高中数学-等比数列的前n项和练习

高中数学-等比数列的前n 项和练习

[A 基础达标]

1．等比数列1，a ，a 2

，a 3

，…的前n 项和为( )

A ．1＋a （1－a n －1）1－11a

B ．1－a n

1－a

C.a n ＋1－1a －1

D ．以上皆错

解析：选D.当a ＝1时，S n ＝n ，故选D.

2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15

D ．16

解析：选C.设{a n }的公比为q ， 因为4a 1，2a 2，a 3成等差数列， 所以4a 2＝4a 1＋a 3，即4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2

， 即q 2

－4q ＋4＝0，所以q ＝2， 又a 1＝1，所以S 4＝1－2

4

1－2

＝15，故选C.

3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．3

D ．－3

解析：选A.因为S 3＋3S 2＝0，

所以a 1（1－q 3）1－q ＋3a 1（1－q 2）1－q

＝0，

即(1－q )(q 2

＋4q ＋4)＝0.解得q ＝－2或q ＝1(舍去)．

4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9＝( ) A.1

8 B ．－18

C.578

D ．558

解析：选A.法一：由等比数列前n 项和的性质知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，又a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，则S 3，S 6－S 3，a 7＋a 8＋a 9成等比数列，从而a 7＋a 8＋a 9＝（S 6－S 3）2

S 3＝1

8.故选

A.

法二：因为S 6＝S 3＋S 3q 3

，所以q 3

＝

S 6－S 3S 3＝－18，所以a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝S 3q 6

＝8× ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－18

2＝1

8

.故选A. 5．在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( ) A ．90 B ．70 C ．40

D ．30

解析：选C.因为S 30≠3S 10，所以q ≠1.

由⎩⎪⎨⎪⎧S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140得⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10，S 30＝130，

所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 10）

1－q

＝10，

a 1（1－q

30

）

1－q

＝130，

所以q 20

＋q 10

－12＝0.所以q 10

＝3，

所以S 20＝a 1（1－q 20）1－q

＝S 10(1＋q 10

)

＝10×(1＋3)＝40.

6．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________．

解析：因为在等比数列{a n }中，前3项之和等于21， 所以

a 1（1－43）

1－4

＝21，所以a 1＝1.

所以a n ＝4n －1

.

答案：4

n －1

7．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n

，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．

解析：因为a n ＋1－a n ＝2n ，应用累加法可得a n ＝2n

－1.

所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋22

＋ (2)

－n ＝2（1－2n

）1－2

－n ＝2n ＋1

－n －2.

答案：2

n ＋1

－n －2

8．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2，则该数列的前15项和S 15＝________．

解析：设数列{a n }的公比为q ，则由已知，得q 3

＝－2. 又a 1＋a 2＋a 3＝a 1

1－q

(1－q 3

)＝1，

所以a 11－q ＝13，所以S 15＝a 11－q (1－q 15)＝a 11－q [1－(q 3)5]＝13

×[1－(－2)5

]＝11.

答案：11

9．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；

(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得

⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝2，a 1

（1＋q ＋q 2）＝－6. 解得q ＝－2，a 1＝－2.

故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n

.

(2)由(1)可得S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－23＋(－1)n 2

n ＋1

3

.

由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n

·

2n ＋3

－2n ＋2

3

＝2[－23＋(－1)n 2n ＋1

3

]＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等

差数列．

10．数列{a n }是首项为1的等差数列，且公差不为零，而等比数列{b n }的前三项分别是a 1，

a 2，a 6.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若b 1＋b 2＋…＋b k ＝85，求正整数k 的值． 解：(1)设数列{a n }的公差为d ， 因为a 1，a 2，a 6成等比数列， 所以a 2

2＝a 1·a 6，

所以(1＋d )2

＝1×(1＋5d )， 所以d 2

＝3d ， 因为d ≠0， 所以d ＝3，

所以a n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2.

(2)数列{b n }的首项为1，公比为q ＝a 2

a 1

＝4， 故b 1＋b 2＋…＋b k ＝1－4k

1－4＝4k

－1

3.

令4k

－13＝85，即4k

＝256，

解得k ＝4.

故正整数k 的值为4.

[B 能力提升]

11．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )