几何体的外接球与内切球

几何体的外接球与内切球

1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。

2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。

3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。

4、体积分割是求内切球半径的通用做法。 一、外接球

（一）多面体几何性质法

1、 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π

小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 2、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，

则此球的表面积为 。 （二）补形法

1、，则其外接球的表面积是 .

2、设,,,P A B C 是球O 面上的四点,且,,PA PB PC 两两互相垂直,若PA PB PC a ===, 则球心O 到截面ABC 的距离是 .

小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.

设其外接球的半径为R ，则有2R =

3、三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥

O ABC -外接球的表面积为（ ）

A ．2

6a π B ．2

9a π C ．212a π D ．2

24a π

4、三棱锥ABC P -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ∆是正三角形 ⊥PA 平面

62,==AB PA ABC 则该球的体积为（ ）

A. π316

B. π332

C. π48

D. π364

答案及解析：

10.B

点评： 本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键．

5、如图的几何体是长方体 1111ABCD A B C D -的一部分，其中 113,2AB AD DD BB cm ====则该几何体的外接球的表面积为 (A 211cm π (B) 222cm π (C)

2

11223

cm ( D)21122cm π

答案及解析：

12.【知识点】几何体的结构. G1

B 解析：该几何体的外接球即长方体1111ABCD A B

C

D -的外接球，而若长方体

1111ABCD A B C D -的外接球半径为R ，则长方体1111ABCD A B C D -的体对角线为2R ，

所以2

2

2

2

2

11

(2)332222

R R =++=⇒=，所以该几何体的外接球的表面积222cm π，故选 B.

【思路点拨】分析该几何体的外接球与长方体1111ABCD A B C D -的外接球的关系，进而得结论.

6、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（ ）

A ． 12π

B ． 4

π

C ． 3π

D ． 12

π

答案及解析：

14.

考点： 由三视图求面积、体积．

分析： 三视图复原几何体是四棱锥，扩展为正方体，它的体对角线，就是球的直径，求出半径，解出球的表面积．

解答： 解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作S ﹣ABCD ，

其中SA⊥面ABCD ．面ABCD 为正方形，将此四棱锥还原为正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以2r=．

∴S 球=4πr 2

=4π×=3π． 答案：C

点评： 本题考查三视图求表面积，几何体的外接球问题，是基础题．

（三）寻求轴截面圆半径法

1、正四棱锥S ABCD 2S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .

C

D

A

B

S

O 1图3

小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.

2、求棱长为a 的正四面体P – ABC 的外接球的表面积

3、三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2且AA1⊥平面ABC，△ABC是边长为的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（）

A．8πB．C．D．8π

答案及解析：

7.C

考点：球的体积和表面积．

专题：计算题；空间位置关系与距离．

分析：根据题意，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的体积．

解答：解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，

因为△ABC是边长为的正三角形，所以底面中心到顶点的距离为：1；

因为AA1=2且AA1⊥平面ABC，所以外接球的半径为：r==．

所以外接球的体积为：V=πr3=π×（）3=．

故选：C．

点评：本题给出正三棱柱有一个外接球，在已知底面边长的情况下求球的体积．着重考查了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识，属于中档题．

8.