高考数学理一轮复习配套文档第8章第7节抛物线

第七节抛物线
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1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)．
2．了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
3．理解数形结合思想．
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
方程 (p ＞0)
(p ＞0)
(p >0) (p >0)
p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离
图形
顶点
O (0,0)
对称轴 y ＝0
x ＝0
焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭
⎫－p
2，0 F ⎝⎛⎭
⎫0，p 2 F ⎝
⎛⎭⎫0，－p 2 离心率 e ＝1
准线 方程 x ＝－p 2
x ＝p 2 y ＝－p 2
y ＝p 2 范围 x ≥0， y ∈R x ≤0， y ∈R y ≥0， x ∈R y ≤0， x ∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中 P (x 0，y 0)) |PF |＝
x 0＋p 2
|PF |＝
－x 0＋p 2
|PF |＝
y 0＋p 2
|PF |＝
－y 0＋p 2
1．当定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？
提示：当定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是过定点F 且与直线l 垂直的直线． 2．抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点M (x 0，y 0)到焦点F 的距离与点M 的横坐标x 0有何关系？若抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，结果如何？
提示：由抛物线定义得|MF |＝x 0＋p 2；若抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，则|MF |＝y 0＋p
2
.
1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x
解析：选C 由抛物线准线方程为x ＝－2知p ＝4，且开口向右，故抛物线方程为y 2＝8x .
2．抛物线y 2＝4x 的焦点F 到准线l 的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解析：选B 因为抛物线y 2＝4x ，所以2p ＝4，而焦点F 到准线l 的距离为p ＝2. 3．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，0 B ．(1,0)
C.⎝⎛⎭⎫0，18
D.⎝⎛⎭
⎫0，14 解析：选C 将抛物线y ＝2x 2化成标准方程为x 2＝12y ，所以2p ＝12，p 2＝1
8，而抛物线x 2
＝1
2
y 的焦点在y 轴的非负半轴上，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，18. 4．抛物线的焦点为椭圆x 29＋y 2
4
＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为
________________．
解析：由c 2＝9－4＝5，得F (－5，0)，则抛物线方程为y 2＝－45x . 答案：y 2＝－45x
5．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．
解析：F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则B ⎝⎛⎭⎫p 4，1，∴2p ×p 4＝1，解得p ＝ 2.∴B ⎝⎛⎭
⎫2
4，1， 因此B 到该抛物线的准线的距离为24＋22＝32
4
.
答案：324
前沿热点(十二)
与抛物线有关的交汇问题
1．抛物线是一种重要的圆锥曲线，在高考中，经常以抛物线为载体与直线、圆综合考查，主要考查抛物线的方程及几何性质，直线与抛物线的综合应用，点到直线的距离等．
2．直线与抛物线的综合问题，经常是将直线方程与抛物线方程联立，消去x (或y )，利用方程的根与系数的关系求解，但一定要注意直线与抛物线相交的条件．
[典例] (2013·湖南高考)过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .
(1)若k 1>0，k 2>0，证明：FM ·
FN <2p 2； (2)若点M 到直线l 的距离的最小值为75
5
，求抛物线E 的方程．
[解题指导] (1)直线l 1的方程与抛物线方程联立，得出根与系数的关系，再由向量的坐标形式得出FM ·
FN 的表达式，再证明不等式； (2)先求出点M 到直线l 的距离的表达式，再求最值，结合已知条件即可求p ，从而得出抛物线方程．
[解] (1)证明：由题意，抛物线E 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋p 2
.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k 1x ＋p 2，
x 2＝2py ，得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1，x 2是上述方程的两个实数根．从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 21＋p .
所以点M 的坐标为⎝
⎛⎭⎫pk 1，pk 21＋p 2，FM ＝(pk 1，pk 21)． 同理可得点N 的坐标为⎝
⎛⎭⎫pk 2，pk 22＋p 2，FN ＝(pk 2，pk 22)． 于是FM ·FN ＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)．由题设，k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2，
所以0<k 1k 2<⎝⎛⎭⎫k 1＋k 222
＝1.故FM ·FN <p 2(1＋12)＝2p 2.
(2)由抛物线的定义得|F A |＝y 1＋p 2，|FB |＝y 2＋p
2，
所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 2
1＋2p ，从而圆M 的半径r 1＝pk 21＋p .
故圆M 的方程为(x －pk 1)2＋⎝
⎛⎭⎫y －pk 21
－p 22
＝(pk 21＋p )2， 化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 21＋1)y －34
p 2
＝0. 同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34
p 2
＝0. 于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 21)y ＝0.
又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0. 因为p >0，所以点M 到直线l 的距离
d ＝|2pk 21＋pk 1＋p |5＝p |2k 21＋k 1＋1|
5＝p ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫k 1＋142＋785.
故当k 1＝－14时，d 取最小值7p 85.由题设，7p 85
＝75
5，解得p ＝8.
故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y .
[名师点评] 解答本题的关键有以下两点：
(1)充分利用k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2时，k 1·k 2<⎝⎛⎭⎫k 1＋k 222
；
(2)注意2k 2
1＋k 1＋1>0，即d ＝|2k 21＋k 1＋1|5＝2k 21＋k 1＋15
.
(2014·湖州模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△F AB 的面积．
解：(1)由题意知交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p ×8， ∴2p ＝8，所以抛物线方程为y 2＝8x . (2)∵l 1：y ＝－x ，又直线l 2与l 1垂直，
所以可设l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴交点为M .
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2＝8x ，x ＝y ＋m 得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m ＞0， ∴m ＞－2.
由韦达定理，y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ， ∴x 1x 2＝(y 1y 2)2
64
＝m 2.
由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)， ∴l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)，
故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝1
2·|FM |·|y 1－y 2|
＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.。