小学六年级奥数辅导讲义
六年级奥数培训教材
六年级奥数培训教材目录第一章数与代数第一讲比较大小第二章实践与应用（一）第一讲行程问题（一）第二讲行程问题（二）第三讲行程问题（三）第四讲流水行船问题第三章空间与图形第一讲表面积、体积（一）第二讲表面积、体积（二）第四章数论与整除第一讲应用同余解题第五章应用（二）第一讲“牛吃草”问题第二讲不定方程第三讲比例（补充）第六章组合与推理第一讲最大、最小问题第二讲乘法和加法原理第三讲抽屉原理（一）第四讲抽屉原理（二）第五讲逻辑推理（一）第六讲逻辑推理（二）第其讲对策问题第一章 数与代数 第一讲 比较大小【专题导引】我们已经掌握了基本的比较整数、小数、分数大小的方法。
本周将进一步研究如何比较一些较复杂的数或式子的值的大小。
解答这种类型的题目，需要将原题进行各种形式的转化，再利用一些不等式的性质进行推理判断。
如:a>b>0，那么a 2>b 2；如果a>b>0，那么ba b a ；如果11 >1，b>0，那么a>b 等等。
比较大小时，如果要比较的分数都接近1时，可先用1减去原分数，再根据被减数相等（都是1），减数越小，差越大的道理判断原分数的大小。
如果两个数的倒数接近，可以先用1分别除以这两个数。
再根据被除数相等，商越小，除数越大的道理判断原数的大小。
除了将比较大小转化为比差、比商等形式外，还常常要根据算式的特点将它作适当的变形后再进行判断。
【典型例题】【例1】比较888889888884777778777773和的大小。
【试一试】1、比较666663666661777777777775和的大小。
2、将9998988987987798769876698765，，，按从小到大的顺序排列出来。
【例2】比较1111111111111111和哪个分数大？【试一试】 1、比较166331666333==B A 和的大小。
2、比较888888887444444443222222221111111110和的大小。
六年级奥数讲义-巧求周长及面积(附答案)
数学学科教师辅导教案知识精讲知识点一（长方形、正方形的周长）【知识梳理】同学们都知道，长方形的周长=（长＋宽）×2，正方形的周长=边长×4。
长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。
如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，还需同学们灵活应用已学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算它们的周长。
【典型例题】例1 有5张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。
答案：72课堂练习一:1.下图由8个边长都是2厘米的正方形组成，求这个图形的周长。
答案：18*2=36厘米2.下图由1个正方形和2个长方形组成，求这个图形的周长。
答案：178厘米45cm3.有6块边长是1厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠着，求重叠后图形的周长。
答案：14厘米例2 一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的面积为192平方厘米。
现在这块木板的周长是多少厘米？答案：192-4*4=176平方厘米176/4=44厘米44*2=88厘米课堂练习二：1.有一个长方形，如果长减少4米，宽减少2米，面积就比原来减少44平方米，且剩下部分正好是一个正方形。
求这个正方形的周长。
答案：6*4=24米2.有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，如果按下图叠放在一起，这个图形的周长是多少？答案：4*8=32厘米3.有一块长方形广场，沿着它不同的两条边各划出2米做绿化带，剩下的部分仍是长方形，且周长为280米。
求划去的绿化带的面积是多少平方米？答案：280/2*2+2*2=284平方米例3 已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？答案：2a+4b课堂练习三:1.有一张长40厘米，宽30厘米的硬纸板，在四个角上各剪去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。
小学六年级奥数经典讲义(全套36讲)
第一讲循环小数与分数第二讲和差倍分问题第三讲行程问题第五讲质数与合数第六讲工程问题第七讲牛吃草问题第八讲包含与排除第九讲整数的拆分第十讲逻辑推理第十一讲通分与裂项第十二讲几何综合第十三讲植树问题第十五讲余数问题第十六讲直线面积第十七讲圆与扇形第十八讲数列与数表综合第十九讲数字迷综合第二十讲计数综合第二十一讲行程与工程第二十二讲复杂工程问题第二十三讲运用比例求解行程问题第二十四讲应用题综合第二十五讲数论综合2第二十六讲进位制问题第二十七讲取整问题第二十八讲数论综合3第二十九讲数论综合4第三十讲几何综合2第三十一讲图形变换第三十二讲勾股定理第三十三讲计数综合第三十四讲最值问题第三十五讲构造与论证1第三十六讲构造与论证2第一讲循环小数与分数循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．1．真分数7a化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少?【分析与解】17=0.142857 ，27=0.285714 ，37=0.428571 ，47=0.571428 ，57=0.714285 ， 67=0.857142． 因此，真分数7a化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以7a =0..857142 ，即a =6．评注：7a的特殊性，循环节中数字不变，且顺序不变，只是开始循环的这个数有所变化．2．某学生将1.23乘以一个数a 时，把1.23 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果该是多少?【分析与解】 由题意得：1.23 a -1.23a =0.3，即：0.003 a =0.3，所以有：3390010a =．解得a = 90，所以1.23a =1.23 × 90=123290-×90=11190× 90=111．3．计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数． 【分析与解】 方法一：0.1+0.125+0.3+0.16≈-0.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359≈0.736方法二：0.1+0.125+0.3+0.16113159899011118853720.7361=+++=+== ≈0.7364．计算：0.010.120.230.340.780.89+++++ 【分析与解】 方法一：0.010.120.230.340.780.89+++++ =1121232343787898909090909090-----+++++ =11121317181909090909090+++++ =21690=2.4方法二：0.010.120.230.340.780.89+++++ =0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+(0.010.020.030.040.080.09+++++ ) =2.1+0.01×(1+2+3+4+8+9) =2.1+190×27 =2.1+0.3 =2.4方法三：如下式， 0.011111… 0.122222．．． 0.233333．．． 0.344444．．．(1+2+3+4+8+9=27) 0.788888．．．+0.899999．．． 2.399997．．．注意到，百万分位的7是因为没有进位造成，而实际情况应该是2.399999…=2.39 =2.4．评注：0.9=99=1 ,0.09 =919010=．5．将循环小数0.027与0.179672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少?【分析与解】0.×0.179672=27179672117967248560.00485699999999937999999999999⨯=⨯== 循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l 位是5．这样四舍五入后第100位为9．6.将下列分数约成最简分数：166********66666666664【分析与解】 找规律：161644=,16616644=,1666166644= ,166661666644=,…所以1666666666666666666664=14评注：类似问题还有38538853888538888538888888885234 (29729972999729999729999999997)+⨯+⨯+⨯++．7.将下列算式的计算结果写成带分数：0.523659119⨯⨯【分析与解】0.523659119⨯⨯=11859119⨯=1(1)119-×59=59-59119=58601198．计算:744808333÷2193425909÷11855635255【分析与解】 744808333÷2193425909÷11855635255=62811259093525583332193453811⨯⨯ =373997131993564111136412119973331993⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=7523⨯⨯=5569．计算：1111111 81282545081016203240648128 ++++++【分析与解】原式1111111 81288128406420321016508254 =++++++2111118128406420321016508254 =+++++ 1111114064406420321016508254 =+++++ 11111203220321016508254=++++111110161016508254=+++111508508254=++11254254=+1127=10．计算：153219(4.85 3.6 6.153) 5.5 1.75(1) 4185321⎡⎤⨯÷-+⨯+-⨯+⎢⎥⎣⎦【分析与解】原式=1757193.6(4.851 6.15)5.5443421⨯⨯-++-⨯-⨯=135193.610 5.5412+⨯⨯+-=9+5.5-4.5 =1011．计算: 41.2×8.1+11×194+537×0.19【分析与解】原式=412×0.81+11×9.25+0.19×(412+125) =412×(0.81+0.19)+11×9.25+0.19×125 =412+11×8+11×1.25+19×1.25=412+88+1.25×30=500+37.5=537.512．计算：2255 (97)() 7979+÷+【分析与解】原式=656555 ()() 7979+÷+=[]555513()()137979⨯+÷+=13．计算:12324648127142113526104122072135⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯【分析与解】 原式=33333333123(1247)1232135(1247)1355⨯⨯⨯+++⨯⨯==⨯⨯⨯+++⨯⨯14.(1)已知等式0.126×79+1235×□-6310÷25=10.08，那么口所代表的数是多少? (2)设上题答案为a ．在算式（1993.81+a )×○的○内，填入一个适当的一位自然数，使乘积的个位数字达到最小值．问○内所填的数字是多少? 【分析与解】 (1)设口所代表的数是x ，0.126×79+1235x -6310÷25=10.08，解得：x =0.03，即口所代表的数是0.03．(2)设○内所填的数字是y ，(1993.81+O.03)×y =1993.84×y ，有当y 为8时1993.84×y =1993.84×8=15050.94，所以○内所填的数字是8．15．求下述算式计算结果的整数部分：111111()38523571113+++++⨯ 【分析与解】原式=111111(38538538538538538523571113⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈192.5+128.3+77+55+35+29.6=517.4 所以原式的整数部分是517．第二讲 和差倍分问题各种具有和差倍分关系的综合应用题，重点是包含分数的问题．基本的解题方法是将已知条件用恰当形式写出或变形，并结合起来进行比较而求出相关的量，其中要注意单位“1”的恰当选取．1．有甲、乙两个数，如果把甲数的小数点向左移两位，就是乙数的18，那么甲数是乙数的多少倍?【分析与解】甲数的小数点向左移动两位，则甲数缩小到原来的1100，设这时的甲数为“1”，则乙数为1×8=8，那么原来的甲数=l×100=100，则甲数是乙数的100÷8=12.5倍．2.有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子．已知第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的25．如果把这三堆棋子集中在一起，那么白子占全部棋子的几分之几?【分析与解】如下表所示：设全部黑子为“5”份，则第三堆里的黑子为“2”份，那么剩下的黑子占5-2=“3”份，而第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，将第一堆黑子和第二堆白子调换，则第二堆全部为黑子．所以第二堆棋子总数为“3”份，三堆棋子总数为3×3=“9”份，其中黑子占“5”份，则白子占剩下的9-5=“4”份，那么白子占全部棋子的4÷9=49．3．甲、乙两厂共同完成一批机床的生产任务，已知甲厂比乙厂少生产8台机床，并且甲厂的生产量是乙厂的1213，那么甲、乙两厂一共生产了机床多少台?【分析与解】因为甲厂生产的是乙厂的1213，也就是甲厂为12份，乙厂为13份，那么甲厂比乙厂少1份=8台．总共=8×(12+13)=200台．4．足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，那么一张门票降价多少元?【分析与解】设原来人数为“1”，则现在有1+0.5=1.5．原来收入为l×15=15，降价后收人为15×(1+15)=18元，那么降价后门票为18÷1.5=12元，则一张门票降价15-12=3元．5．李刚给军属王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的38，第二次运了50块．这时，已运来的恰好是没运来的57．问还有多少块蜂窝煤没有运来?【分析与解】已经运来的是没有运来的57，则运来的是5份，没有运来的是7份，也就是运来的占总数的512．则共有50÷(512-38)=1200块，还剩下1200×712=700块．6．有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的813．问剪下的一段长多少厘米?【分析与解】方法一：开始时，两条纸带的长度差为21－13=8厘米．因为两条纸带都剪去同样长度，所以两条纸带前后的长度差不变．设剪后短纸带长度为“8”份，长纸带即为“13”份，那么它们的差为13-8=5份，则每份为8÷5=1．6(厘米)．所以，剪后短纸带长为1.6×8=12.8(厘米)，于是剪去13-12.8=O.2(厘米)．方法二：设剪下x厘米，则1382113xx-=-，交叉相乘得：13×(13-x)=8×(21-x)，解得x=0.2，即剪下的一段长0.2厘米．7．为挖通300米长的隧道，甲、乙两个施工队分别从隧道两端同时相对施工．第一天甲、乙两队各掘进了10米，从第二天起，甲队每天的工作效率总是前一天的2倍，乙队每天的工作效率总是前一天的l 12倍．那么，两队挖通这条隧道需要多少天?【分析与解】如下表所示：天数工作量1 2 3 4 5甲10 20 40 80 160乙10 15 22.5 33.75 50.625 当天工作量20 35 62.5 113.75 210.625已完成工作量20 55 117.5 231.25 441.375 说明在第五天没有全天干活，则第四天干完以后剩下：300-231.25=68.75米，那么共用时间为4+68.75÷210.625=4110 337天．8．有一块菜地和一块麦地．菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是13公顷．麦地的一半和菜地的三分之一放在一起是12公顷．那么菜地是多少公顷?【分析与解】如下表所示：菜地12麦地13⇒13公顷菜地3 麦地2 ⇒78公顷菜地2 麦地3 ⇒72公顷菜地13麦地12⇒12公顷即5倍菜地公顷数+5倍麦地公顷数=78+72=150，所以菜地与麦地共有150÷5=30(公顷)．而菜地减去麦地，为78-72=6(公顷)，所以菜地有(30+6)÷2=18(公顷)．9．春风小学原计划栽种杨树、柳树和槐树共1500棵．植树开始后，当栽种了杨树总数的3 5和30棵柳树以后，又临时运来15棵槐树，这时剩下的3种树的棵数恰好相等．问原计划要栽植这三种树各多少棵?【分析与解】将杨树分为5份，以这样的一份为一个单位，则：杨树=5份；柳树=2份+30棵；槐树=2份-15棵，则一份为(1500-30+15)÷(2+2+5)=165棵，有：杨树=5×165=825棵；柳树=165×2+30=360棵；槐树=165×2-15=315棵．10.师徒二人共同加工170个零件，师傅加工零件个数的13比徒弟加工零件个数的14还多10个．那么，徒弟一共加工了多少个零件?【分析与解】我们用“师”表示师傅加工的零件个数，“徒”表示徒弟加工的零件个数，有：1 3“师”-14“徒”＝10，4“师”- 3“徒”=120,而4“师”+4“徒”=170×4=680．那么有7“徒”=680-120=560，“徒”=80，徒弟一共加工了80个零件．11. 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的11 2倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有712的人去甲工地，其他人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天．那么这批工人共有多少名?【分析与解】设甲工地的工作量为“1.5”，则乙工地的工作量为“1”．甲乙上午33134=+11134=+下午7121-712=512于是甲工地一整天平均用了这批工人的372()24123+÷=，乙工地一整天平均用了这批工人的1-21 33 =．这批工人的23完成了“1.5”的工作量，那么13的这批工人完成1.5÷2=“0.75”的工作量，于是乙工地还剩下1-0.75=“0.25”的工作量，这“0.25”的工作量需要4人工作1天．而甲、乙工地的工作量为1.5+1=2.5，那么需2.5÷0.25× 4=40人工作1天．所以原来这批工人共有40-4=36人．12．有一个分数，如果分子加1，这个分数就等于12；如果分母加1，这个分数就等于13．问原来的分数是多少?【分析与解】如果分子加1，则分数为12，设这时的分数为：2xx，则原来的分数为12xx-，分母加1后为：11213xx-=+，交叉相乘得：3(x-1)=2x+1，解得x=4，则原分数为38．13．图2-1是某市的园林规划图，其中草地占正方形的34，竹林占圆形的67，正方形和圆形的公共部分是水池．已知竹林的面积比草地的面积大450平方米．问水池的面积是多少平方米?【分析与解】因为水池是正方形的14，是圆的17，则正方形是水池的4倍，圆是水池的7倍，相差7-4=3倍，差450平方米，则水池=450÷3=150平方米．14．唐僧师徒四人吃了许多馒头，唐僧和猪八戒共吃了总数的12，唐僧和沙僧共吃了总数的13，唐僧和孙悟空共吃了总数的14．那么唐僧吃了总数的几分之几?【分析与解】唐+猪=12、唐+沙=13、唐+孙=14．(两边同时加减)唐+猪+唐+沙+唐+孙=2唐+(唐+猪+沙+孙)=2唐+1=12+13+14=1112．则：2唐=112，唐=124．唐僧吃了总数的124．15．小李和小张同时开始制作同一种零件，每人每分钟能制作1个零件，但小李每制作3个零件要休息1分钟，小张每制作4个零件要休息1.5分钟．现在他们要共同完成制作300个零件的任务，需要多少分钟?【分析与解】方法一：先估算出大致所需时间，然后再进行调整．因为小李、小张的工作效率大致相等，那么完成时小李完成300÷2=150个零件左右；小李完成150个零件需要150÷3×4=200分钟；在200分钟左右，198分钟是5.5的整数倍，此时乙生产198÷5.5×4=144个零件，并且刚休息完，所以在2分钟后，即200分钟时完成144+2=146个零件；那么在200分钟时，小李、小张共生产150+146=296个零件，还剩下4个零件未完成，所以再需2分钟，小李生产2个零件，小张生产2个零件，正好完成．所以共需202分钟才能完成．方法二：把休息时间包括进去，小李每4分钟做3个，小张每5.5分钟做4个．则在44分钟内小李做了：44÷4×3=33个，小张做了：44÷5.5×4=32个，他们一共做了：33+32=65个．300÷65=4……40，也就是他们共同做了4个44分钟即：44×4=176分钟后，还剩下40个零件没有做完．而22=4+4+4+4+4+2=5.5×4，所以22分钟内小李做了：3+3+3+3+3+2=17个，小张做了：4×2=16个，那么还剩下：40-17-16=7个，4分钟内小李做3个，小张做4个，共做4+3=7个，即这40个零件还需要26分钟．所以共用时间：44×4+26=202分钟．第三讲行程问题（1）涉及分数的行程问题.顺水速度、逆水速度与流速的关系，以及与此相关的问题.环形道路上的行程问题.解题时要注意发挥图示的辅助作用，有时宜恰当选择运动过程中的关键点分段加以考虑．1.王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时55千米.如果他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开?【分析与解】设甲地到乙地的路程为单位“1”,那么按时的往返一次需时间260,现在从甲到乙花费了时间1÷55＝155千米,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是211 605566-=.即如果他想按时返回甲地,他应以每小时66千米的速度往回开．2.甲、乙两地相距100千米,小张先骑摩托车从甲地出发,1小时后小李驾驶汽车从甲地出发,两人同时到达乙地.摩托车开始速度是每小时50千米,中途减速后为每小时40千米.汽车速度是每小时80千米,汽车曾在途中停驶1O 分钟.那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的多少小时?【分析与解】 汽车从甲地到乙地的行驶时问为100÷80=1.25小时=1小时15分钟,加上中途停驶的10分钟,共用时1小时25分钟．而小张先小李1小时出发,但却同时到达,所以小张从甲到乙共用了2小时25分钟，即2最小时．以下给出两种解法：方法一:设小张驾驶的摩托车减速是在他出发后x 小时,有50×x +40×5210012x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,解得13x =. 所以小张驾驶的摩托车减速是在他出发后13小时. 方法二:如果全程以每小时50千米的速度行驶,需100÷50=2小时的时间,全程以每小时40千米的速度行驶,需100÷40=2.5小时.依据鸡兔同笼的思想知,小张以每小时50千米的速度行驶了52.521122.526-=-的路程,即行驶了10015010063⨯=千米的路程,距出发5015033÷=小时.3. 一位少年短跑选手,顺风跑90米用了10秒钟.在同样的风速下,逆风跑70米,也用了10秒钟.问:在无风的时候,他跑100米要用多少秒?【分析与解】 我们知道顺风速度=无风速度+风速,逆风速度=无风速度-风速. 有顺风时速度为90÷10=9米/秒,逆风速度为70÷10=7米/秒． 则无风速度=2顺风速度＋逆风速度=982＋7＝米/秒 所以无风的时候跑100米，需100÷8=12.5秒.124.一条小河流过A ，B, C 三镇.A,B 两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C 两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A,C 两镇水路相距50千米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A 镇上船顺流而下到B 镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到C 镇,共用8小时.那么A,B 两镇间的距离是多少千米?【分析与解】 如下画出示意图，有A →B 段顺水的速度为11+1.5=12.5千米/小时, 有B →C 段顺水的速度为3.5+1.5=5千米/小时． 而从A →C 全程的行驶时间为8-1=7小时． 设AB 长x 千米,有50712.55x x -+=,解得x =25． 所以A,B 两镇间的距离是25千米.5.一条大河有A,B 两个港口,水由A 流向B,水流速度是每小时4千米.甲、乙两船同时由A 向B 行驶,各自不停地在A,B 之间往返航行,甲船在静水中的速度是每小时28千米,乙船在静水中的速度是每小时20千米.已知两船第二次迎面相遇的地点与甲船第二次追上乙船(不算甲、乙在A 处同时开始出发的那一次)的地点相距40千米,求A,B 两个港口之间的距离.【分析与解】 设AB 两地的路程为单位“1”,则：甲、乙两人在A 、B 往返航行，均从A 点同时同向出发,则第n 次同向相遇时,甲、乙两人的路程差为2n ；甲、乙两人在A 、B 往返航行,均从A 点同时同向出发,则第n 次相向相遇时,甲、乙两人的路程和为2n ；甲、乙两人在A 、B 往返航行,分别从A 、B 两点相向出发,则第n 次同向相遇时,甲、乙两人的路程差为(2n -1)；甲、乙两人在A 、B 往返航行,分别从A 、B 两点相向出发,则第n 次相向相遇时,甲、乙两人的路程和为(2n -1)．有甲船的顺水速度为32千米/小时,逆水速度为24千米/小时， 乙船的顺水速度为24千米/小时，逆水速度为16千米/小时. 两船第二次迎面相遇时,它们的路程和为“4”；甲船第二次追上乙船时，它们的路程差为“4”.(一)第二次迎面相遇时，一定是甲走了2～3个AB 长度，乙走了2～1个AB 长度，设甲走了2＋x 个AB 的长度,则乙走了2-x 个AB 的长度,有11322432x ++＝112416x -+，解得13x =，即第二次迎面相遇的地点距A 点13AB 的距离.(二)①第二次甲追上乙时，有甲行走2y z +(y 为整数，z ≤1)个AB 的长度，则乙行走了24y z -+个AB 的长度，有322432y y z ++＝22241624y y z --++，化简得320y z +=，显然无法满足y 为整数，z ≤1；②第二次甲追上乙时，有甲行走21y z ++(y 为整数，z ≤1)个AB 的长度，则乙行走了23y z -+个AB 的长度，有1322424y y z +++＝12241616y y z--++，化简有3213y z +=，有0.5z =，4y =. 即第二次甲追上乙时的地点距B 点12AB 的距离，那么距A 也是12AB 的距离．所以，题中两次相遇点的距离为(111236⎛⎫-= ⎪⎝⎭AB ，为40千米，所以AB 全长为240千米.6.甲、乙两船分别在一条河的A ，B 两地同时相向而行,甲顺流而下,乙逆流而上.相遇时,甲乙两船行了相等的航程,相遇后继续前进,甲到达B 地、乙到达A 地后,都立即按原来路线返航,两船第二次相遇时,甲船比乙船少行1000米.如果从第一次相遇到第二次相遇的时间相隔为1小时20分,那么河水的流速为每小时多少千米? 【分析与解】 因为甲、乙第一次相遇时行驶的路程相等,所以有甲、乙同时刻各自到达B 、A 两地.接着两船再分别从B 、A 两地往AB 中间行驶.所以在第二次相遇前始终是一船逆流、一船顺流,那么它们的速度和始终等于它们在静水中的速度和.有:甲静水速度+水速=乙静水速度－水速.还有从开始到甲第一次到达B 地，乙第一次到达A 地之前,两船在河流中的速度相等.所以甲船比乙船少行驶的1000米是在甲、乙各自返航时产生的．甲乙返航时,有甲在河流中行驶的速度为:甲静水速度-水速,乙在河流中的速度为:乙静水速度+水速.它们的速度差为4倍水速．从第一次相遇到第二次相遇,两船共行驶了2AB 的路程,而从返航到第二次相遇两船共行驶了AB 的路程,需时间80÷2=40分钟． 有4倍水速=401000150060⎛⎫÷=⎪⎝⎭,有水速=375米/小时=0.375千米/小时． 即河水的流速为每小时0.375千米．7.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟? 【分析与解】 甲行走45分钟，再行走70－45=25分钟即可走完一圈.而甲行走45分钟，乙行走45分钟也能走完一圈.所以甲行走25分钟的路程相当于乙行走45分钟的路程． 甲行走一圈需70分钟，所以乙需70÷25×45=126分钟．即乙走一圈的时间是126分钟．8.如图3-1，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．【分析与解】 注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完12圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+12＝32圈的路程． 所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米． 有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－60)+300，为32圈，所以此圆形场地的周长为480米．9.甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的23.甲跑第二圈时速度比第一圈提高了13；乙跑第二圈时速度提高了15．已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，那么这条椭圆形跑道长多少米? 【分析与解】设甲跑第一圈的速度为3，那么乙跑第一圈的速度为2，甲跑第二圈的速度为4，乙跑第二圈的速度为125. 如下图，第一次相遇地点逆时针方向距出发点35的跑道长度． 有甲回到出发点时，乙才跑了23的跑道长度.在乙接下来跑了13跑道的距离时，甲以“4”的速度跑了122433÷⨯=圈．所以还剩下13的跑道长度，甲以4的速度，乙以125的速度相对而跑，所以乙跑了112124355⎡⎤⎛⎫⨯÷+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦18=圈.也就是第二次相遇点逆时针方向距出发点18圈．即第一次相遇点与第二次相遇点相差31195840-=圈， 所以，这条椭圆形跑道的长度为1919040040÷=米．10.如图3-2，在400米的环形跑道上，A,B 两点相距100米.甲、乙两人分别从A ，B 两点同时出发，按逆时针方向跑步.甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟.那么甲追上乙需要时间是多少秒?【分析与解】 如果甲、乙均不休息，那么甲追上乙的时间为100÷(5-4)=100秒． 此时甲跑了100×5=500米，乙跑了100×4=400米．而实际上甲跑500米，所需的时间为100+4×10=140秒，所以140～150秒时甲都在逆时针距A 点500处．而乙跑400米所需的时间为100+3×10=130秒，所以130～140秒时乙走在逆时针距B点400处．显然从开始计算140秒时，甲、乙在同一地点，即甲追上乙需要时间是140秒．11.周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A ，B 两点．甲、乙两人分别从A ，B 两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A 时，乙恰好跑到B ．如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米? 【分析与解】 如下图,记甲乙相遇点为C.当甲跑了AC 的路程时，乙跑了BC 的路程；而当甲跑了400米时，乙跑了2BC 的路程． 由乙的速度保持不变，所以甲、乙第一次相向相遇所需的时间是甲再次到达A 点所需时间的12. 即AC=12×400=200(米)，也就是甲跑了200米时，乙跑了100米，所以甲的速度是乙速度的2倍．那么甲到达A ，乙到达B 时，甲追上乙时需比乙多跑400-100=300米的路程，所以此后甲还需跑300÷(2-1)×2=600米，加上开始跑的l 圈400米．所以甲从出发到甲追上乙时，共跑了600+400=1000米．12.如图3-3，一个长方形的房屋长13米，宽8米．甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒钟行3米，乙每秒钟行2米.问:经过多长时间甲第一次看见乙?【分析与解】 开始时，甲在顺时针方向距乙8+13+8=29米．因为一边最长为 13、所以最少要追至只相差13，即至少要追上29-13=16米． 甲追上乙16米所需时间为16÷(3-2)=16秒，此时甲行了3×16=48米，乙行了2×16=32米．甲、乙的位置如右图所示：显然甲还是看不见乙，但是因为甲的速度比乙快，所以甲能在乙离开上面 的那条边之前到达上面的边，从而看见乙．而甲要到达上面的边，需再跑2米，所需时间为2÷3=23秒． 所以经过16+23=1623秒后甲第一次看见乙.13.如图3-4,学校操场的400米跑道中套着300米小跑道,大跑道与小跑道有200米路程相重．甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点A 处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米?【分析与解】 如下图,甲、乙只可能在大跑道上相遇．并且只能在AB 顺时针的半跑道上．易知小跑道AB 逆时针路程为100,顺时针路程为200,大跑道上AB 的顺、逆时针路程均是200米．我们将甲、乙的行程状况分析清楚．当甲第一次到达B 时,乙还没有到达B 点,所以第一次相遇一定在逆时针的BA 某处．而当乙第一次到达B 点时，所需时间为200÷4=50秒,此时甲跑了50×6=300米,在B 点300-200=100米处．乙跑出小跑道到达A 需100÷4=25秒,则甲又跑了25×6=150米,在A 点左边(100+150)-200=50米处．所以当甲到达B 处时,乙还未到B 处,那么甲必定能在B 点右边某处与乙第二次相遇． 从乙再次到达A 处开始计算,还需(400-50)÷(6+4)=35秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共跑了50+25+35=110秒．所以,从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了110×6=660米．14．如图3-5,正方形ABCD 是一条环形公路．已知汽车在AB 上时速是90千米，在BC 上的时速是120千米，在CD 上的时速是60千米,在DA 上的时速是80千米．从CD 上一点P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB 中点相遇．如果从PC 的中点M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB 上一点N 相遇．问A 至N 的距离除以N 至B 的距离所得到的商是多少?【分析与解】 如下图,设甲始终顺时针运动,乙始终逆时针运动,并设正方形ABCD 的边长为单位“1”.有甲从P 到达AB 中点O 所需时间为608090PD DA AO ++10.5608090PD =++. 乙从P 到达AB 中点O 所需时间为6012090PC BC BO ++10.56012090PD =++. 有甲、乙同时从P 点出发,则在AB 的中点O 相遇,所以有：16080PD +=160120PC +且有PD=DC-PC=1-PC,代入有116080PC -+160120PC =+,解得PC=58. 所以PM=MC=516,DP=38.现在甲、乙同时从PC 的中点出发,相遇在N 点,设AN 的距离为x .有甲从M 到达N 点所需时间为608090MD DA AN ++351816608090x+=++； 乙从M 到达N 点所需时间为6012090MC CB BN ++511166012090x-=++. 有351816608090x +++511166012090x -=++，解得132x =.即AN=132. 所以AN ÷BN 1313232=÷131=15.如图3-6，8时10分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A ，B 两地顺时针方向沿长方形ABCD 的边走向D 点.甲8时20分到D 点后,丙、丁两人立即以相同速度从D 点出发.丙由D 向A 走去,8时24分与乙在E 点相遇；丁由D 向C 走去，8时30分在F 点被乙追上.问三角形BEF 的面积为多少平方米?【分析与解】 如下图，标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位置．先分析甲的情况，甲10分钟，行走了AD 的路程；再看乙的情况，乙的速度等于甲的速度，乙14分钟行走了60+AE 的路程，乙20分钟走了60+AD+DF 的路程．所以乙10分钟走了(60+AD+DF)-(AD)=60+DF 的路程．有601014AD AE +=6010DF +=，有()()607560AD DFAE ED AE =+⎧⎪⎨-=+⎪⎩然后分析丙的情况,丙4分钟,行了走ED 的路程,再看丁的情况,丁的速度等于丙的速度,丁10分钟行走了DF 的距离．。
六年级奥数--《浓度问题》-个性化辅导讲义
一、专题简析在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题，即浓度问题。
我们知道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。
如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液＝糖+水）二者质量的比值决定的。
这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。
类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者质量的比值叫酒精含量。
因而浓度就是溶质质量与溶液质量的比值，通常用百分数表示，即，浓度＝溶质质量/溶液质量×100％＝溶质质量/（溶质质量＋溶剂质量）×100% 解答浓度问题，首先要弄清什么是浓度。
在解答浓度问题时，根据题意列方程解答比较容易，在列方程时，要注意寻找题目中数量问题的相等关系。
浓度问题变化多，有些题目难度较大，计算也较复杂。
要根据题目的条件和问题逐一分析，也可以分步解答。
二、例题简析与练习【例题1】有含糖量为7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖？【思路导航】根据题意，在7％的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度，糖的质量增加了，糖水的质量也增加了，但水的质量并没有改变。
因此，可以先根据原来糖水中的浓度求出水的质量，再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的质量，用现在糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。
原来糖水中水的质量：600×（1－7％）＝558（克）现在糖水的质量：558÷（1－10％）＝620（克）加入糖的质量：620－600＝20（克）练习一1．现在有浓度为20％的糖水300克，要把它变成浓度为40％的糖水，需要加糖多少克？2．有含盐15％的盐水20千克，要使盐水的浓度为20％，需加盐多少千克？【例题2】一种35％的新农药，如稀释到1.75％时，治虫最有效。
用多少千克浓度为35％的农药加多少千克水，才能配成1.75％的农药800千克？【思路导航】把浓度高的溶液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。
六年级奥数第一讲
六年级奥数第一讲：加法原理与乘法原理讲义加法原理：如果完成一件工作有几类方法，在每一类方法中又各有几种不同的方法，使用其中的任何一种方法都能独立完成这件工作，那么完成这件工作的不同方法总数，就是完成这件工作各类方法的种数之和。
乘法原理：如果完成一件工作要分几步，而每一步又有几种方法，那么完成这件事的方法总数等于各步方法数的乘积。
注意：（1）有特殊要求的首先考虑。
（2）乘法原理和加法原理的区别：完成一件工作或事情是分类的，每一类中又可以用乘法原理，每一类能独立完成任务，这是加法原理。
完成一件工作或事情是分步的，每一步不能独立完成任务，这是乘法原理。
例题讲解例1：书架上有5本不同的语文书，7本不同的数学书，4本不同的英语书。
（1）如果要在书架上任取一本书，共有多少种不同的取法？（2）如果要在书架上不同科目各取一本书，共有多少种不同的取法？分析与解：（1）不管去什么书，取一本书就完成任务，所以取书分三类是加法原理。
5+7+4=16种。
（2）语文、数学、英语各取一本，即3本。
完成这件事，必须分三步，所以是乘法原理。
5×7×4=140种。
例2：由数字0、1、2、3、4组成三位数。
（1）可以组成多少个不相等的三位数？（2）可以组成几个没有重复数字的三位数？（3）可以组成几个没有重复数字的三位奇数？（4）可以组成几个没有重复数字的三位偶数？分析与解：（1）先考虑百位，百位不能放0，有四种方法，十位、个位各有5种方法，所以4×5×5=100（个）。
（2）先考虑百位，百位不能放0，有4种方法，由于数字不能重复，故十位、个位各有4种、3种方法，所以4×4×3=48（个）。
（3）先考虑个位，个位只能放1和3，2种，还有4个数字包括0，在考虑百位，百位有3种放法，还剩下3个数字放在十位，所以3×3×2=18（个）（4）分两类考虑。
个位放0，4×3=12（个）；个位放2，4，3×3×2=18分析与解：四张卡片共有8个数码，千位不能放0，有7种放法，还剩下3张卡片，共6个密码，百位就有6种可选，还剩下2张卡片，4个数码，个位就有4种选择。
六年级奥数培优讲义
1.运算定律：
（1）加法交换律：a＋b＝b＋a
（2）加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c )
（3）乘法交换律：a×b＝b×a
（4）乘法结合律：(a×b) ×c＝a×(b×c )
（5）乘法分配律：a×(b＋c)＝a×b＋a×c
2.去括号或添括号：
a＋(b＋c)＝a＋b＋c
a×(b×c)＝a×b×c
例 4 求所有被 3 除余 1 的两位数的和。
【分析与解】 由题意可知被 3 除余 1 的最小两位数是 10，a1＝10，最大的两位数是 97，an＝97，公
差 d＝3。要求这个数列的和 S，必须先求项数 n。 n ＝(97－10)÷3＋1 ＝87÷3＋1 ＝29＋1 ＝30 s ＝(10＋97)×30÷2 ＝107×30÷2 ＝3210÷2 ＝1605
a＋(b－c)＝a＋b－c
a×(b÷c)＝a×b÷c
a－(b＋c)＝a－b－c
a÷(b×c)＝a÷b÷c
a－(b－c)＝a－b＋c
a÷(b÷c)＝a÷b×c
3.积不变性质：若一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，则积不变。
4.商不变性质：若被除数和除数同时乘以或除以相同的非零数，则商不变。
5.等差数列求和公式：S＝(a1＋an)×n÷2 6.平方差公式：a2－b2＝(a＋b)×(a－b)
［(1＋12)×12÷2＋12］×2 ＝［78＋12］×2 ＝90×2 ＝180（下） 答：时钟一昼夜共敲 180 下。 试一试 5 大时钟几点钟就敲几下，而且每半点敲一下。这只时钟两天共敲了多少下？
练习一
1.计算。 （1）34＋38＋42＋46＋50＋54
（2）1＋2＋3＋4＋5＋6＋……＋199＋200
六年级奥数36讲(全)
第1讲 计算综合（一）繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题． 1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母．2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数．3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观． 4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级 [第1讲 循环小数与分数]．1．计算：711471826213581333416⨯+⨯-÷ 【分析与解】原式=7123723174612241488128131233+⨯=⨯=-2．计算：【分析与解】 注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有5199．于是，我们想到改变运算顺序，如果分子与分母在5199后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序． 而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×0.5． 具体过程如下：原式=5919(3 5.22)19930.41.6910()52719950.5199519(6 5.22)950+-⨯÷+⨯-+=5191.3219930.440.40.59()519950.419950.5191.329-⨯⨯⨯÷+⨯⨯-=199320.41()19950.5+÷⨯=0.410.5÷=1143．计算：1111111987-+-【分析与解】原式=11198711986-+=198613973-=198739734．计算：已知=181111+12+1x+4=，则x 等于多少? 【分析与解】方法一：1118x 68114x 112x 7111+11148x 62+214x 1x+4+====+++++++交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25． 方法二：有11131118821x 4+==+++，所以18222133x 4+==++；所以13x 42+=，那么x =1.25．5．求944,43,443,...,44...43 个这10个数的和．【分析与解】方法一：944+43+443...44...43++ 个= 1044(441)(4441)...(44...41)+-+-++-个= 104444444...44...49++++-个=1094(999999...999...9)99⨯++++- 个 =1004[(101)(1001)(10001)...(1000...01)]99⨯-+-+-++-- 个 =914111.1009=49382715919⨯- 个.方法二：先计算这10个数的个位数字和为39+4=31⨯；再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为36339+=； 再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为32335+=； 再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为28331+=； 再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为24327+=； 再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为20222+=； 再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为16218+=； 再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的1，为12113+=； 再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为819+=；最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为4． 所以，这10个数的和为4938271591．6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少?【分析与解】 因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为： 1173(0.60.875)1+0.75+1.8+2.625=6.175=63440⨯+++=7.我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○2.9=2.9○3.5=3.5．符号“△”表示选择两数中较小数的运算，例如：3.5△2.9=2.9△3.5=2.9．请计算：23155(0.625)(0.4)333841235(0.3)( 2.25)3104⨯+【分析与解】原式1550.6255155725384218384122562.253⨯=⨯÷=+8．规定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，…．如果111(16)(17)(17)-=⨯，那么方框内应填的数是多少? 【分析与解】111(17)()1(16)(17)(17)(16)=-÷=-=161718111516175⨯⨯-=⨯⨯.9．从和式11111124681012+++++中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1? 【分析与解】 因为1116124+=，所以12,14,16,112的和为l ，因此应去掉18与110.10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如1.892915929．那么在所有这种数中。
六年级上册数学培优奥数讲义-第26讲数与形
第26讲数与形知识装备数与形是数学中的两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
初级挑战1根据上面图形与数的规律，接着这样排列下去，如果不画，你知道第10个数是多少吗？第n个数呢？思路点拨：第1个数是1，图形有1个；第2个数是4，图形有2×2＝4（个）；第3个数是9，图形有3×3＝9（个）……,这说明每个数与对应图形的个数相同，而第n个数可通过（）得到。
答案：10×10＝100，n×n＝n2能力探索1一些小圆形如下排列：照这样画下去，第5个图形最外圈有（）个小圆形；第8个图形最外圈有（）个小圆形。
答案：第5个图形：62－42＝20，第8个图形：92－72＝32。
初级挑战2如下图，摆1个正方形需4根火柴棒，摆2个正方形需7根火柴棒，摆3个正方形需10根火柴棒……照这样摆下去，摆4个正方形需（）根火柴棒；摆10个正方形需（）根火柴棒；摆n个正方形需要（）根火柴棒。
【思路点拨】摆一个正方形需要（）根火柴棒，后面每多摆一个正方形，就多需要（）根火柴棒，如果摆n个正方形，一共就要（）根火柴棒。
答案：摆4个正方形需13根火柴棒；摆10个正方形需31根火柴棒；摆n个正方形需要（3n＋1）根火柴棒。
能力探索21、按下列规律摆放☆，则第⑤堆☆有多少个？第⑨堆☆有多少个？答案：第⑤堆☆有17个；第⑨堆☆有29个。
2、明明用小棒搭了3间房子(如下图所示)，像这样搭下去，搭5间房子要用_____根小棒；搭n间房子要用_________根小棒。
小学奥数知识点(六年级)上课讲义
小学奥数知识点(六年级)学习改变命运，思考成就未来！姓名 _______________一、 计算1．四则混合运算⑴ 运算顺序⑵ 分数、小数混合运算技巧一般而言：① 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；② 乘除运算中，统一以分数形式。
⑶带分数与假分数的互化2．简便计算⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序运算定律的综合运用① 连减的性质② 连除的性质③ 同级运算移项的性质④ 增减括号的性质⑤ 变式提取公因数形如：1212......(......)n n a b a b a b a a a b ÷±÷±±÷=±±±÷3．估算求某式的整数部分：扩缩法4．比较大小① 通分a.通分母 b. 通分子② 利用倒数性质 若111a b c>>，则c>b>a.。
定义新运算 5．特殊数列求和运用相关公式：()21321+=++n n n 131171001⨯⨯⨯=⨯=abc abc abcabc ()()b a b a b a -+=-22二、 数论1．奇偶性问题奇±奇=偶 奇×奇=奇奇±偶=奇 奇×偶=偶偶±偶=偶 偶×偶=偶2．位值原则 形如：abc =100a+10b+c3．数的整除特征：1310．孙子定理（中国剩余定理）11．辗转相除法12．数论解题的常用方法：枚举、归纳、反证、构造、配对、估计三、几何图形1．平面图形⑴多边形的内角和N边形的内角和=(N-2)×180°⑵等积变形（位移、割补）①三角形内等底等高的三角形②平行线内等底等高的三角形③公共部分的传递性④极值原理（变与不变）⑶三角形面积与底的正比关系S1︰S2 =a︰b ； S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4组合图形的思考方法化整为零先补后去正反结合四、典型应用题1．植树问题①开放型与封闭型②间隔与株数的关系2．方阵问题外层边长数-2=内层边长数（外层边长数-1）×4=外周长数外层边长数2-中空边长数2=实面积数3．列车过桥问题①车长+桥长=速度×时间②车长甲+车长乙=速度和×相遇时间③车长甲+车长乙=速度差×追及时间列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题车长=速度和×相遇时间车长=速度差×追及时间4．年龄问题（差不变原理）5．鸡兔同笼（假设法的解题思想）6．牛吃草问题原有草量=（牛吃速度-草长速度）×时间7．平均数问题8．盈亏问题（分析差量关系）9．和差问题10．和倍问题11．差倍问题12．逆推问题（还原法，从结果入手）13．代换问题（列表消元法；等价条件代换）五、行程问题1．相遇问题路程和=速度和×相遇时间2．追及问题路程差=速度差×追及时间3．流水行船顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速船速=（顺水速度+逆水速度）÷2水速=（顺水速度-逆水速度）÷24．多次相遇线型路程：甲乙共行全程数=相遇次数×2-1环型路程：甲乙共行全程数=相遇次数其中甲共行路程=单在单个全程所行路程×共行全程数5．环形跑道6．行程问题中正反比例关系的应用路程一定，速度和时间成反比。
小学奥数六年级讲义教材精编
六年级数学奥数培训资料- 1 -第1讲 定义新运算 第2讲 简便运算（一） 第3讲 简便运算（二） 第4讲 简便运算（三） 第5讲 简便运算（四） 第6讲 转化单位“1”（一） 第7讲 转化单位“1”（二） 第8讲 转化单位“1”（三） 第9讲 设数法解题 第10讲 假设法解题（一） 第11讲 假设法解题（二） 第12讲 倒推法解题 第13讲 代数法解题 第14讲 比的应用（一） 第15讲 比的应用（二） 第16讲 用“组合法”解工程问题 第17讲 浓度问题 第18讲 面积计算（一） 第19讲 面积计算（二） 第20讲 面积计算目录第21讲 抓“不变量”解题 第22讲 特殊工程问题 第23讲 周期工程问题 第24讲 比较大小 第25讲 最大最小问题 第26讲 加法、乘法原理 第27讲 表面积与体积（一） 第28讲 表面积与体积（二） 第29讲 抽屉原理（一） 第30讲 抽屉原理（二） 第31讲 逻辑推理（一） 第32讲 逻辑推理（二） 第33讲 行程问题（一） 第34讲 行程问题（二） 第35讲 行程问题（三） 第36讲 流水行船问题 第37讲 对策问题 第38讲 应用同余问题 第39讲 “牛吃草”问题 第40讲 不定方程六年级数学奥数培训资料 姓名：__________________- 2 -第1讲 定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
六年级奥数-圆柱圆锥
六年级数学辅导讲义--- 圆柱和圆锥强化训练圆柱体和圆锥体有关的体积、外表积1.如右图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？2. 用一块长60厘米、宽40厘米的铁皮做圆柱形水桶的侧面，另找一块铁皮做底。
这样做成的铁桶的容积最大是多少？〔精确到1厘米3〕3.有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形〔不包括瓶颈〕，容积是30分米3。
现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余局部的高度为5厘米〔见右图〕。
问：瓶内现有饮料多少立方分米？4.皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。
皮球的直径为15厘米，水桶底面直径为60厘米。
皮球有45的体积浸在水中〔见下列图〕。
问皮球掉进水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？5.有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米〔见右图〕。
如果将这个零件接触空气的局部涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？6将一个底面半径为20厘米、高27厘米的圆锥形铝块，和一个底面半径为30厘米、高20厘米的圆柱形铝块，熔铸成一底面半径为15厘米的圆柱形铝块，求这个圆柱形铝块的高。
7.右图是一顶帽子。
帽顶局部是圆柱形，用黑布做；帽沿局部是一个圆环，用白布做。
如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a厘米，那么哪种颜色的布用得多？8.一个底面直径为20厘米的圆柱形木桶里装有水，水中淹没着一个底面直径为18厘米、高为20厘米的铁质圆锥体。
当圆锥体取出后，桶内水面将降低多少？9.用直径为40厘米的圆钢锻造长300厘米、宽100厘米、厚2厘米的长方形钢板，应截取多长的一段圆钢？容器高度的几分之几？10.11.11..右上图是一个机器零件，其下部是棱长为20厘米的正方体，上部是圆柱形的一半。
求它的外表积与体积。
12.有两个盛满水的底面半径为10厘米、高为30厘米的圆锥形容器，将它们盛的水全部倒入一个底面半径为20厘米的圆柱形容器内，求水深。
小学六年级奥数讲义
小 学 六 年 级 奥 数 讲 义条 件 的 转 换 强 化 练 习一般情况下，要把条件转换成：已知数量是问题的几分之几或者问题是已知数量的几分之几的形式，即可得解。
条件转换时，要仔细分析甲数、乙数、甲乙两数的和与差各自的份数。
1、修一条公路，已修的与未修的比是2：7，已修的占全长的) () (，已修比未修少) () (2、一套服装，上衣的价钱比裤子的价钱少85，裤子的价钱占总价的) () (，裤子比上衣多) () (3、男生人数是女生人数的74，女生占全班的) () (，男生占男女人数差的) () (4、沙子的重量比水泥多85，沙子的重量占总和的) () (，沙子的重量占差的) () (5、一桶油连桶重66千克，其中桶的重量是油重量的92，求桶的重量。
6、一本书共216页，已看的是未看的72，已看多少页？7、甲乙共有280元，甲的钱数比乙多31，甲乙各有多少元？8、学校有足球和篮球共36个，足球个数比篮球多41，篮球有多少个？9、一套服装共有490元，上衣的价钱比裤子多31，上衣、裤子各多少元？10、甲乙两人比赛投篮，甲比乙多投8个，乙投中个数与甲投中个数的比是3：5，甲投中多少个？11、今年爸爸33岁，儿子12岁，当儿子的年龄是爸爸的125时，儿子多少岁？12、工地上水泥比沙子多15吨，沙子的重量是水泥的85，工地原有水泥和沙子各多少吨？13、一个分数，分子比分母少36，将这个分数化成最简分数后是52，这个分数原来是多少？14、果园里有三种果树，其中梨树占总数的31，苹果树与其他两种果树的数量比是1：1，苹果树比梨树多60棵，果园里一共有果树多少棵？15、一本书，看了51后，又看了6页，这时已看的正好是剩下的31，这本书原有多少页？16、甲乙丙三人共修一条公路，甲修的米数是其余两人的21，乙修的米数比其余两人少31，丙修了408米，这条公路共有多少米？量 率 对 应 强 化 练 习量率对应关系也就是找出题目中具体数量对应的分率，也就是要找到“具体数量占谁的几分之几或谁占具体数量的几分之几”的条件。
小学六年级奥数讲义
3、一个商场，为了答谢客户，某件商品按“买一送一”销售。问这件商品是按打几折销售的？
自主学习
（一）
4、某商品按20 的利润定价，然后按8.8折卖出，共获得利润84元。求商品的成本。
合作探究
（一）
5、商品甲按20 的利润卖出，卖出价是240元，商品乙按10 的亏损卖出，卖出价是180元，甲和乙两种商品的成本谁多？
8、某种商品按定价卖出可得利润800元，如果按定价的80 出售，就亏损240元。该商品的购入价是多少元？（用方程试一试）
精讲释疑
（二）
用方程解决问题，会增长不少数学能力。
训练检测与能力挑战
9、一件衣服打7.5折售价330元，现在比原价便宜了多少元？
10、毕业在即，六年级某班为纪念师生情谊，班委决定花800元班费买两种不同价格的留念册，分别给50名同学和10位任课老师每人一本留作纪念。其中送给任课老师的留念册的单价比给同学的单价多8元。请问：这两种不同的留念册的单价分别是多少元？
你认为到哪家店最省钱？
自我评价
精讲释疑
（一）
5题要按关系式（4）进行，计算出各自的成本。
再进行比较。
请聪明的你试一试。
自主学习
（二）
6、某商品按30 的利润定价，然后又按9折卖出，每件可获利润17元。求此商品每件的成本。
合作探究
（二）
7、某商品按每个5元的利润卖出4个的钱数，与按每个20元的利润卖出3个的钱数一样多。这种商品的成本是多少元？（用方程试一试）
解决利润问题要掌握以下的基本数量关系。
（1）、利润=出售价—成本价
（2）、利润率=利润÷成本×100
小学六年级奥数全册精品讲义
第一讲分小四则混合运算一、数的互化1.小数化成分数：2.分数化成小数：3.分数化成有限小数与无限循环小数的条件：4.小数化成百分数：5.百分数化成小数：6.分数化成百分数：7.百分数化成小数：二、数的整除1.把一个合数分解质因数，通常用。
2.求几个数的最大公约数的方法是：3.求几个数的最小公倍数的方法是：4.成为互质关系的两个数：三、约分和通分1.约分的方法：2.通分的方法：四、性质和规律1.商不变的规律2.小数的性质3.小数点位置的移动引起小数大小的变化4.分数的基本性质5.分数与除法的关系五、运算的意义1.整数四则运算2.小数四则运算3.分数四则运算4.运算定律5.运算法则6.运算顺序例1：计算：例2：计算：例3：计算：例4：解关于x的方程：例5. 已知，那么□＝________。
例6. 计算例7. 计算：183706581327185131713⨯+⨯-⨯+÷.1997199719981997÷1997199719971998÷111151 2.4538322x x ⎛⎫+⨯-=⨯+ ⎪⎝⎭16241770012781.[()].⨯-⨯÷=□19931219921319911219901311213-+-++- 96891993110324251993.⨯+⨯⨯A1.2. 3.4. 5. 2005×97.75＋4010×1.1256. 37×1111＋7777×9B 7. 199×208－198×2098. 35×67－34×689. 10. 11. 12×3434－34×121212. 20182018×1998－19981998×201813. 14. C15. 16.585757⨯411412001÷199819971997⨯51151601÷35225533951⨯+⨯+⨯361911361117⨯+⨯124123123123÷157511574157315731573+÷104103105535353353535159⨯-⨯200320022004131313111111169⨯+⨯17. 18. 19. 20. 1. 计算： 2. 计算：3. 计算：4.计算：5. 计算：6. 计算： 10310011071741⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯101992972752532⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯90197217561542133011209127651+-+-+-+-413121()514131211(4131211(51413121(++⨯++++-+++⨯+++9999100999999⨯+.[(.](.)65233121815719510-÷-⨯+=□()6117665811121995131133131741221+÷++144855183661533555412⨯÷-+⨯+-(...)(.(()()()(112113114115111998-⨯+⨯-⨯+⨯⨯- 1110210545554021415⨯⨯⨯⨯⨯...1. 31×43－31＋58×312. 3. 4. 56×78＋13×83＋27×78＋83×95. 6. 7. 199 + 99×998. 7.63×9.9＋0.7639. 3.74×5.8＋62.6×0.5810. 3.43×14＋1.4×75.7－1411.12. 536375.04.383⨯+⨯201128.245.7542⨯+⨯09.125.15491.0⨯+÷537632124⨯+÷%5.37625.1583834375.0⨯+-⨯1012694.8437⨯+⨯第二讲数列与数表1.等差数列：2.斐波那契数列：3.周期数列与周期：4.寻找数列的规律，通常有以下几种办法：1.逐步了解首项、末项、项数、公差与和之间的关系。
(完整版)小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全
小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1”第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步（一）第28讲运筹学初步（二）第29讲运筹学初步（三）第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。
比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。
下面我们介绍另外几种方法。
1.“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。
如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
2.化为小数。
这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。
但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。
3.先约分，后比较。
有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
4.根据倒数比较大小。
5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。
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例1、计算
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+
1
5×6
例2、计算+
例3、计算
1
21
+
303
2121
+
50505
212121
+
例4、2016的所有因数是多少个
例5、一个大于100的自然数，它减去12或者加上11都是完全平方数，求这个数是多少。
例6、将数字1到9做成9张卡牌，从中任意取出3张卡牌，用它们组成六个没有重复数字的三位数，求这六个三位数之和是所取出的三个数之和的多少倍。
例7、幼儿园小朋友分糖果，若给每个小朋友5块糖果，则剩下7块，若给每个小朋友6块糖果，则还缺4块，请计算有多少块糖果。
例8、2016个83相乘，其末尾数是多少
例9、若a、b、c均为非0的自然数，a
16 +
b
4
+
c
2
的近似值是，那么它的准确
值是多少
例10、有一种算法叫阶乘，用“！”表示，规定如下：
0！=1,
1！=1,
2！=2×1=2，
3！=3×2×1=6，
5！=5×4×3×2×1=120
求4！等于多少。
请写一个算式，算式中的数字只有4个0，运算符号可以包括加减乘除、括号和阶乘，使该算式的结果等于24。
第一章推理
例1、右图表格中每个方格填入一个图形，使得表格中每行、每列及对角线上的四个方格中的图形都是且不重复。
例2、黑盒中放有180个白色棋子和181子，每次任意从黑盒中摸出两个棋子，白子放入黑盒；如果两个棋子不同色，次，黑盒中最后剩下的棋子是什么颜色的
例3、一个正方体木块，每个面上分别标着数字1～6。
2对着的数字是（ ），3对着的数字是（ ）。
例4、从1到100的自然数中，至少取多少个不同的数，其中必有两个数的和为102说明理由。
（抽屉原理1：把多于n 个的物体放到n
个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体）
例5、一个岛上有两种人，一种只说真话，一种只说假话。
第一天，2015个人随机围成一圈，他们每人都说：“我左右的两个人都是骗子。
”第二天，活动继续，但有一人因病未到，剩余2014个人再次随机坐成一圈，每个人都说：“我左右的两个人都是与我不同类型的人。
”问题：那个生病的人说真话还是假话说假话的一共有多少人
例6、A,B,C,D,E 五个数，A 比B 大，C 比D 大却比E 小，D 比B 大，E 比A 小，这五个数从大到小排列是：
例7、有一路公共汽车，包括起点站和终点站共有11个车站。
如果有一辆车从起点站出发，除终点站外，每一站上车的乘客中，恰好各有1位乘客从这一站坐到以后的每一站，为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车最少需要有多少个座位
第二章 几何
例1、右图为七角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G
例2、下图四边形ABCD 为正方形，M 是AD 的中点，
GM=1cm ，求BG 的长度。
C
A D
例3、右图中，点C是直线AB上的一点，已知AB=4cm， A C B C点到B点的距离是1cm，则AB=_______________
例5、四边形ABCD中，AB=7，CD=2，∠B=∠D=90°，∠A=45°，求四边形ABCD的面积。
例6、如图，E是长方形ABCD外一点，BE交CD于F，四边形ABFD的面积为50，三角形ADE 面积是8，三角形CEF面积是18，求三角形DEF面积。
例7、如图，M、N是边长为1的正方形ABCD相邻两边的中点，求三角形AOC的面积。
E A
B
例例8
例8、三角形ABC中，C是直角，已知AC＝2，CD＝2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN的面积为多少
例9、单位正方形ABCD，M为AD边上的中点，求图中的阴影部分面积。
例9 例10
例10、如图所示，四边形ABCD与DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等。
第三章应用题
例1、一辆汽车从甲地开往乙地，如果每小时比原计划多行10千米，可以比原计划提前2小时到达；如果每小时比原计划少行2千米，就会比原计划迟半小时到达。
甲乙两地相距多少千米。
（伴你学数学六年级下册第28页）
例2、甲乙两条船，在同一条河上相距210千米，若两船相向而行，则2小时相遇；若同向而行，则14小时甲赶上乙。
求甲船的速度。
例3、少年班（两个班）去距离学校30公里的海滨浴场游玩。
学校只有一辆校车接送，每次只能承载一个班的同学，校车时速45公里，同学们步行每小时5公里。
为了使所有同学都能尽快到达，校车应该如何接送同学最为合理（不考虑同学上下车及汽车调头时间）共需
要多长时间
例4、甲、乙两人驱车从A、B两地同时匀速相向而行，第一次相遇是在距离B地30千米处，两人到达B、A地后又立即返回，在距离A地13千米处第二次相遇。
求A、B两地相距多少千米。
例5、某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的铁桥用23秒，那么该列车与另一列长320米、时速千米的火车错车时间为多少秒
例6、A步行延公路前进，迎面遇到一辆汽车B，B在10分钟前超过一辆自行车C；10分钟后A遇到自行车C。
已知C的速度是A的3倍，那么B的速度是A的几倍（A、B、C均为匀速）
例7、一个水池有一个注水口和一个排水口，单开注水口，6小时可以可以把空水池放满水，单开排水口，8小时可以把满池水放干。
两边同时打开，多长时间可以把空水池放满水
例8、小明读一本英语书，第一次读时，第一天读35页，以后每天都比前一天多读5页，结果最后一天读了35页便读完了；第二次读时，第一天读45页，以后每天都比前一天多读5页，结果最后一天只需读40页就可以读完，问这本书有多少页
例9、某中学数学考试，结果不低于80分的人数比80分以下的人数的4倍还多2人，及格的人比不低于80分的人数多22人，恰是不及格人数的6倍，求参加考试的总人数
例10、一件工作,若由甲单独做72天完成,现在甲做1天后,乙加入一起工作,合作2天后,丙也一起工作,三人再一起工作4天,完成全部工作的1/3,又过了8天,完成了全部工作的5/6,若余下的工作由丙单独完,还需要几天
第四章综合题
例1、有一个数，除以3的余数是2，除以4的余数是1，则这个数除以12的余数是多少
例2、有一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有多少个
例3、一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，求这个数。
例4、要使五位数15abc能被36整除，而且所得的商最小，问这个五位数是多少商最大呢
例5、能被11整除的六位数，奇数位的数字和，与偶数位数字和的差，能被11整除。
例6、甲、乙二人沿铁路相向而行,速度相同,一列火车从甲身边开过用了8秒钟,离甲后5分钟又遇乙,从乙身边开过,只用了7秒钟,问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人
相遇
例7、下面的各算式是按规律排列的：1＋1，2＋3，3＋5，4＋7，1＋9，2＋11，3＋13，4＋15，1＋17，……，那么其中第多少个算式的结果是2016
例8、六年级同学乘校车去春游，如果每车坐15人，还剩9人，如果每车坐18人，则可以剩余一辆校车，求有多少同学
例9、一个池上装有3根水管。
甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水，30分钟可将满池水放完。
现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完
例10、把1至2016这2016个自然数依次写下来得到一个多位数9.....2016,这个多位数除以9余数是多少
习题：
1、一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.
2、在一次只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只出第二题的学生人数是( )
3、有四种颜色的积木若干，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证有3人能取得完全一样
4、地上有四堆石子，石子数分别是1、9、1
5、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个，然后都放入第堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同（如果能请说明具体操作，不能则要说明理由）
5、甲乙两车同时从AB两地相对开出。
第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点后立即返回。
二次相遇时离B地的距离是AB全程的1/5。
已知甲车在第一次相遇时行了120千米。
AB两地相距多少千米。