圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，设点 到抛物线准线的距离为 ，则 ，故 ，所以当动点 , 位于线段 上时，点 到点 的距离与点 到抛物线准线的距离之和最小，此时 .
8.7 抛物线
课标要求
考情分析
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的应用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.3.了解抛物线的简单应用.
考点考法：抛物线的方程及其性质是高考的重点内容，常与其他曲线相结合进行命题，多以选择题或填空题的形式出现，试题难度中等.核心素养：数学运算、直观想象
解析：选C.抛物线 的焦点 ，准线为 ，过 点作 准线 于点 ，故 的周长为 ， ，可知当 , , 三点共线时周长最小，为 .故选C.
解析：设抛物线的方程是 或 ,代入点 （ ， ），解得 , ,所以 或 .
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章 平面解析几何第7节 抛物线
解题时,需依据抛物线的标准方程,确定弦长公式是由交点横坐标
还是由交点纵坐标确定,同时还要注意坐标与距离关系.
(2)求解与抛物线有关的问题,要充分利用平面几何的性质.
角度二
抛物线性质的综合应用
[例4] (2024·陕西商洛模拟)已知F为抛物线y2=16x的焦点,P为该
||
抛物线上的动点,点A(-1,0),则
代入点P(-1,2),
解得 k=-4 或 m=,
2
2
所以 y =-4x 或 x =y.
2
y =-4x 或 x = y
.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
抛物线的定义及应用
[例1] (1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,
点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|等于(
直径的圆与y轴相切.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点
坐标是 (,0) ,准线方程是 x=- .( × )
(2)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.( × )
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象就是抛物线.( √ )
设出对应的标准方程,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件
就可以确定抛物线的标准方程.
[针对训练]
(1)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆心C的轨迹为
(
)
A.抛物线
B.双曲线
C.椭圆
D.圆
√
解析:(1)由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的
还是由交点纵坐标确定,同时还要注意坐标与距离关系.
(2)求解与抛物线有关的问题,要充分利用平面几何的性质.
角度二
抛物线性质的综合应用
[例4] (2024·陕西商洛模拟)已知F为抛物线y2=16x的焦点,P为该
||
抛物线上的动点,点A(-1,0),则
代入点P(-1,2),
解得 k=-4 或 m=,
2
2
所以 y =-4x 或 x =y.
2
y =-4x 或 x = y
.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
抛物线的定义及应用
[例1] (1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,
点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|等于(
直径的圆与y轴相切.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点
坐标是 (,0) ,准线方程是 x=- .( × )
(2)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.( × )
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象就是抛物线.( √ )
设出对应的标准方程,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件
就可以确定抛物线的标准方程.
[针对训练]
(1)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆心C的轨迹为
(
)
A.抛物线
B.双曲线
C.椭圆
D.圆
√
解析:(1)由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的
2025高考数学一轮复习-8.7-抛物线【课件】
(2)如图，过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1，
x0＋p2 |PF|＝－x0＋p2 |PF|＝y0＋p2
|PF|＝－y0＋p2
提醒：(1)焦点在 x 轴上时，方程的右端为±2px，左端为 y2，焦点在 y 轴上时，方程的 右端为±2py，左端为 x2.
(2)过焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，长等于 2p，是过焦点最短的弦．
『基础过关』 思考辨析 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × ) (3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( × ) (4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通 径，那么抛物线 x2＝－2ay(a>0)的通径长为 2a.( √ ) (5)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0， 准线方程是 x＝－a4.( × )
易错点睛：(1)求抛物线方程时容易忽视 p 的几何意义致错，解题时应注意． (2)直线与抛物线相交时，忽视与抛物线的对称轴平行的直线致错，如 6 题中忽视对 k ＝0 的讨论．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 抛物线的定义及其应用
【例 1】 (1)(2020·全国卷Ⅰ)已知 A 为抛物线 C：y2＝2px(p>0)上一点，点 A 到 C 的
的点的轨迹
2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
x0＋p2 |PF|＝－x0＋p2 |PF|＝y0＋p2
|PF|＝－y0＋p2
提醒：(1)焦点在 x 轴上时，方程的右端为±2px，左端为 y2，焦点在 y 轴上时，方程的 右端为±2py，左端为 x2.
(2)过焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，长等于 2p，是过焦点最短的弦．
『基础过关』 思考辨析 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × ) (3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( × ) (4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通 径，那么抛物线 x2＝－2ay(a>0)的通径长为 2a.( √ ) (5)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0， 准线方程是 x＝－a4.( × )
易错点睛：(1)求抛物线方程时容易忽视 p 的几何意义致错，解题时应注意． (2)直线与抛物线相交时，忽视与抛物线的对称轴平行的直线致错，如 6 题中忽视对 k ＝0 的讨论．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 抛物线的定义及其应用
【例 1】 (1)(2020·全国卷Ⅰ)已知 A 为抛物线 C：y2＝2px(p>0)上一点，点 A 到 C 的
的点的轨迹
2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
高考数学一轮总复习第八章解析几何8.7抛物线课件理
A．y2＝－x
B．x2＝－8y
C．y2＝－8x 或 x2＝－y
D．y2＝－x 或 x2＝－8y
解析：设抛物线为 y2＝mx，代入点 P(－4，－2)，解得 m＝－1，则抛物线方程 为 y2＝－x；设抛物线为 x2＝ny，代入点 P(－4，－2)，解得 n＝－8，则抛物线方程 为 x2＝－8y.
答案：D
所以p2＋p4＝3，所以 p＝4. 【答案】 B
第三十页，共46页。
1．求抛物线的标准方程的方法 (1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有 p，所以只需一个条件 确定 p 值即可． (2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． 2．确定及应用抛物线性质的技巧 (1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化 成标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的知识以图助解.
第二十二页，共46页。
[自 主 演 练]
1．设经过抛物线 C 的焦点的直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点，那么抛物线 C
的准线与以 AB 为直径的圆的位置关系为( )
A．相离
B．相切
C．相交但不经过圆心
D．相交且经过圆心
第二十三页，共46页。
解析：设圆心为 M，过点 A、B、M 作准线 l 的垂线，垂足分别为 A1、B1、M1， 则|MM1|＝12(|AA1|＋|BB1|)．由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，所以|AB|＝|BB1| ＋|AA1|，|MM1|＝12|AB|，即圆心 M 到准线的距离等于圆的半径，故以 AB 为直径的圆 与抛物线的准线相切．
第三十一页，共46页。
[自 主 演 练]
1．(2017 年全国卷Ⅰ)已知 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直
2020版高考数学一轮复习第八章平面解析几何8_7抛物线课件理新人教版
F0，－p2
标准 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
方程 (p＞0) (p＞0)
(p＞0)
(p＞0)
准线 方程
x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
x≥0，y
范围
x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
∈R
开口 方向
向右
向左
向上
向下
焦半径
|PF|＝ x0＋p2
答案 C
二、走近高考
3．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过点(－2,0)且斜率
为23的直线与
C
交于
M，N
→→ 两点，则FM·FN＝(
)
A．5
B．6
C．7
D．8
解析 根据题意，过点(－2,0)且斜率为23的直线方程为 y＝23(x＋2)，与
抛物线方程联立y＝32x＋2， 消元整理得：y2－6y＋8＝0，解得 M(1,2)， y2＝4x，
→ 根据根与系数的关系，得 x1＋x2＝5，x1x2＝4。易知 F(1,0)，所以FM＝(x1
→
→→
－1，y1)，FN＝(x2－1，y2)，所以FM·FN＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1
＋x2)＋1＋4 x1x2＝4－5＋1＋8＝8。故选 D。
4．(2017·全国卷Ⅱ)已知 F 是抛物线 C：y2＝8x 的焦点，M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N。若 M 为 FN 的中点，则|FN|＝________。
|PF|＝ －x0＋p2
|PF|＝ y0＋p2
|PF|＝ －y0＋p2
注：抛物线上 P 点坐标为(x0，y0)。
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《抛物线》课件ppt
(2)过点(3，－4)；
∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0). 把 点 (3 ， － 4) 的 坐 标 分 别 代 入 y2 ＝ 2px 和 x2 ＝ － 2p1y 中 ， 得 ( － 4)2 ＝ 2p·3,32＝－2p1·(－4)， 则 2p＝136，2p1＝94. ∴所求抛物线的标准方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y.
准线交于点 D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是
√A.p＝4 √C.|BD|＝2|BF|
√B.D→F＝F→A
D.|BF|＝4
如图所示，分别过点 A，B 作抛物线 C 的准线的垂线，垂足分别为点 E， M，连接 EF.设抛物线 C 的准线交 x 轴于点 P，则|PF|＝p.因为直线 l 的 斜率为 3，所以其倾斜角为 60°. 因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°， 由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|， 则△AEF为等边三角形， 所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°， 所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4， 故A正确；
__－__p2_，__0_
__0_，__p2__
_0_，__－__p2__
__x_＝__－__p2__
__x_＝__p2__
__x轴___
___y_＝__－__p2__
__y_＝__p2__
__y_轴__
__(0_,_0_)_
e＝_1__
常用结论
1.通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 2.抛物线 y2＝2px(p>0)上一点 P(x0，y0)到焦点 Fp2，0的距离|PF|＝x0＋p2， 也称为抛物线的焦半径.
2024届新高考一轮复习人教A版 第8章 第7讲 抛物线 课件(101张)
第八章 解析几何
高考一轮总复习 • 数学
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标准 方程
范围 开口 方向
y2＝2px
y2＝－2px
x2＝2py
x2＝－2py
(p＞0)
(p＞0)
(p＞0)
(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
向右
向左
向上
向下
焦半径 (其中 P(x0， y0))
(8)已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过点 M(2p,0)作直线与抛物线交于 A，B
两点，则 OA⊥OB；过原点 O 作两条互相垂直的直线分别交抛物线于 A，
B 两点(即 OA⊥OB)，则直线 AB 必过定点(2p,0)．
第八章 解析几何
高考一轮总复习 • 数学
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题组一 走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定 是抛物线．( × ) (2)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点 坐标是a4，0，准线方程是 x＝－a4.( × ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )
标准 方程
对称轴
焦点
离心率 准线 方程
y2＝2px
y2＝－2px
x2＝2py
x2＝－2py
(p＞0)
(p＞0)
(p＞0)
(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
y＝0
F_p2_，__0_
F_－__p2_，__0_
x＝0
F__0_，_p2____
F_0_，__－__p2__
新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7节抛物线课件新人教B版
1 2 3 45
3．设抛物线 y2＝8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物
线焦点的距离是( )
A．4
B．6
C．8
D．12
1 2 3 45
B 解析：如图所示，抛物线的准线 l 的方程为 x＝－2，F 是抛物 线的焦点．
过点 P 作 PA⊥y 轴，垂足是 A，延长 PA 交直线 l 于点 B，则|AB| ＝2.由于点 P 到 y 轴的距离为 4，则点 P 到准线 l 的距离|PB|＝4＋2＝6， 所以点 P 到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选 B.
(2)设切线 AN 的方程为 y＝xp1x＋b，又切点 A 在抛物线 y＝2xp2 上， 所以 y1＝2xp21 ，所以 b＝2xp21 －xp21＝－2xp21 ， 则切线 AN 的方程为 yAN＝xp1x－2xp21 . 同理切线 BN 的方程为 yBN＝xp2x－2xp22 .
又因为 N 在 yAN 和 yBN 上， 所以yy＝＝xxpp12xx－－22xxpp2122 ，， 解得 Nx1＋2 x2，x21xp2，所以 N(pk，－1)．
1．(2020·全国卷Ⅰ)已知点 A 为抛物线 C：y2＝2px(p>0)上一点，
点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p＝( )
A．2
B．3
C．6
D．9
C 解析：设焦点为 F，点 A 的坐标为(x0，y0)， 由抛物线定义得|AF|＝x0＋p2. 因为点 A 到 y 轴的距离为 9，所以 x0＝9， 所以 9＋p2＝12，所以 p＝6.故选 C.
3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上．若抛物线 的准线与双曲线 5x2－y2＝20 的两条渐近线围成的三角形的面积等于 4 5，则抛物线的方程为____________．
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p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
y2＝2px 标准方程 (p＞0)
y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
(p＞0)
(p>0)
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F__p2_，__0_ _ F__－__p2_，_0__ F_0_，__p2__ F_0_，__－__p2__
考点二 抛物线定义及应用 常考常新型考点——多角探明 [命题分析]
与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和 最小等等．
常见的命题角度有： (1)到焦点与定点距离之和最小问题； (2)到点与准线的距离之和最小问题； (3)到定直线的距离最小问题； (4)焦点弦中距离之和最小问题．
[题点全练]
_y_＝__p2_ y≤0， x∈R
向下
焦半径 |PF|＝
(其中P(x0， y0))
_x_0＋__p2__
|PF|＝ －__x_0_＋__p2_
|PF|＝ _y_0＋__p2__
|PF|＝ _－__y0_＋__p2_
[小题体验] 1．(教材习题改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距
离为1，则点M的纵坐标是
角度一：到焦点与定点距离之和最小问题
1．(2016·赣州模拟)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x
的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最
小值的M的坐标为
()
A．(0,0) C．(1， 2)
B．12，1 D．(2,2)
解析
角度三：到定直线的距离最小问题
3．已知直线 l1：4x－3y＋6＝0 和直线 l2：x＝－1，抛物
第七节
抛物线
1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内； (2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等； (3)定点不在 定直线上．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准 方程
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py
(p＞0)
(p＞0)
(p>0)
x2＝－2py (p>0)
答案：B
[小题纠偏]
1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为 ( )
A．14
B．－14
C．4
D．－4
解析：由题意知抛物线的标准方程为x2＝1ay，所以准线
方程y＝－41a＝1，解得a＝－14.
答案：B
2．动圆过点(1,0)，且与直线 x＝－1 相切，则动圆的圆 心的轨迹方程为________． 解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0) 的距离与到直线 x＝－1 的距离相等，根据抛物线的 定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y2＝4x. 答案：y2＝4x
2．抛物线标准方程中参数 p 易忽视只有 p＞0，才能证明其 几何意义是焦点 F 到准线 l 的距离，否则无几何意义．
[小题纠偏]
1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为 ( )
A．14
B．－14
C．4
D．－4
解析：由题意知抛物线的标准方程为x2＝1ay，所以准线
方程y＝－41a＝1，解得a＝－14.
－p2＝－1，解得 p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
答案：B
2．以双曲线
x2 3
－y2＝1的左焦点为焦点，顶点在原点的抛
物线方程是
()
A．y2＝4x
B．y2＝－4x
C．y2＝－4 2x
D．y2＝－8x
解析：由题意知抛物线的焦点为(－2,0)，又顶点在原 点，所以抛物线的方程为y2＝－8x. 答案：D
离心率
e＝_1_
标准方程
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
(p＞0) (p＞0)
(p>0)
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
准线方程 _x_＝_－__p2_
范围
x≥0， y∈R
开口方向 向右
_x_＝__p2_ x≤0， y∈R 向左
_y＝__－__p2__ y≥0， x∈R 向上
2．记住与焦点弦有关的 5 个常用结论 (以右图为依据)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，Fp2，0. (1)y1y2＝－p2，x1x2＝p42. (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2θ(θ 为直线 AB 的倾斜角)． (3)|A1F|＋|B1F|为定值2p. (4)以 AB 为直径的圆与准线相切． (5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切．
考点一 抛物线的标准方程及几何性质 基础பைடு நூலகம்分型考点——自主练透
[题组练透]
1．(2015·陕西高考)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，
则该抛物线焦点坐标为
()
A．(－1,0)
B．(1,0)
C．(0，－1)
D．(0,1)
解析：抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线为 x＝－p2且过点(－1,1)，故
D．y2＝8x
解析：设抛物线的方程为y2＝2px，则由抛物线的定义 知1＋p2＝3，即p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x. 答案：D
3．(教材习题改编)斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的 焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的 长为________． 答案：8
1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条 件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直 线垂直的直线．
()
A．1176
B．1156
C．78
D．0
解析：M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方
程为y＝－116，设M(x，y)，则y＋116＝1，∴y＝1156.
答案：B
2．以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(1，m)
到焦点的距离为3，则抛物线的方程是
()
A．y＝4x2
B．y＝8x2
C．y2＝4x
线 y2＝4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和
的最小值是
()
3．已知抛物线y2＝4x，圆F：(x－1)2＋
y2＝1，过点F作直线l，自上而下顺
次与上述两曲线交于点A，B，C，
D(如图所示)，则下列关于|AB|·|CD|
的值的说法中，正确的是 ( )
A．等于1
B．等于4
C．最小值是1
D．最大值是4
解析
[谨记通法] 1．求抛物线方程的3个注意点 (1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程 属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与 方程之间的对应关系； (3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利 用它的几何意义来解决问题．