高等数学课后习题答案第十二章

习题十二

1．写出下列级数的一般项：

(1)

1111357++++L ；

(2)

2242468

x x +++⋅⋅⋅⋅L ；

(3)3579

3

579a a a a -+-+L ；

解：(1)

1

21n U n =

-；

(2)

()2

!!2n

n x

U n =

；

(3)

()

21

1

121n n n a U n ++=-+；

2．求下列级数的和：

(1)

()()()

1

1

11n x n x n x n ∞

=+-+++∑；

(2)

1

n ∞

=∑；

(3)2311155

5+++L

；

解：(1)

()()()

()()()()1

11111211n u x n x n x n x n x n x n x n =

+-+++⎛⎫

-=

⎪+-++++⎝⎭

从而

()()()()()()()

()()()()()()()11111211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ⎛

-+-=

+++++++⎝⎫

++-

⎪+-++++⎭⎛⎫

-= ⎪++++⎝⎭L

因此

()1lim 21n n S x x →∞=+，故级数的和为()1

21x x + (2)

因为

n U =-

从而

11n S =-+-+-++-==+-L

所以lim 1n n S →∞

=

1-

(3)因为

21115551115511511145n n

n n S =+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣

⎦=-⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦L

从而1lim 4n n S →∞

=

，即级数的和为14

．

3．判定下列级数的敛散性：

(1)

1

n ∞

=∑；

(2)

()()

11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+L L ；

(3) ()231332222133

33n n n

--+-++-L L ；

(4)15+++L L ；

解：

(1)

1

n S =+++=L

从而lim n n S →∞

=+∞

，故级数发散．

(2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪

-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭L

从而

1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为1

5． (3)此级数为23q =-

的等比级数，且|q |<1，故级数收敛． (4)

∵n U =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散．

4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性：

(1)

()11

1n n n +∞=-∑； (2)

1

cos 2n n nx

∞

=∑； (3)

111131

3233n n n n ∞

=⎛⎫+- ⎪+++⎝⎭∑． 解：(1)当P 为偶数时，

()()()()122341

111112311111231111112112311

n n n p

n n n n p U U U n n n n p

n n n n p

n p n p n n p n n n +++++++++++----=++++

++++-+--=++++⎛⎫⎛⎫-=

----- ⎪ ⎪+-+-++++⎝⎭⎝⎭<

+L L L L

当P 为奇数时，

()()()()1223411111123111112311111112311

n n n p

n n n n p U U U n n n n p

n n n n p

n p n p n n n n +++++++++++----=++++

++++-+-+=++++⎛⎫⎛⎫-=

---- ⎪ ⎪+-++++⎝⎭⎝⎭<

+L L L L

因而，对于任何自然数P ，都有

12111n n n p U U U n n ++++++<

<+L ，

∀ε>0，取

11

N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当n >N 时，对任何自然数P 恒有12n n n p U U U ε++++++

1

1n n n +∞

=-∑收敛．

(2)对于任意自然数P ，都有

()()()1212121cos cos cos 12222111222111221121112212n n n p

n n n p n n n p n p n p n U U U x n p x x

n n ++++++++++++++++=

+++

≤+++⎛⎫

- ⎪⎝⎭=

-⎛⎫=- ⎪⎝⎭

于是， ∀ε>0(0<ε<1)，∃N =21log ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当n >N 时，对任意的自然数P 都有12n n n p U U U ε++++++

(3)取P =n ，则

()()()()()121111113113123133213223231131132161112n n n p

U U U n n n n n n n n n n ++++++⎛⎫

=+-+++- ⎪

++++++⋅+⋅+⋅+⎝⎭

≥++++⋅+≥

+>L L L

从而取

0112ε=

，则对任意的n ∈N ，都存在P =n 所得120n n n p U U U ε++++++>L ，由柯西审敛原理知，原级数发散．

5．用比较审敛法判别下列级数的敛散性．

(1)

()()111465735n n ++++⋅⋅++L L

；

(2)222

12131112131n n +++++++++++L L

(3)

1πsin 3n

n ∞

=∑；

(4)

1n ∞

=；

(5)

()

1101n

n a a ∞

=>+∑；

(6)

()

1

1

2

1

n

n ∞

=-∑．

解：(1)∵

()()2

11

35n U n

n n =

<++