几何体的外接球与内切球
球的内切和外接

面上,若该正方体的表面积为24,则该球的体 积为 4 3 .
2、求长方体的外接球的有关问题
例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上, 且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ,则此 球的表面积为 .
解析:关键是求出球的半径,因为长方体内接于 球,所以它的体对角线正好为球的直径。长方体 体对角线长为 14,故球的表面积为 14 . 变式题:已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱 高为4,体积为16,则这个球的表面积为( C ) A. 16 B. 20 C. 24 D. 32
常见几何体的内切、外接球
一、 球体的体积与表面积
二、球与多面体的接、切
图3 图4 图5
4 3 ① V球 R 3
②
S球面 4 R
2
定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上, 则称这个多面体是这个球的内接多面体, 这个球是这个 多面体的外接球 。 定义2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切, 则称这个多面体是这个球的外切多面体, 这个球是这个 多面体的内切球 。 棱切: 一个几何体各个面分别与另一个几 何体各条棱相切。
①若球为正方体 的外接球
2R 3a
若球为正方体的内切球, 2R=a 则
③若球与正方 则
体的各棱相切,
2R 2a
知识拓展 1.几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a,球的半径为R,
①若球为正方体的外接球
2R 3a
2R 2a
②若球为正方体的内切球,则 2R=a ③若球与正方体的各棱相切,则
3
练习 正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长 都为 2 ,点S,A,B,C,D都在同一球面上, 则此球的体积为 .
D
S
C O1 B
高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型

高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型本文介绍了空间几何体的外接球与内切球的经典类型,其中第一种类型为墙角模型,即三条棱两两垂直,不需要找球心的位置即可求出球半径。
具体方法是找到三条两两垂直的线段,然后使用公式2R=a+b+c或2R=a^2+b^2+c^2来求出R。
例如,在已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16的情况下,可以求出该球的表面积为32π。
第二种类型为对棱相等模型,补形为长方体。
在这种情况下,需要找到对棱相等的空间几何体,并补成长方体。
例如,如果三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积为36π。
除此之外,文章还给出了一些具体的例子,如正三棱锥S-ABC中,M、N分别是棱SC、BC的中点,且AM⊥MN,若侧棱SA=23,则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。
同时,文章还提到了一些需要注意的引理,如正三棱锥的对棱互相垂直等。
需要注意的是,文章中存在一些格式错误和明显有问题的段落,需要进行删除或修改。
题设:三棱锥(即四面体)中,已知三组对棱分别相等,求外接球半径(AB=CD,AD=BC,AC=BD)首先,我们可以画出一个长方体,标出三组互为异面直线的对棱,如图2-1所示。
设出长方体的长宽高分别为a,b,c,AD=BC=x,AB=CD=y,AC=BD=z,列方程组:a^2+b^2=x^2b+c=yc^2+a^2=z^2根据墙角模型,我们可以得到2R=a+b+c=2(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2),化简得到R=sqrt(2)/2*(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2),求出R即可。
例2(1)如下图所示三棱锥A-BCD,其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7,则该三棱锥外接球的表面积为。
2)在三棱锥A-BCD中,AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4,则三棱锥A-BCD外接球的表面积为。
3)正四面体的各条棱长都为2,则该正面体外接球的体积为。
立体几何中球的内切和外接问题完美版

S
A.
B.
C.1
D.
答案:D.
O
,即
.
C
A
M
B
7
若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形,则共斜边的中点就是其外接球的球心。
例 9、已知三棱锥的四个顶点都在球 的球面上,
且
,,
解:
且
,
,
因为 所以
所以知 所以可得图形为:
,
,
,
,求球 的体积。
P
在
中斜边为
在
中斜边为
B
取斜边的中点 , 在
中
在
中
所以在几何体中
则这个球的表面积是( )
A.16π
B.20π
C.24π
D.32π
4
举一反三-突破提升
2.正六棱柱的底面边长为 4,高为 6,则它的外接球的表面积为
A. 20 B. 25 C. 100 D. 200
4
举一反三-突破提升
已知正三棱锥 P-ABC 的主视图和俯视图如图所 示,
则此三棱锥的外接球的表面积为 ( )
B、体积为 3
D、外接球的表面积为 16
3
1正视图
1
3 1 侧视图
俯视图
点 A、B、C、D 均在同一球面上,其中
是正三角形,
AD 平面 ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
平面四边形 ABCD中, AB AD CD1, BD 2, BD CD ,
将其沿对角线 BD 折成四面体 A'BCD,使平面 A' BD 平面 BCD,
∴S 表=S 侧+S 底=9
外接球与内切球

外接球与内切球【基础回顾】 球的体积公式:343V R π=球的表面积公式:24S R π= ☆核心:求出外接球/内切球的半径R . 【知识引导】一、多边形外接圆⇒几何体外接球(圆心到多边形各个顶点距离相等,距离为半径r ⇒球心到几何体各顶点距离相等,距离为半径R ) ☆核心:找到合适底面外接圆圆心,求出半径r . 【1】常见多边形外接圆半径 1. 四边形长方形: 半径:22a br +=,圆心:对角线交点正方形: 半径:22r a =, 圆心:对角线交点2. 三角形☆等边三角形: 半径:3r =, 圆心:中线三等分点 (注意讲解中线上2:1关系)直角三角形: 半径:222a br +=, 圆心:斜边中点120︒等腰三角形: 半径:r a =,圆心:如图,在三角形外部普通三角形: 半径:利用正弦定理2sin ar A= (已知一组对边角) (这里r 即为外接圆半径)【2】常见几何体外接球半径1. 直棱柱:222hR r⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,r为底面外接圆半径,h为柱体的高(注:斜棱柱无外接球)长方体:半径:222a b c R++ =正方体:半径:3R=,球心:体对角线交点直三棱柱:半径:222h R r⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2. 锥体:正三棱锥:外接球球心在底面的高线上球半径可利用勾股定理列方程求解正四面体:半径:64R=,二、多边形内切圆⇒几何体内切球【解题技巧与步骤】一、求解外接球半径R (☆核心:找到合适底面外接圆圆心,求出半径r )【1】柱体:R =r 为底面外接圆半径. 【2】锥体步骤:(1)选合适底面,找圆心O ',求出底面外接圆半径r .(底面:长方形,正方形,等边∆,直角∆,120︒等腰∆,已知一组对边角的∆) (2)将圆心向上平移h ,得到球心O☆(3)利用PO AO =(R 相等)列方程求h (OA(4)将h 代入OA =R(三棱锥外接球为重点内容,重点讲解第3步列方程中各长度的求解)二、求解内切球半径R (核心:等体积法)题型一、柱体外接球1. 一个长方体的长、宽、高分别为3,4,5cm cm cm ,则该长方体的外接球的体积是________3cm .2. 长方体的长宽高分别是 ,,,则其外接球的体积是 .3.长、宽、高分别为 、 、 的长方体的外接球的表面积为 .4.一个棱长为2cm 的正方体的外接球的体积是_________3cm .5.若正方体外接球的体积是 ,则正方体的棱长等于 .6.已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若3AB =,4AC =,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为( )A . B. C.132D. 7.三棱柱的侧棱垂直于底面,且,,若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为A. B. C.D.8.三棱柱 的侧棱垂直于底面,且 ,,若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为A.B.C.D.9.已知侧棱与底面垂直的三棱柱满足,,则其外接球的表面积为 .10.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ) A. 2a π B.273a π C.2113a π D. 25a π11.设正三棱柱中,,,则该正三棱柱外接球的表面积是.12.一个直六棱柱的底面是边长为的正六边形,侧棱长为,则它的外接球的表面积为.题型二:锥体外接球(等边三角形(含正三棱锥))1.在正三棱锥中,,分别是棱,的中点,且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是.2.已知三棱锥的所有棱长均为 ,则该三棱锥的外接球的直径为 .3.一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体,过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面,则该截面圆的面积是___________.4.已知球的直径6SC =,,A B 是该球球面上的两点,且3AB SA SB ===,则棱锥S ABC -的体积为A . B.C.D.5.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =,则此棱锥的体积为_________________.6.菱形ABCD 边长为6,60BAD ∠=︒,将BCD ∆沿对角线BD 翻折使得二面角C BD A --的大小为120︒,已知,,,A B C D 四点在同一个球面上,则球的表面积等于___________.7.在三棱锥P ABC -中,底面ABC 是等边三角形,侧面PAB 是直角三角形,且2PA PB ==,当三棱锥P ABC -表面积最大时,该三棱锥外接球的表面积为 A. 12π B. 8π C. 43πD.323π8.三棱锥中, 为等边三角形,,,二面角的大小为,则三棱锥 的外接球的表面积为A. B.C.D.9.已知三棱锥A BCD -中,2,2AB AC BD CD BC AD =====,直线AD 与底面BCD 所成角为3π,则此时三棱锥外接球的体积为A. 8πB.C.D.(直角三角形) 1.设,,, 是球面上的四点,,, 两两互相垂直,且 ,,,则球的表面积为A. B. C. D.2.已知 的顶点都在球 的球面上,,,,三棱锥的体积为,则该球的表面积等于 .3.已知三棱锥 中,,,,,则该三棱锥外接球的体积为 .4.已知四面体P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上,若PB ABC ⊥平面, AB AC ⊥,且AC =2PB AB ==,则球O 的表面积为_______________________.5.某几何体的三视图如图所示,则它的外接球表面积为A. B. C. D.6.一个三棱锥的三视图如图所示,则其外接球的体积是.7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的A.外接球的体积为B.外接球的表面积为4πC.体积为D.18.在三棱锥中,,,,,,则三棱锥外接球的表面积是A. B. C. D.9.已知点,,,A B C D 在同一个球的球面上,2AB BC ===,若四面体中球心O 恰好在侧棱DA 上,DC =则这个球的表面积为___________________.10.在体积为43的三棱锥S ABC -中,2,90,AB BC ABC SA SC ==∠=︒=,且平面SAC ⊥平面ABC ,若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上,则该球的体积是A.B. 92π C. 272π D. 12π11.如图,三棱锥中S ABC -,,6,12SA ABC AB BC ⊥==平面, AC SB ==则三棱锥S ABC -外接球的表面积为_______________.12.已知三棱锥的外接球的表面积为,该三棱锥的三视图如图所示,三个视图的外轮廓都是直角三角形,则其侧视图面积的最大值为 .13.在三棱锥 中,, 斜边上的高为 ,三棱锥的外接球的直径是 ,若该外接球的表面积为,则三棱锥体积的最大值为B. C.D.14.如图所示,平面四边形ABCD 中,,,AB AD BD CD BCD ⊥⊥∆BD 折成四面体ABCD ,满足二面角A BD C --为60︒.若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上,则该球的表面积的最小值为( )A. 4πB.C. 8πD.(正弦定理)1.如图,三棱锥的所有顶点都在一个球面上,在ABC ∆中,AB =60,90,,ACB BCD AB CD CD ∠=︒∠=︒⊥=则该球的体积为___________.2.三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC ,且2,5,6PA AB AC BC ====,则三棱锥P ABC -的外接球表面积为___________.3.三棱锥P ABC -中,6,AB BC AC PC ===⊥平面ABC ,2PC =,则这三棱锥的外接球表面积为A . 253π B.252π C.833π D.832π(120︒等腰∆) 1.已知球的半径为 ,,, 三点在球 的球面上,球心 到平面的距离为,,, 则球的表面积为 A. B.C.D.(四棱锥)1.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 ,底面边长为 ,则该球的表面积为 .2.底面为正方形,顶点投影再底面中心的棱锥P ABCD-的五个顶点在同一球面上,若该棱锥的底面边长为4,侧棱长为,则这个球的表面积为_____________3.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图,则该多面体外接球的表面积为A. 8πB. 252π C. 12π D.414π4.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球体的表面积是A. 12πB. 24πC. 32πD. 48π5.某四棱锥的三视图如图所示,其中网格中的小正方形的边长为1,侧视图是一个边长为2的正三角形,则这个几何体的外接球的表面积是___________.6.已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形,PBC ABCD ⊥平面平面,PE BC ⊥于点E ,1EC =,AB =,3,2BC PE ==则四棱锥P ABCD -的外接球半径为________________.7.四棱锥P ABCD -的三视图如下图所示,四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上,,E F 分别是棱,AB CD 的中点,直线EF 被球面所截得的线段长为( )A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π8.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的外接球表面积为________________.题型三:内切球1.在正四面体ABCD中,其棱长为a,若正四面体ABCD有一个内切球,则这个球的表面积为.2.已知正四棱锥的底面边长为a,侧棱长为√2a.求它的内切球的表面积.。
立体几何中球的内切和外接问题(完美版)

2 3 A. 3
B. 3 3
3 3 C. 2
正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的棱长为 2 , MN 是它的内切球的一条弦 (我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦) , P 为正方体表面上 的动点,当弦 MN 的长度最大时, PM PN 的取值范围是 .
,∴ , ,∴
,
, .
∴外接球的半径为
,∴球的表面积等于
解析:球内接多面体,利用圆内接多边形的性质求出小 圆半径,通常用到余弦定理求余弦值,通过余弦值再利 c 用正弦定理得到小圆半径 sin C 2r ,从而解决问题。
5
A.
正棱锥的外接球的球心是在其高上
,侧棱 PA 与底面 )
例 5 在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=PC=
测棱相等的锥体顶点的投影在底面外接圆心
例 7、.若三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,AB=2, SA=SB=SC=2,则该三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离为( )
B.
C.1
D.
S
O
,即 .
C M B
A
7
,
解: 因为 所以 在 且
若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形,则共斜边的中点就是其外接球的球心。
D
1 r S全 3 2 2 3 r 3
E
r
6 2 S球 85 2 6
1 1 V多面体 S 全 r V S全 内切球 多 面 体3
3
r内 切 球
变式训练:一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截 面的可能图形是( )
考点三 4
组合体的表面积与体积
简单几何体的外接球和内切球的半径的求法

简单几何体的外接球和内切球半径的求法1、正方体若正方体的棱长为a ,则其外接球半径为 ,内切球半径为 ,棱切球半径为 球心全是正方体的体对角线的交点32a 12a 22a例:一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是a cm ,求球的体积.解:该球是正方体的外接球,球心到正方体各顶点的距离相等,因此球心是正方体的体对角线的交点,球的直径是正方体的体对角线长设球的半径为R ,a R a R 2332==得则)(23)23(34343333cm a a R πππ==∴球的体积为若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球。
外接球的球心到多面体各顶点的距离均相等。
例:将一个棱长为6cm 的正方体铁块磨制成一个球体零件,求可能制作的最大零件的体积。
解:这个最大的球体是正方体的内切球,球心到正方体各个面的距离相等,因此球心是正方体的体对角线的交点,球的直径是正方体的棱长设球的半径为R ,则2R =6,得R =3)(3633434333cm R πππ=⨯=∴最大零件的体积为若一个多面体的各面都与一个球的球面相切, 则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球。
内切球的球心到多面体各面的距离均相等。
⑴正方体的内切球直径=⑵正方体的外接球直径=⑶与正方体所有棱相切的球直径=探究 若正方体的棱长为a ,则a3a2a右图,红色球是正方体的棱切球棱切球的球心到正方体各条棱的距离相等,因此球心是正方体的体对角线的交点,球的直径是正方体的面对角线的长2、长方体若长方体的长、宽、高分别为a、b、c,则其外接球半径为球心是长方体的体对角线的交点222 1+2a b c例:有一个球与长方体的面相切,这个球的最大直径是多少?长方体的长、宽、高中的最小者例:一个长方体的各顶点均在同一个球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面积为____________若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球。
空间几何体的外接球与内切球解题方法

空间几何体的外接球与内切球一、有关定义1.球的定义:空间中到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫球面,简称球。
2.外接球的定义:若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球。
3.内切球的定义:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切,则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球。
二'外接球的有关知识与方法1.性质:性质1:过球心的平面截球面所得圆是大圆,大圆的半径与球的半径相等;性质2:经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心,该平面截球所得圆是大圆;性质3:过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面(类比:圆的垂径定理);性质4:球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心;性质5:在同一球中,过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交,交点是球心(类比:在同圆中,两相交弦的中垂线交点是圆心).2.结论:结论1:长方体的外接球的球心在体对角线的交点处,即长方体的体对角线的中点是球心;结论2:若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点,则所得多面体与原长方体的外接球相同;结论3:长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心,换言之,就是:底面的一条对角线与一条高(棱)构成的直角三角形的外接圆是大圆;结论4:圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处;结论5:圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆,该矩形的对角线(外接圆直径)是球的直径;结论6:直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球;结论7:圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上;结论8:圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆,该三角形的外接圆直径是球的直径;结论9:侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3.终极利器:勾股定理、正弦定理及余弦定理(解三角形求线段长度);三、内切球的有关知识与方法1.若球与平面相切,则切点与球心连线与切面垂直。
几何体外接球和内切球问题的解答方法

几何体的外接球和内切球问题大家知道,几何体的外接球和内切球问题是近几年的高考热点内容,尤其是几何体的外接球问题,基本上近几年的高考试题中都有出现。
归结起来这类问题主要包括两种类型:①已知几何体的顶点都在同一球面上,几何体满足一定的条件,求球的体积;②已知几何体的顶点都在同一球面上,几何体满足一定的条件,求球的表面积;解答这类问题的基本思路是根据问题给出的条件,求出球的半径,然后再运用球的体积(或表面积)公式进行计算得出结果。
从题型上看是5分小题,可能是选择题,也可能是填空题;从难易程度上看,属于中、低档难度的问题。
那么如何解答这类问题呢?下面通过例题的解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题:1、已知三棱锥P —ABC 的三个顶点在球O 的球面上,PA=PB=PC ,∆ABC 是边长为2的正三角形,E ,F 分别是PA ,AB 的中点,∠CEF=.90,则球O 的体积为( )(2019全国高考新课标I (理))π π π π2、《九章算术》中将底面为长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”,现有一阳马,其正视图和侧 1视图是如图所示的直角三角形,若该阳马的顶点都在同一个 1 2 球面上,则该球的体积为( )(2018成都市高三二诊)A πB πC πD 24π【解析】1、【考点】①正三棱锥的定义与性质;②正三棱锥外接球的定义与性质;③几何体外接球半径的求法;④球的体积计算公式与方法;【解题思路】运用正三角形的性质和正三棱锥外接球的性质求出外接球的半径,再运用球的体积公式进行计算得出结果; P【详细解答】如图,取BC 的中点D ,连接AD ,PD ,设正三角形ABC 外接圆的圆心为1O ,连接P 1O ,设外接 E O 球的球心为O ,连接AO ,∆ABC 是边长为2的正 C 三角形,D ,F 分别BC ,AB 的中点,∴AD=CF=2⨯ A F 1O B⇒A 1O ,PA=PB=PC ,∆ABC 是正三角形,∴P —ABC 是正三棱锥,⇒PB ⊥AC ,E ,F 分别是PA ,AB 的中点,∴EF//PB ,⇒EF ⊥AC ,∠CEF=.90,AC CE=C ,AC ,EC ⊂平面PAC ,∴EF ⊥平面PAC ,⇒PB ⊥平面PAC ,⇒∠APB=.90,⇒⇒PD =1,⇒P 1O 3R ,在Rt ∆AO 1O 中,AO=R ,O 1O =-R ,A 1O =,2AO =21OO +21AO ,∴2R =2)R -+2(3,⇒R=2,∴O V 球=343R π=43⨯4π=π⇒选D 。
常用几何体的内切外接球

contents
目录
• 几何体的内切球 • 几何体的外接球 • 特殊几何体的内切外接球 • 内切外接球的应用
01 几何体的内切球
定义与性质
定义
内切球是与多面体的各面都相切 的球。
性质
内切球的球心到多面体的各面的 距离相等。
计算方法
公式法
根据多面体的几何属性,计算出内切球的半径公式。
径,即外接球的半径是圆锥高的两倍。
长方体
总结词
长方体的内切球不存在,因为长方体的所有顶点到中心的距 离不等;长方体的外接球也是存在的,其圆心位于长方体的 中心,半径等于长方体对角线的一半。
详细描述
长方体的内切球不存在,因为长方体的所有顶点到中心的距 离不等。但是长方体的外接球是存在的,其圆心位于长方体 的中心,即长方体对角线的交点,外接球的半径等于长方体 对角线长度的一半。
几何体的外接球
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几何体的外接球
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几何体的外接球
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几何体的外接球
作图法
通过作图找出内切球的球心和半径。
立体几何中球的内切和外接问题(完美版)

C 1
注意:①割补法,② V多面体 3 S全 r内切球
变式训练:一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如 图所示,则截面的可能图形是( )
①
②
③
④
• A .①② B.②④ C.①②③ D.②③④
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
球的内接正方体的对角线等于球直径。
变式训练:已知正四面体内接于一个球,某人画出四 个过球心的平面截球与正四面体所得的图形如下,
的动点,当弦 MN 的长度最大时, PM • PN 的取值范围是
.
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球与多面体的内切、外接
球的半径r和正方体 的棱长a有什么关系?
.r
a
一、 球体的体积与表面积
①
②
二、球与多面体的接、切
定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,
则称这个多面体是这个球的内接多面体,
这个球多是面这体个的外接球
。
定义2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切,
,即 为该四面体的外接球的球心
A
O
C
所以该外接球的体积为
03
破译规律-特别提
醒
2 例题剖析-针对讲 解
04
举一反三-突破提
升
4 举一反三-突破提 升 1、(2015 海淀二模)已知斜三棱柱的三 视图如图所示,该斜三棱柱的体积为 ______.
4 举一反三-突破提 升
2、(2015 郑州三模) 正三角形ABC的2 边3 长
5 正棱锥的外接球的球心是在其 高上
立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究(完美版)

立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究一、由球心的定义确定球心在空间,如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就是该简单多面体的外接球球心。
二、由上述性质可以得出以下多面体外接球的结论:结论1:正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点。
结论2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点。
结论3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。
结论4:正棱锥的外接球的球心是在其高上,具体位置可通过计算得到。
结论5:若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形,则共斜边的中点就是其外接球的球心。
一、定义法例1、 在矩形ABCD 中,4,3AB BC ==,沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512πB.1259πC.1256πD.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ,则由矩形对角线互相平分,可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等,即点O 为四面体的外接球的球心,如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C.二、求正方体、长方体的外接球的有关问题结论1:正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点。
①出现“墙角”结构利用构造法(补形法),联系长方体。
【原理】:长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,,则体对角线长为222c b a l ++=,几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=例1、若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知,该三棱锥的三条侧棱两两垂直,∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体,于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R ,则有()()()()222223339R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为a b c 、、,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ,则有2222R a b c =++.②出现正四面体外接球时利用构造法(补形法),联系正方体。
外接球与内切球九大模型(解析版)

空间几何体的外接球与内切球九大模型模型一墙角模型【方法总结】墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型,用构造法(构造长方体)解决.外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=a2+b2+c2.),秒杀公式:R2=a2+b2+c24.可求出球的半径从而解决问题.有以下四种类型:【例题选讲】[例](1)已知三棱锥A-BCD的四个顶点A,B,C,D都在球O的表面上,AC⊥平面BCD,BC⊥CD,且AC=3,BC=2,CD=5,则球O的表面积为()A.12πB.7πC.9πD.8π答案A解析由AC⊥平面BCD,BC⊥CD知三棱锥A-BCD可构造以AC,BC,CD为三条棱的长方体,设球O的半径为R,则有(2R)2=AC2+BC2+CD2=3+4+5=12,所以S球=4πR2=12π,故选A.(2)若三棱锥ABCS-的三条侧棱两两垂直,且2=SA,4==SCSB,则该三棱锥的外接球半径为().A.3B.6C.36D.9答案A解析616164)2(2=++=R,3=R,故选A.(3)已知S,A,B,C,是球O表面上的点,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,BC=2,则球O的表面积等于().A.4πB.3πC.2πD.π答案解析由已知,222211(2)2R=++=,244S Rπ∴==球π.(4)在正三棱锥S-ABC中,M,N分别是棱SC,BC的中点,且AM MN⊥,若侧棱SA=S-ABC外接球的表面积是________.答案π36解析 MNAM⊥,MNSB//,∴SBAM⊥, SBAC⊥,∴⊥SB平面SAC ,∴SA SB ⊥,SC SB ⊥, SA SB ⊥,SA BC ⊥,∴⊥SA 平面SBC ,∴SC SA ⊥,故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直,222(2)(2R ∴=+2+36=,即3642=R ,∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36.(5)(2019全国Ⅰ)已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上,PA =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F 分别是PA ,AB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为().A .68πB .64πC .6πD .6π答案D 解析解法一:, PA PB PC ABC == △为边长为2的等边三角形,P ABC ∴-为正三棱锥,PB AC ∴⊥,又E ,F 分别为PA ,AB 的中点,EF PB ∴∥,EF AC ∴⊥,又EF CE ⊥,,CE AC C EF =∴⊥ 平面PAC ,∴PB ⊥平面PAC ,APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===P ABC ∴-为正方体的一部分,2R =,即344π2338R V R π=∴==⨯=,故选D .解法二:设2PA PB PC x ===,, E F 分别为, PA AB 的中点,EF PB ∴∥,且12EF PB x ==,ABC △为边长为2的等边三角形,CF ∴=,又90CEF ∠=︒,1 2CE AE PA x ∴===,AEC △中,由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯作PD AC ⊥于D ,PA PC = ,D ∴为AC 的中点,cos E ∠12AD AC PA x==,2243142x x x x +-+∴=,221212 2x x x ∴+=∴==,,PA PB PC ∴===,又2AB BC AC ===,, , PA PB PC ∴两两垂直,2R ∴==,R ∴=,34433V R ππ∴==⨯8=,故选D .(6)已知二面角α-l -β的大小为π3,点P ∈α,点P 在β内的正投影为点A ,过点A 作AB ⊥l ,垂足为点B ,点C ∈l ,BC =22,PA =23,点D ∈β,且四边形ABCD 满足∠BCD +∠DAB =π.若四面体PACD 的四个顶点都在同一球面上,则该球的体积为________.答案86π解析∵∠BCD +∠DAB =π,∴A ,B ,C ,D 四点共圆,直径为AC ,∵PA ⊥平面β,AB ⊥l ,∴易得PB ⊥l ,即∠PBA 为二面角α-l -β的平面角,即∠PBA =π3,∵PA =23,∴BA =2,∵BC =22,∴AC=23.设球的半径为R ,则23-R 2-(3)2=R 2-(3)2,∴R =6,V =4π3(6)3=86π.模型二对棱相等模型【方法总结】对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型,用构造法(构造长方体)解决.外接球的直径等于长方体的体对角线长,即2R =(长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ).秒杀公式:R 2=x 2+y 2+z 28(三棱锥的三组对棱长分别为x 、y 、z ).可求出球的半径从而解决问题.【例题选讲】[例](1)正四面体的各条棱长都为,则该正面体外接球的体积为________.答案解析这是特殊情况,但也是对棱相等的模式,放入长方体中,32=R ,23=R ,ππ2383334=⋅=V .(2)在三棱锥A -BCD 中,AB =CD =2,AD =BC =3,AC =BD =4,则三棱锥BCD A -外接球的表面积为__.答案292π解析构造长方体,三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别为c b a ,,,则922=+b a ,422=+c b ,1622=+a c ∴291649)(2222=++=++c b a ,291649)(2222=++=++c b a ,229222=++c b a ,22942=R ,π229=S .(3)在三棱锥A -BCD 中,AB =CD =6,AC =BD =AD =BC =5,则该三棱锥的外接球的体积为____.答案6解析依题意得,该三棱锥的三组对棱分别相等,因此可将该三棱锥补形成一个长方体,设该长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ,且其外接球的半径为R ,2+b 2=62,2+c 2=52,2+a 2=52,得a 2+b 2+c 2=43,即(2R )2=a 2+b 2+c 2=43,易知2R =,即为该三棱锥的外接球的半径,所以该三棱锥的外接球的表面积为3436R π=.(4)在正四面体A BCD -中,E 是棱AD 的中点,P 是棱AC 上一动点,BP PE +,则该正四面体的外接球的体积是()A B .6πC D .32π答案A解析将侧面ABC ∆和ACD ∆展成平面图形,如图所示:设正四面体的棱长为a ,则BP PE +的最小值为2BE ==,2a ∴=.在正四面体A BCD -的边长为2,外接球的半径42R ==,外接球的体积343V R π==.(5)已知三棱锥A BCD -,三组对棱两两相等,且1AB CD ==,AD BC ==,若三棱锥A BCD -的外接球表面积为92π.则AC =________.答案解析将四面体A BCD -放置于长方体中, 四面体A BCD -的顶点为长方体八个顶点中的四个,∴长方体的外接球就是四面体A BCD -的外接球,1AB CD == ,AD BC ==,且三组对棱两两相等,∴设AC BD x ==,得长方体的对角线长为=,可得外接球的直径2R =以R =, 三棱锥A BCD -的外接球表面积为92π,2942R ππ∴=,解得4R =,324=,解之得x =AC BD ==模型三汉堡模型【方法总结】汉堡模型是直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型,用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点.一般情况下只作出一个面的垂线,然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题.有时也作出两条垂线,交点即为球心.)解决.以直三棱柱为例,模型如下图,由对称性可知球心O 的位置是△ABC 的外心O 1与△A 1B 1C 1的外心O 2连线的中点,算出小圆O 1的半径AO 1=r ,OO 1=2h ,2224h R r ∴=+.【例题选讲】[例](1)(2013辽宁)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上.若AB =3,AC =4,AB ⊥AC ,AA 1=12,则球O 的半径为().A .3172B .210C .132D .310答案C 解析如图所示,由球心作平面ABC 的垂线,则垂足为BC 的中点M .又AM =12BC =52,OM =12AA 1=6,所以球O 的半径R =OA =522+62=132.另解过C 点作AB 的平行线,过B 点作AC 的平行线,交点为D ,同理过C 1作A 1B 1的平行线,过B 1作A 1C 1的平行线,交点为D 1,连接DD 1,则ABCD -A 1B 1C 1D 1恰好成为球的一个内接长方体,故球的半径r 132=.故选C .(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为().A .2a πB .273a πC .2113a πD .237a π答案B 解析222222274312a a R OB OE BE a ==+=+=,22743S a a ππ∴==.故选B .(3)(2009全国Ⅰ)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上,若AB =AC =AA 1=2,∠BAC =120°,则此球的表面积等于().A .10πB .20πC .30πD .40π答案B解析如图,先由余弦定理求出BC =23,再由正弦定理求出r =AO 1=2,外接球的直径R =12+22=5,所以该球的表面积为4πR 2=20π.故选B .(4)已知圆柱的高为2,底面半径为3,若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的表面积等于()A .4πB .16π3C .32π3D .16π答案D解析由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心,于是,球的半径r =OB =OA 2+AB 2=12+(3)2=2.故这个球的表面积S =4πr 2=16π.故选D .(5)若一个圆柱的表面积为12π,则该圆柱的外接球的表面积的最小值为()A .12)π-B .C .3)πD .16π答案A解析设圆柱的底面半径为r ,高为h ,则22212r rh πππ+=,则6h r r=-.设该圆柱的外接球的半径为R ,则22222221659()()333244h R r r r r r r =+=+-=+--=- ,当且仅当22594r r =,即4365r =时,等号成立.故该圆柱的外接球的表面积的最小值为43)12)ππ-=.模型四垂面模型【方法总结】垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型,可补为直棱柱内接于球,由对称性可知球心O 的位置是△CBD的外心O 1与△AB 2D 2的外心O 2连线的中点,算出小圆O 1的半径AO 1=r ,OO 1=2h ,2224h R r ∴=+.【例题选讲】[例](1)已知在三棱锥S -ABC 中,SA ⊥平面ABC ,且∠ACB =30°,AC =2AB =23,SA =1.则该三棱锥的外接球的体积为()A .13813πB .13πC .136πD .13136π答案D解析∵∠ACB =30°,AC =2AB =23,∴△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形,其外接圆半径r =AC2=3,则三棱锥外接球即为以△ABC 为底面,以SA 为高的三棱柱的外接球,∴三棱锥外接球的半径R 满足R =132,故三棱锥外接球的体积V =43πR 3=13136π.故选D .第(1)小题图第(2)小题图1第(2)小题图2(2)三棱锥P -ABC 中,平面PAC ⊥平面ABC ,AB ⊥AC ,PA =PC =AC =2,AB =4,则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为()A .23πB .234πC .64πD .643π答案D解析如图1,设O 为三棱锥外接球的球心,O 1为正△PAC 的中心,则OO 1=12AB =2.2AO 1=2sinπ3=433,AO 1=233,R 2=OA 2=O 1A 2+O 1O 2=43+4=163,故几何体外接球的表面积S =4πR 2=643.另解:如图2,设O ′为正△PAC 的中心,D 为Rt △ABC 斜边的中点,H 为AC 中点.由平面PAC ⊥平面ABC ,则O ′H ⊥平面ABC .作O ′O ∥HD ,OD ∥O ′H ,则交点O 为三棱锥外接球的球心,连接OP ,又O ′P =23=23×32×2=233,OO ′=DH =12AB =2.∴R 2=OP 2=O ′P 2+O ′O 2=43+4=163.故几何体外接球的表面积S =4πR 2=643π.(3)在三棱锥S -ABC 中,侧棱SA ⊥底面ABC ,AB =5,BC =8,∠ABC =60°,SA =25,则该三棱锥的外接球的表面积为()A .643πB .256πC .4363πD .2048327π答案B解析由题意知,AB =5,BC =8,∠ABC =60°,则在△ABC 中,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2×AB ×BC ×cos ∠ABC ,解得AC =7,设△ABC 的外接圆半径为r ,则△ABC 的外接圆直径2r =ACsin ∠ABC =732,∴r =73,又∵侧棱SA ⊥底面ABC ,∴三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离h =12SA =5,则外接球的半径R =732+(5)2=643,则该三棱锥的外接球的表面积为S =4πR 2=2563π.(4)在三棱锥P -ABC 中,已知PA ⊥底面ABC ,∠BAC =120˚,PA =AB =AC =2,若该三棱锥的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为()A .103πB .18πC .20πD .93π答案C解析如图1,先由余弦定理求出BC =23,再由正弦定理求出r =AO 1=2,外接球的直径R =12+22=5,所以该球的表面积为4πR 2=20π.第(3)小题图第(4)小题图1第(4)小题图2另解如图2,该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥P -ABC ,PA =AB =AC =2,所以该三棱锥的外接球即该六棱柱的外接球,所以外接球的直径2R =42+22=25⇒R =5,所以该球的表面积为4πR 2=20π.(5)在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ,120BAC ∠=︒,2AC =,1AB =,设D 为BC 中点,且直线PD与平面ABC 所成角的余弦值为5,则该三棱锥外接球的表面积为________.答案373π解析在ABC ∆中,120BAC ∠=︒,2AC =,1AB =,由余弦定理得:22BC AC =+22cos AB AC BC BAC -⋅⋅∠,即22221221cos1207BC =+-⨯⨯⨯︒=,解得:BC =.设ABC ∆的外接圆半径为r ,由正弦定理得2sin BC r BAC ===∠解得:r ==;且222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠==,又D 为BC 中点,在ABD ∆中,122BD BC ==,1AB =,cos 7ABD ∠=.由余弦定理得:2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-∠ ,即:22231()212274AD =+-⨯⨯=,解得2AD =.又因为PA ⊥平面ABC ,所以PDA ∠为直线PD 与平面ABC 所成角,由cos 5PDA ∠=,得sin 5PDA ∠=,tan 2PDA ∠=,所以在Rt PAD ∆中,tan 22PA AD PDA =∠== .设三棱锥P ABC -的外接球半径为R ,所以R =,三棱锥P ABC -外接球表面积为23743S R ππ==.模型五切瓜模型【方法总结】切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥型,常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC ⊥平面BCD ,如类型Ⅰ,△ABC 与△BCD 都是直角三角形,类型Ⅱ,△ABC 是等边三角形,△BCD 是直角三角形,类型Ⅲ,△ABC 与△BCD 都是等边三角形,解决方法是分别过△ABC 与△BCD 的外心作该三角形所在平面的垂线,交点O 即为球心.类型Ⅳ,△ABC 与△BCD 都一般三角形,解决方法是过△BCD 的外心O 1作该三角形所在平面的垂线,用代数方法即可解决问题.设三棱锥A -BCD 的高为h ,外接球的半径为R ,球心为O .△BCD 的外心为O 1,O 1到BD 的距离为d ,O 与O 1的距离为m 2=r 2+m 2,2=d 2+(h -m )2,解得R .可用秒杀公式:R 2=r 12+r 22-l 24(其中r 1、r 2为两个面的外接圆的半径,l 为两个面的交线的长)【例题选讲】[例](1)已知在三棱锥P -ABC 中,V P ABC =433,∠APC =π4,∠BPC =π3,PA ⊥AC ,PB ⊥BC ,且平面PAC ⊥平面PBC ,那么三棱锥P -ABC 外接球的体积为________.答案32π3解析如图,取PC 的中点O ,连接AO ,BO ,设PC =2R ,则OA =OB=OC =OP =R ,∴O 是三棱锥P -ABC 外接球的球心,易知,PB =R ,BC =3R ,∵∠APC =π4,PA ⊥AC ,O 为PC 的中点,∴AO ⊥PC ,又平面PAC ⊥平面PBC ,且平面PAC ∩平面PBC =PC ,∴AO ⊥平面PBC ,∴V P ABC =V A PBC =13×12×PB ×BC ×AO =13×12×R ×3R ×R=433,解得R =2,∴三棱锥P -ABC 外接球的体积V =43πR 3=32π3.(2)如图,已知平面四边形ABCD 满足AB =AD =2,∠A =60˚,∠C =90˚,将△ABD 沿对角线BD 翻折,使平面ABD ⊥平面CBD ,则四面体ABCD 外接球的体积为__.答案323π27解析在四面体ABCD 中,∵AB =AD =2,∠BAD =60˚,∴△ABD为正三角形,设BD 的中点为M ,连接AM ,则AM ⊥BD ,又平面ABD ⊥平面CBD ,平面ABD ∩平面CBD =BD ,∴AM ⊥平面CBD .∵△CBD 为直角三角形,∴其外接圆的圆心是斜边BD 的中点M ,由球的性质知,四面体ABCD 外接球的球心必在线段AM 上,又△ABD 为正三角形,∴球心是△ABD 的中心,则外接球的半径为23×2×32=233,∴四面体ABCD 外接球的体积为43×π×(233)3=323π27.(3)已知三棱锥A -BCD 中,△ABD 与△BCD 是边长为2的等边三角形且二面角A -BD -C 为直二面角,则三棱锥A -BCD 的外接球的表面积为()A .10π3B .5πC .6πD .20π3答案D解析如图,取BD 中点M ,连接AM ,CM ,取△ABD ,△CBD 的中心即AM ,CM 的三等分点P ,Q ,过P 作平面ABD 的垂线,过Q 作平面CBD 的垂线,两垂线相交于点O ,则点O 为外接球的球心,如图,其中OQ =33,CQ =233,连接OC ,则外接球的半径R =OC =153,表面积为4πR 2=20π3,故选D .(4)已知ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形,P 为平面ABC 外一点,且平面PBC ⊥平面ABC ,3BC =,PB =PC =,则三棱锥P ABC -外接球的表面积为________.答案10π解析由题意知BC 的中点O 为ABC ∆外接圆的圆心,且平面PBC ⊥平面ABC ,过O 作面ABC 的垂线l ,则垂线l 一定在面ABC 内.根据球的性质,球心一定在垂线l 上, 球心1O 一定在平面PBC 内,且球心1O 也是PBC ∆外接圆的圆心.在PBC ∆中,由余弦定理得222cos 22PB BC PC PBC PB BC +-∠==,sin 2PBC ∴∠=,由正弦定理得:2sin PCR PBC=∠,解得2R =,∴三棱锥的外接球的表面积2410R ππ==.(5)已知等腰直角三角形ABC 中,AB =AC =2,D ,E 分别为AB ,AC 的中点,沿DE 将△ABC 折成直二面角(如图),则四棱锥A -DECB 的外接球的表面积为________.答案10π解析取DE 的中点M ,BC 的中点N ,连接MN (图略),由题意知,MN ⊥平面ADE ,因为△ADE是等腰直角三角形,所以△ADE 的外接圆的圆心是点M ,四棱锥A -DECB 的外接球的球心在直线MN 上,又等腰梯形DECB 的外接圆的圆心在MN 上,所以四棱锥A -DECB 的外接球的球心就是等腰梯形DECB 的外接圆的圆心.连接BE ,易知△BEC 是钝角三角形,所以等腰梯形DECB 的外接圆的圆心在等腰梯形DECB 的外部.设四棱锥A -DECB 的外接球的半径为R ,球心到BC 的距离为d 2=d 2+(2)2,2=(d +222+(22)2,解得R 2=52,故四棱锥A -DECB 的外接球的表面积S =4πR 2=10π.模型六斗笠模型【方法总结】圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥.秒杀公式:R =h 2+r 22h(其中h 为几何体的高,r 为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心)【例题选讲】[例](1)一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60︒,若该圆锥的侧面积为,则该圆锥外接球的表面积为________.答案272π解析设60ASB BSC CSA ∠=∠=∠=︒,则SA SB SC AB AC BC =====.设AB x =,则底面圆的直径为2sin 60x r ==︒,该圆锥的侧面积为12x π=,解得3x =,高OS =.r ∴=.设圆锥外接球的半径为R ,所以222)R r R -+=,解得R =,则外接球的表面积为22742R ππ=.(2)(2020·全国Ⅰ)已知A ,B ,C 为球O 的球面上的三个点,⊙O 1为△ABC 的外接圆.若⊙O 1的面积为4π,AB =BC =AC =OO 1,则球O 的表面积为()A .64πB .48πC .36πD .32π答案A解析设⊙O 1的半径为r ,球的半径为R ,依题意,得πr 2=4π,∴r =2.由正弦定理可得ABsin 60°=2r ,∴AB =2r sin 60°=23.∴OO 1=AB =23.根据球的截面性质,得OO 1⊥平面ABC ,∴OO 1⊥O 1A ,R =OA =OO 21+O 1A 2=OO 21+r2=4,∴球O 的表面积S =4πR 2=64π.故选A .(3)在三棱锥P ABC -中,PA PB =26, 4PC AC AB ====,且AC AB ⊥,则该三棱锥外接球的表面积为________.答案36π解析设顶点P 在底面中的射影为1O ,由于PA PB PC ==,所以111O A O B O C ==,即点1O 是底面ABC ∆的外心,又AC AB ⊥,所以1O 为BC 的中点,因为PA PB = 4PC AC AB ====,所以11 4BC AO PO ===,设外接球的球心为O ,半径为R ,则O 必在1PO 上,=-14O O R ,在∆1Rt O OA中,()(2224R R -+=,解得3R =,所以22436S R ππ==.(4)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A .81π4B .16πC .9πD .27π4答案A解析如图所示,设球半径为R ,底面中心为O ′且球心为O ,∵正四棱锥P ABCD 中AB =2,∴AO ′=2,∵PO ′=4,∴在Rt △AOO ′中,AO 2=AO ′2+OO ′2,∴R 2=(2)2+(4-R )2,解得R =94,∴该球的表面积为4πR 2=4π×942=81π4.(5)如图所示,在正四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是边长为4的正方形,E ,F 分别是AB ,CD 的中点,cos ∠PEF =22,若A ,B ,C ,D ,P 在同一球面上,则此球的体积为________.答案36π解析由题意,得底面ABCD 是边长为4的正方形,cos ∠PEF =22,故高PO 1为2.易知正四棱锥P -ABCD 的外接球的球心在它的高PO 1上,记球心为O ,则AO 1=22,PO =AO =R ,PO 1=2,OO 1=2-R 或OO 1=R -2(此时O 在PO 1的延长线上),在直角△AO 1O 中,R 2=AO 21+OO 21=(22)2+(2-R )2,解得R =3,所以球的体积为V =43πR 3=4π3×33=36π.(6)在三棱锥P ABC -中,2PA PB PC ===,1AB AC ==,3BC =棱锥外接球的体积为()A .43πB .823πC .3πD .323π答案A解析由PA PB PC ===P 作PG ⊥平面ABC ,垂足为G ,则G 为三角形ABC 的外心,在ABC ∆中,由1AB AC ==,BC =,可得120BAC ∠=︒,则由正弦定理可得:2AG =,即1AG =.1PG ∴==.取PA 中点H ,作HO PA ⊥交PG 于O ,则O 为该三棱锥外接球的球心.由PHO PGA ∆∆∽,可得PH PG PO PA =,则211PH PA PO PG === .可知O 与G 重合,即该棱锥外接球半径为1.∴该三棱锥外接球的体积为43π.模型七已知球心或球半径模型【例题选讲】[例](1)(2017·全国Ⅰ)已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ,SA =AC ,SB =BC ,三棱锥S -ABC 的体积为9,则球O 的表面积为________.答案36π解析如图,连接AO ,OB ,∵SC 为球O 的直径,∴点O 为SC 的中点,∵SA =AC ,SB =BC ,∴AO ⊥SC ,BO ⊥SC ,∵平面SCA ⊥平面SCB ,平面SCA ∩平面SCB =SC ,∴AO ⊥平面SCB ,设球O 的半径为R ,则OA =OB =R ,SC =2R .∴V S ABC =V A SBC =13×S △SBC ×AO =13×SC ×AO ,即9=13×R ×R ,解得R =3,∴球O 的表面积为S =4πR 2=4π×32=36π.(2)已知三棱锥A -BCD 的所有顶点都在球O 的球面上,AB 为球O 的直径,若该三棱锥的体积为3,BC =3,BD =3,∠CBD =90˚,则球O 的体积为________.答案32π3解析设A 到平面BCD 的距离为h ,∵三棱锥的体积为3,BC =3,BD =3,∠CBD =90˚,∴13×12×3×3×h =3,∴h =2,∴球心O 到平面BCD 的距离为1.设CD 的中点为E ,连接OE ,则由球的截面性质可得OE ⊥平面CBD ,∵△BCD 外接圆的直径CD =23,∴球O 的半径OD =2,∴球O 的体积为32π3.(3)(2012全国Ⅰ)已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,△ABC 是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且SC =2,则此棱锥的体积为()A .26B .36C .23D .22答案A解析由于三棱锥S -ABC 与三棱锥O -ABC 底面都是△ABC ,O 是SC 的中点,因此三棱锥S -ABC 的高是三棱锥O -ABC 高的2倍,所以三棱锥S -ABC 的体积也是三棱锥O -ABC 体积的2倍.在三棱锥O -ABC 中,其棱长都是1,如图所示,S △ABC =34×AB 2=34,高OD =12-332=63,∴V S -ABC =2V O -ABC =2×13×34×63=26.故选A .(4)(2020·新高考全国Ⅰ)已知直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长均为2,∠BAD =60°.以D 1为球心,5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________.答案2π2解析如图,设B 1C1的中点为E ,球面与棱BB 1,CC 1的交点分别为P ,Q ,连接DB ,D 1B 1,D 1P ,D 1E ,EP ,EQ ,由∠BAD =60°,AB =AD ,知△ABD 为等边三角形,∴D 1B 1=DB =2,∴△D 1B 1C 1为等边三角形,则D 1E =3且D 1E ⊥平面BCC 1B 1,∴E 为球面截侧面BCC 1B 1所得截面圆的圆心,设截面圆的半径为r ,则r =R 2球-D 1E 2=5-3=2.又由题意可得EP =EQ =2,∴球面与侧面BCC 1B 1的交线为以E 为圆心的圆弧PQ .又D 1P =5,∴B 1P =D 1P 2-D 1B 21=1,同理C 1Q =1,∴P ,Q 分别为BB 1,CC 1的中点,∴∠PEQ =π2,知 PQ的长为π2×2=2π2,即交线长为2π2.(5)三棱锥S -ABC 的底面各棱长均为3,其外接球半径为2,则三棱锥S -ABC 的体积最大时,点S 到平面ABC 的距离为()A .2+3B .2-3C .3D .2答案C 解析如图,设三棱锥S -ABC 底面三角形ABC 的外心为G ,三棱锥外接球的球心为O ,要使三棱锥S -ABC 的体积最大,则O 在SG 上,由底面三角形的边长为3,可得AG =32sin60°=3.连接OA ,在Rt △OGA 中,由勾股定理求得OG =OA 2-GA 2=22-(3)2=1.∴点S 到平面ABC 的距离为OS +OG =2+1=3.故选C .模型八最值模型【方法总结】最值问题的解法有两种方法:一种是几何法,即在运动变化过程中得到最值,从而转化为定值问题求解.另一种是代数方法,即建立目标函数,从而求目标函数的最值.【例题选讲】[例](1)已知三棱锥P -ABC 的顶点P ,A ,B ,C 在球O 的球面上,△ABC 是边长为3的等边三角形,如果球O 的表面积为36π,那么P 到平面ABC 距离的最大值为________.答案3+22解析依题意,边长是3的等边△ABC 的外接圆半径r =12·3sin 60°=1.∵球O 的表面积为36π=4πR 2,∴球O 的半径R =3,∴球心O 到平面ABC 的距离d =R 2-r 2=22,∴球面上的点P 到平面ABC 距离的最大值为R +d =3+22.(2)在四面体ABCD 中,AB =1,BC =CD =3,AC =2,当四面体ABCD 的体积最大时,其外接球的表面积为()A .2πB .3πC .6πD .8π答案C 解析∵AB =1,BC =3,AC =2,由勾股定理可得AB 2+AC 2=BC 2,所以△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形,且该三角形的外接圆直径为BC =3,当CD ⊥平面ABC 时,四面体ABCD 的体积取最大值,此时,其外接球的直径为2R =BC 2+CD 2=6,因此,四面体ABCD 的外接球的表面积为4πR 2=π×(2R )2=6π.故选C .(3)已知四棱锥S -ABCD 的所有顶点在同一球面上,底面ABCD 是正方形且球心O 在此平面内,当四棱锥的体积取得最大值时,其表面积等于16+163,则球O 的体积等于()A .42π3B .162π3C .322π3D .642π3答案D解析由题意得,当四棱锥的体积取得最大值时,该四棱锥为正四棱锥.因为该四棱锥的表面积等于16+163,设球O 的半径为R ,则AC =2R ,SO =R ,如图,所以该四棱锥的底面边长AB =2R ,则有(2R )2+4×12×2R ×16+163,解得R =22,所以球O 的体积是43πR 3=6423π.故选D .(4)三棱锥A -BCD 内接于半径为5的球O 中,AB =CD =4,则三棱锥A -BCD 的体积的最大值为()A .43B .83C .163D .323答案C解析如图,过CD 作平面ECD ,使AB ⊥平面ECD ,交AB 于点E ,设点E 到CD 的距离为EF ,当球心在EF 上时,EF 最大,此时E ,F 分别为AB ,CD 的中点,且球心O 为EF 的中点,所以EF =2,所以V max =13×12×4×2×4=163,故选C .(5)已知正四棱柱的顶点在同一个球面上,且球的表面积为12π,当正四棱柱的体积最大时,正四棱柱的高为_.答案8解析设正四棱柱的底面边长为a ,高为h ,球的半径为r ,由题意知4πr 2=12π,所以r 2=3,又2a 2+h 2=(2r )2=12,所以a 2=6-h 22,所以正四棱柱的体积V =a 2h ,则V ′=6-32h 2,由V ′>0,得0<h <2,由V ′<0,得h >2,所以当h =2时,正四棱柱的体积最大,V max =8.模型九内切球模型【方法总结】以三棱锥P -ABC 为例,求其内切球的半径.方法:等体积法,三棱锥P -ABC 体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和;第一步:先求出四个表面的面积和整个锥体体积;第二步:设内切球的半径为r ,球心为O ,建立等式:V P -ABC =V O -ABC +V O -P AB +V O -P AC +V O -PBC ⇒V P -ABC =13S △ABC ·r +13S △P AB ·r +13S △P AC ·r +13S △r =13S △ABC +S △P AB +S △P AC +S △PBC )·r ;第三步:解出r =3V P -ABC S O -ABC +S O -P AB +S O -P AC +S O -PBC =3VS 表.秒杀公式(万能公式):r =3VS 表【例题选讲】[例](1)已知一个三棱锥的所有棱长均为2,则该三棱锥的内切球的体积为________.答案354π解析由题意可知,该三棱锥为正四面体,如图所示.AE =AB ·sin 60°=62,AO =23AE =63,DO =AD 2-AO 2=233,三棱锥的体积V D ABC =13S △ABC ·DO =13,设内切球的半径为r ,则V D ABC =13r (S △ABC +S △ABD +S △BCD +S △ACD )=13,r =36,V 内切球=43πr 3=354π.(2)(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为________.答案23π解析圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球,设其半径为r .作出圆锥的轴截面PAB ,如图所示,则△PAB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆.在△PAB 中,PA =PB =3,D 为AB 的中点,AB =2,E 为切点,则PD =22,△PEO ∽△PDB ,故PO PB =OEDB ,即22-r 3=r 1,解得r =22,故内切球的体积为43π223=23π.(3)阿基米德(公元前287年~公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家,他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说,他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二,并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论.要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球,如图,该球顶天立地,四周碰边.若表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径,则该球的体积为()A .4πB .16πC .36πD .64π3答案C解析设该圆柱的底面半径为R ,则圆柱的高为2R ,则圆柱的表面积S =S 底+S 侧=2×πR 2+2·π·R ·2R =54π,解得R 2=9,即R =3.∴圆柱的体积为V =πR 2×2R =54π,∴该圆柱的内切球的体积为23×54π=36π.故选C .(4)已知三棱锥P -ABC 的三条侧棱PA ,PB ,PC 两两互相垂直,且PA =PB =PC =2,则三棱锥P -ABC 的外接球与内切球的半径比为________.答案33+32解析以PA ,PB ,PC 为过同一顶点的三条棱,作长方体,由PA =PB =PC =2,可知此长方体即为正方体.设外接球的半径为R ,则R =4+4+42=3,设内切球的半径为r ,则内切球的球心到四个面的距离均为r ,由13(S △ACP +S △APB+S △PCB +S △ABC )·r =13·S △PCB ·AP ,解得r =23+3,所以Rr =323+3=33+32.(5)正四面体的外接球和内切球上各有一个动点P 、Q ,若线段PQ ,则这个四面体的棱长为________.答案4解析设这个四面体的棱长为a ,则它的外接球与内切球的球心重合,且半径R =外,r =内,依题意得4123a a +=,4a ∴=.。
几何体的外接球与内切球的有关问题

几何体的外接球与内切球的有关问题一、外接球的问题简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点,此类问题实质是计算球的半径或确定球心O 的位置问题,其中球心的确定是关键.(一) 由球的定义确定球心球的定义:在空间中,如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心.由上述性质,可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论.结论1:正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点.结论2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.结论3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点,由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径.(在1BOO Rt ∆中,21212OO BO BO +=,即.)结论4:正棱锥的外接球的球心在其高上,具体位置可通过构造直角三角形利用勾股定理求得. (以正三棱锥为例:设正三棱锥的底面△ABC 的边长为a ,高为h ,外接球球心为O ,半径为R .在1AOO Rt ∆中,21212OO AO AO +=,即222)(33R h a R -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.) 结论5:若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心,则公共斜边的一半就是其外接球的半径.(二)构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处.1.可构造正方体的类型:①正四面体:棱长对应正方体的面对角线.①②③②三条侧棱两两垂直的正三棱锥:底面棱长对应正方体的面对角线,侧棱对应正方体的棱长.③四个面都是是直角三角形的三棱锥:最长的棱长对应正方体的体对角线.2.可构造长方体和正方体的类型①同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体;②三个侧面两两垂直的三棱锥;③有三个面是直角三角形的三棱锥;①与②与③④④相对的棱相等的三棱锥:设对应长方体的长、宽、高分别为a、b、c,则BC2=a2+b2,AC2=a2+c2,AB2=b2+c2. 所以对应长方体的体对角线为.⑤含有其它线面垂直关系的棱锥.(三)由性质确定球心利用球心O与截面圆圆心O’的连线垂直于截面圆,确定球心.记球的半径为R,截面圆的半径为r,球心O与截面圆圆心O’的距离为d,则有R2=r2+d 2.(四)圆柱外接球模型计算球的半径一个底面半径为r,高为h的圆柱,求它的外接球半径.(1)(2)(3)变形一:如果我们对圆柱上下底面对应位置处,取相同数量的点,比如都取三个点,如图(1)所示.我们可以得到(直)三棱柱,它的外接球其实就是这个圆柱的外接球,所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型. 在这里棱柱的高就是公式中的h,而棱柱底面△ABC外接圆的半径则是公式中的r.变形二:如果把三棱柱上面的C1去掉,如图(2)所示,我们得到有一个侧面⊥矩形底面的四棱锥,其中r为垂直底面的侧面△ABC的外接圆半径,h为垂直于那个侧面的底面边长AA1.变形三:如果把上面的那个三棱柱上面的B1,C1两点去掉,如图(3)所示,我们得到一根侧棱⊥底面的三棱锥,其中r为底面△ABC外接圆半径,h为垂直于底面的那条侧棱AA1.二、内切球问题若一个多面体的各面都与一个球的球面相切,则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球.结论1:内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.结论2:正多面体的内切球和外接球的球心重合.结论3:正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不重合.结论4:基本方法:构造三角形利用相似比和勾股定理.结论5:体积分割是求内切球半径的通用做法.(一)正方体的的内切球设正方体的棱长为a,求(1)内切球半径;(2)与棱相切的球半径.(1)内切球:截面图为正方形的内切圆,得.(2)棱切球:切点为正方体各棱的中点,截面图为为正方形的外接圆,得.(二)棱锥的内切球(分割法)将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线,将棱锥分割成以原棱锥的面为底面,内切球的半径为高的小棱锥,根据分割前后的体积相等,列出关于半径的方程.设三棱锥的棱长为a ,内切球半径为r.V V V V V PAB O PBC O PAC O ABC O ABC P -----+++=r S r S r S r S PAB PBC PAC ABC 31313131+++= r S S S S PAB PBC PAC ABC )(31+++=所以一般地,记棱锥的体积为V ,表面积为S ,则内切球的半径为.(三)圆柱、圆锥的内切球(截面法)(1)圆柱的内切球:圆柱的轴截面为正方形,记圆柱的底面圆的半径r ,内切球的半径R ,则R =r .(2)圆锥的内切球:圆锥的轴截面为三角形的内切圆,记圆锥的底面圆的半径r ,内切球的半径R ,由于在△ABC 中,所以.备注:1.三角形内切圆的半径S S S S AOB AOC BOC ABC ∆∆∆∆++=r c b a cr br ar )(21212121++=++=所以三角形内切圆的半径为,其中S 为△ABC 的面积,C 为△ABC 的周长.2. 三角形外接圆的半径利用正弦定理,.①正三角形:,其中a 为正三角形的边长.②直角三角形:,其中c 为直角三角形的斜边.3. 正三角形的内切圆与外接圆的半径之比正三角形的内切圆与外接圆的两个圆心“二心合一”.设正三角形的边长为a ,内切圆半径为r ,外接圆半径为R.由于,a a a a a a C S r 6360sin 2122=++︒⋅⋅⋅⨯==, 所以,即圆心O 为正三角形高h 的三等分点.4. 正四面体的内切球与外接球的半径之比正四面体的内切球与外接球的两个球心“二心合一”.设正四面体A -BCD 的棱长为a ,内切球半径为r ,外接球半径为R ,则OA=OB=R ,OE=r.∵底面△BCD 为正三角形,∴BE=在BEO Rt ∆中,,即,得∴,即球心O 为正四面体高h 的四等分点.5.正三棱柱的内切球与外接球的半径之比正三棱柱的内切球与外接球的球心是重合的,过侧棱和它们的球心O 作截面如下图所示:设正三棱柱底面边长为. 由于内切球投影到底面的圆是底面正三角形的内切圆,所以,从而正三棱柱的高为.在O D A Rt 11∆中,得, 因此1:5:21=R R .。
高中数学立体几何之外接球与内切球问题常见模型归纳(完整版)

外接球问题江西省永丰中学陈保进若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球。
若一个定点到一个多面体的所有顶点的距离都相等,则这个定点就是该多面体外接球的球心。
以下为常见模型。
1、长方体模型结论:长方体的外接球的球心为其体对角线的中点,直径为体对角线。
公式:2222c b a R ++=(a ,b ,c 为长宽高)补充:以下情况可转化成长方体模型。
①若三棱锥的三条棱PA ,PB ,PC 两两互相垂直(墙角模型),则可在长方体中构造。
2222PC PB P A R ++=②正四面体P -ABC 可在正方体中构造,正方体棱长2=PA a ③若三棱锥的三组对棱两两相等,则可在长方体中构造。
设AC =BP =m ,AP =BC =n ,AB=PC =t ,则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222t c b n c a m b a ,三式相加,222222)(2t n m c b a ++=++2)2(2222222t n m c b a R ++=++=abc2、直三棱柱模型结论:直三棱柱外接球的球心是上、下底面外心连线的中点,222()2hR r =+r 为底面三角形外接圆的半径,可用正弦定理求,h 为直三棱柱的高。
补充:有一条侧棱垂直底面的三棱锥可补成直三棱柱,如图P -ABC 中,PA ⊥平面ABC ,则可补成直三棱柱PB 1C 1-ABC ,外接球半径公式同上。
提醒:底面具有外接圆的直棱柱才有外接球,比如正棱柱,且球心在上、下底面外心连线的中点,底面无外接圆的直棱柱,以及所有斜棱柱均无外接球。
3、共斜边模型四面体D-ABC 中,DC AD ⊥,BC AB ⊥,AC 为公共的斜边,O 为AC 的中点,则O 为四面体D-ABC 外接球的球心。
4、正棱锥模型外接球的球心在正棱锥的高所在直线上,如图正三棱锥A-BCD 中,作AO 1⊥平面BCD ,则易得BO 1=CO 1=DO 1,所以O 1为△BCD 的外心,设O 为其外接球球心,半径为R ,则BO =AO =R ,设AO 1=h ,BO 1=r ,则由BO 2=BO 12+OO 12,得R 2=r 2+(h-R )2。
几何体的外接球与内切球

几何体的外接球与内切球1、内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不重合。
4、体积分割是求内切球半径的通用做法。
一、外接球〔一〕多面体几何性质法1、各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,那么这个球的外表积是A.16πB.20πC.24πD.32π小结此题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径〞这一性质来求解的.2、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,那么此球的外表积为。
〔二〕补形法1接球的外表积是 .第 1 页第 2 页2、设,,,P A B C 是球O 面上的四点,且,,PA PB PC 两两互相垂直,假设PA PB PC a ===,那么球心O 到截面ABC 的距离是 .小结 一般地,假设一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为a b c 、、R,那么有2R =3、三棱锥O ABC -中,,,OA OB OC 两两垂直,且22OA OB OC a ===,那么三棱锥O ABC -外接球的外表积为〔 〕A .26a πB .29a πC .212a πD .224a π 4、三棱锥ABC P -的四个顶点均在同一球面上,其中ABC ∆是正三角形 ⊥PA 平面62,==AB PA ABC 那么该球的体积为〔 〕 A. π316 B. π332 C. π48 D. π364 答案及解析: 10.B点评:此题考察球的内接体与球的关系,考察空间想象能力,利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键. 5、如图的几何体是长方体 1111ABCD A B C D -的一局部,其中 113,2AB AD DD BB cm ====那么该几何体的外接球的外表积为 (A 211cm π (B) 222cm π2( D)2cm第 3 页答案及解析:12.【知识点】几何体的构造. G1B 解析:该几何体的外接球即长方体1111ABCD A BCD -的外接球,而假设长方体 1111ABCD A B C D -的外接球半径为R ,那么长方体1111ABCD A B C D -的体对角线为2R ,所以2222211(2)332222R R =++=⇒=,所以该几何体的外接球的外表积222cm π,应选 B.【思路点拨】分析该几何体的外接球与长方体1111ABCD A B C D -的外接球的关系,进而得结论.6、一个几何体的三视图如下图,其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,那么该几何体的外接球的外表积是〔 〕 A . 12π B . 4πC . 3πD .12π答案及解析: 14.考点:由三视图求面积、体积.分析:三视图复原几何体是四棱锥,扩展为正方体,它的体对角线,就是球的直径,求出半径,解出球的外表积.第 4 页解答: 解:由三视图知该几何体为四棱锥,记作S ﹣ABCD , 其中SA⊥面ABCD .面ABCD 为正方形,将此四棱锥复原为正方体,易知正方体的体对角线即为外接球直径,所以2r=.∴S 球=4πr 2=4π×=3π. 答案:C点评:此题考察三视图求外表积,几何体的外接球问题,是根底题. 〔三〕寻求轴截面圆半径法1、正四棱锥S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2S A B C D 、、、、都在同一球面上,那么此球的体积为 .小结 根据题意,我们可以选择最正确角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆,于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.此题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法,该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆,从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.2、求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的外表积CDABSO 1图33、三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=2且AA1⊥平面ABC,△ABC 是边长为的正三角形,该三棱柱的六个顶点都在一个球面上,那么这个球的体积为〔〕A.8πB.C.D.8π答案及解析:7.C考点:球的体积和外表积.专题:计算题;空间位置关系与距离.分析:根据题意,正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心,求出球的半径即可求出球的体积.解答:解:由题意可知:正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心,因为△ABC 是边长为的正三角形,所以底面中心到顶点的距离为:1;因为AA1=2且AA1⊥平面ABC,所以外接球的半径为:r==.所以外接球的体积为:V=πr3=π×〔〕3=.应选:C.第 5 页第 6 页点评:此题给出正三棱柱有一个外接球,在底面边长的情况下求球的体积.着重考察了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识,属于中档题. 8.4、三棱锥A BCD -中,2AB AC BD CD ====,2BC AD =,直线AD 与底面BCD 所成角为3π,那么此时三棱锥外接球的体积为 A. 8πB. 3C. 3D.3答案及解析: 11.D〔四〕球心定位法1、在矩形ABCD 中,4,3AB BC ==,沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,那么四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 2、如下图是一个几何体的三视图,那么这个几何体外接球的外表积为A. 8πB. 16πC. 32πD.AO DB图464π3、三棱锥P ABC∆是边长为2的正三角形,PA⊥底-中,底面ABC面ABC,且2PA=,那么此三棱锥外接球的半径为〔〕21A.2 B .5C.2 D.34、如图,在三棱锥A﹣BCD中,△ACD与△BCD是全等的等腰三角形,且平面ACD⊥平面BCD,AB=2CD=4,那么该三棱锥的外接球的外表积为.B.答案及解析:C.27.D.考点:球的体积和外表积;球内接多面体.E.专题:空间位置关系与距离.F.分析:取AB,CD中点分别为E,F,连接EF,AF,BF,求出EF,判断三棱锥的外接球球心O在线段EF上,连接OA,OC ,求出半径,然后求解外表积.G.解答:解:取AB,CD中点分别为E,F,连接EF,AF,BF,由题意知AF⊥BF,AF=BF,EF=2,易知三棱锥的外接球球心O在线段EF 上,连接OA,OC,有R2=AE2+OE2,R2=CF2+OF2,求得,所以其外表积为.第 7 页H.故答案为:.I.点评:本小题主要考察球的内接几何体的相关计算问题,对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求,此题是一道综合题,属于较难题.J.28.K.29.5、在三棱锥BCDA-中,底面BCD为边长为2的正三角形,顶点A在底面BCD上的射影为BCD∆的中心,假设E为BC的中点,且直线AE 与底面BCD所成角的正切值为A-外接球的外表积为__________.L.22,那么三棱锥BCDM.答案及解析:N.29.π6二、内切球问题1、一气球〔近似看成球体〕在不变形的前提下放在由长为2的12根木条搭成的正方体中,该气球球外表积最大是__________.2、正三棱锥的高为 1,底面边长为6。
几何体内切球和外接球

O
C
A
1
C
1
P
B
17
(2)(2014·银川模拟)长方体的三个相邻面的面积分别
为2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,则这个
球的表面积为(
A.
7
2
B.56π
)
C.14π
D.64π
(2)选C.设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,则
ab
bc
ac
得
2,
a 2,
专题:与球有关的
内切与外接问题
1
炊 事 员 指 在军 队、企 业、事 业、单 位、集 体各单 位食堂 ,饭店 ,招待 所做饭
烧 菜 的 工 作 人员。 今天美 文网小 编给大 家整理 了2016部 队炊 事班半 年工作 总结,
希 望对大 家有所 帮助。
2016部队 炊事班 半年工 作总结 范文一 :
P E ·A C =P A ·P C ,P E = 3,
即 B F= 3,又 A C = 4,所以
E F= 2,B E = 7,P B = 2 + B2 = 10.
(2)取 A C 的中点 O ,∵O A =O B =O C =O P ,∴O 即为外接
球的球心,球半径 r= 2,S 球= 16π.
8.沿边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 AC 折叠,使折叠后
两部分所在的平面互相垂直,则折叠后形成的空间四边形
ABCD 的内切球的半径为( ).
6
6
2
2
2
2
A . 2- B . - 1 C .1- D .1
【解析】设空间四边形 ABCD 的内切球的半径为 r,则
2024高考数学专项立体几何系统班7、外接球与内切球

第7讲外接球与内切球知识与方法1.外接球与内切球是全国高考常考题型,模型杂、方法多,但归纳起来不外乎两大类处理方法.(1)补形:将几何体补全成长方体、正方体、直棱柱等常见几何体,计算外接球半径.(2)构建平面截球模型:寻找截面圆心以及球心到截面的距离,通过222R r d =+计算外接球半径.2.设球的半径为R ,有5个常用计算公式.(1)正方体外接球半径:R =,其中a 为正方体棱长,如图1.(2)长方体外接球半径:R =a ,b ,c 分别为长方体的长、宽、高,如图2.(3)正四面体外接球半径,4R a =,其中a 为正四面体棱长,如图3.(4)直三棱柱外接球半径:R =,其中r 为底面外接圆半径,h 为直三棱柱的高,如图4.(5)圆柱外接球半径:R =,其中r 为底面圆半径,h 为圆柱的母线长,如图5.提醒:①上面列出了一些简单模型的外接球半径计算公式,需结合图形将其记住,还有一些其他模型可以通过补形的方法转化为上述模型处理;②一些不能通过简单补形求解的模型,如球内接正棱锥,球内接圆锥等,可以通过分析几何关系,转化为平面截球模型计算外接球的半径.题组一1.(★★)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为_______.【解析】设正方体的棱长为a ,则2618a =,故a =3322R a ==,其体积34932V R ππ==.【答案】92π2024高考数学专项立体几何系统班7、外接球与内切球【提炼】正方体棱长a 与其外接球半径R 之间的关系为32R =.2.(★★★)如图,在等腰梯形ABCD 中,22AB DC ==,60DAB ∠=︒,E 为AB 中点,将ADE 与BEC 分别沿ED ,EC 向上折起,使点A ,B 重合于点P ,则三棱锥P DCE -的外接球的体积为()【解析】由题意,可将平面图形等腰梯形ABCD 补全为正三角形FAB ,如图,那么在完成题干所描述的翻折后,还可将CDF △沿着CD 翻折,使得点F 也与点P 重合,显然此时得到的是一个棱长为1的正四面体,即三棱锥P DCE -是棱长为1的正四面体,其外接球半径R =343V R π==.【答案】C【提炼】正四面体的棱长为a ,则其外接球半径为64a ,内切球半径为612a ,证明方法可参考附赠的小册子《高考数学常用二级结论》.3.(★★)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为______.【解析】长方体的外接球半径R =,其中a ,b ,c 分别为长、宽、高,故R =O 的表面积2414S R ππ==.【答案】14π【提炼】设长方体的长、宽、高分别为a ,b ,c ,则其外接球半径2R =4.(★★)已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()A.323π B.4π C.2π D.43π【解析】首先得知道什么是正四棱柱,它指的是底面为正方形、侧棱与底面垂直的四棱柱,也是一种特殊的长方体,高考这种名词都是直接给,必须清楚其结构特征.外接球半径1R ==,故该球的体积34433V R ππ==.【答案】D5.(★★)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是()A.16πB.20πC.24πD.32π【解析】设正四棱柱底面边长为a ,则2416a =,即2a =,其外接球的半径2242R ==,故所求球的表面积2424S R ππ==.【答案】C 6.(★★★)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2的球面上,如果正四棱柱的底面边长为1cm ,那么该棱柱的表面积为______cm 2.【解析】设正四棱柱的高为h cm ,则1112=,故h =,即该棱柱的表面积(2S =+cm 2.【答案】2+题组二7.(★★★)已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若3AB =,4AC =,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为()B. C.132D.【解析】这道题可能不少同学会有这么一个困惑,就是题干没给出三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱,是不是题干有问题呢?当然不是,事实上,斜棱柱是没有外接球的,所以题干的说法本身就隐含了三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱这一条件.本题的直三棱柱可通过补形为长方体来计算外接球半径,如图,三棱柱111ABC A B C -与长方体有相同的外接球,该球的半径为34121322R ==.【答案】C 8.(★★★)3______.【解析】本模型一般称为墙角三棱锥,可补形为正方体(或长方体)来处理.如图,将三棱锥B ACD -补全为正方体,并放到了球体之中,可以看到二者有相同的外接球,正方体棱332R =,故外接球表面积249S R ππ==.【答案】9π【提炼】三条侧棱两两垂直的三棱锥(墙角三棱锥)可补形为长方体或正方体来计算外接球半径.题组三9.(★★★)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()A.2a π B.273a π C.2113a π D.25a π【解析】如图,设G 为ABC △的中心,ABC △外接圆半径233323r AG ==⨯=,1122a OG AA ==,球的半径22712R r OG a =+,故球的表面积22743S R a ππ==.【答案】B【提炼】①设直三棱柱底面外接圆半径为r ,高为h ,则其外接球半径222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;②关键是计算底面三角形外接圆半径,对于直角三角形,外接圆半径等于斜边长的一半,若是倍,等于高的23倍;若是普通的三角形,则可利用正弦定理计算外接圆半径.10.(★★★)直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上,若12AB AC AA -==,120BAC ∠=︒,则此球的表面积等于______.【解析】如图,在ABC △中,由余弦定理得222122222122BC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,解得BC =.由正弦定理得42sin BC r BAC ==∠,解得2r =,故1112OG AA ==,所以球的半径R ==,故球的表面积2420S R ππ==.【答案】20π题组四11.(★★★)设A ,B ,C ,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC △为等边三角形且其面积为,则三棱锥D ABC -体积的最大值为()A. B. C. D.【解析】如图,先计算ABC △外接圆的半径r ,设ABC △边长为a .则2122a ⋅⋅=,解得6a =,所以62sin 60r =︒,解得r =,所以2OG ==,当D 点位于GO 延长线上时,三棱锥D ABC -的高最大,底面积不变,此时体积最大,最大值为()1243V =⨯+=【答案】B【提炼】本题三棱锥D ABC -的体积最大时,D ABC -是正三棱锥,正三棱锥外接球的计算问题,解题的关键是构建AOG △,在这个三角形中,满足222OA AG OG =+,即222R r d =+,其实这就是前一小节的平面截球模型,只要是正棱锥,都可以采用这个办法处理.12.(★★★)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A.814πB.16πC.9πD.274π【解析】如图,由题意,得14PO =,1AO =设外接球的半径为R ,则OA OP R ==,故14OO R =-.在1OO A △中,22211AO OO AO +=,即()2224R R +-=,解得94R =,故该球的表面积28144S R ππ==.【答案】A【提炼】正四棱锥外接球的有关计算,关键是构建1AOO ,在这个三角形中,利用22211OA AO OO =+建立等量关系,其实就是平面截球模型的处理方法.13.(★★★)正四棱锥S ABCD -点S ,A ,B ,C ,D 都在同一个球面上,则该球的体积为_____.【解析】解法1:如图1,设正方形ABCD 的中心为1O ,由题意,11AO =,11SO =.设正四棱锥外接球球心为O ,半径为R ,则OA R =,11OO R =-,在1AOO 中,22211OO AO AO +=,故()2211R R -+=,解得1R =,即外接球体积为34433V R ππ==.解法2:设正方形ABCD 的中心为1O ,由题意,11AO =,11SO ==,因为11SO AO =,所以1O 即为球心,球的半径为1,体积34433V R ππ==,本题实际的图形是图2.【答案】43π14.(2021·全国甲卷·理·11·★★★)已知A ,B ,C 是半径为1的球O 的球面上的三个点,且AC BC ⊥,1AC BC ==,则三棱锥O ABC -的体积为()A.212B.312C.24D.34【解析】如图,由题意,2AB =,设D 为ABC △的外心,则1222AD AB ==,2222OD OA AD =-=,所以1112211332212O ABC ABC V S OD -=⋅=⨯⨯⨯⨯ .【答案】A题组五15.(★★)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.πB.34πC.2π D.4π【解析】如图,由题意得1OA =,112OO =,故132O A =,圆柱体积233124V ππ⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭.【答案】B【提炼】圆柱外接球半径222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,其中r 为底面圆半径,h 为圆柱的高.16.(★★★★)如图,半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是______.【解析】设圆柱的底面半径为r ,高为h ,则2224h r R rh +=≥,当且仅当2h r =时等号成立,故圆柱的侧面积2S rh π=的最大值为22R π,此时球的表面积与圆柱的侧面积之差为222422R R R πππ-=.【答案】22R π题组六17.(★★)正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A. B.1:3C.1:D.1:9【解析】设正方体的棱长为a ,则其内切球、外接球的半径分别为12aR =,2R =,故正方体的内切球与其外接球的体积之比3113224343R V V R ππ==.【答案】C【提炼】设正方体的棱长为a ,则其内切球的半径2a R =.18.(★★)如图,圆柱12O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱12O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是______.【解析】如图,设球的半径为R ,则213223423V R R V R ππ⋅==.【答案】3219.(2020·新课标Ⅲ卷·理·15·★★★)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为_______.【解析】如图,该圆锥内半径最大的球即圆锥的内切球,设其半径为R ,则OB OG R ==,1AB AG ==.由题意得PG =OP R =-,2PB PA AB =-=.在POB 中,222OB PB OP =+,故()224R R +=,解得22R =,即球的体积3433V R π==.【答案】2320.(★★★★)在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球.若AB BC ⊥,6AB =,8BC =,13AA =,则V 的最大值是()A.4π B.92π C.6π D.323π【解析】要解决这道题,得先搞清楚一件事,那就是最大的球到底是和棱柱的侧面相切,还是与底面相切?如图,可求得底面直角三角形的斜边10AC =,将底面Rt ABC △单独拿出来分析其内切圆半径r ,图中BP NQ r ==,故8PC r =-,即8CM PC r ==-,PN BQ r ==,故6AQ r =-,即6AM AQ r ==-,所以8614210AC CM AM r r r =+=-+-=-=,解得2r =,由123r AA >=知最大球的半径为32,体积3439322V ππ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭.【答案】B题组七21.(★★★)已知A,B是球O的球面上两点,90AOB∠=︒,C为该球面上的动点.若三棱锥O ABC-体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36πB.64πC.144πD.256π【解析】设球O的半径为R,当点C位于如图所示位置(OC⊥平面AOB)时,三棱锥O ABC-的体积最大,最大值为321136326RR R⨯⨯==,即6R=,故球O的表面积24144S Rππ==.【答案】C22.(★★★)已知三棱锥S ABC-的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA AC=,SB BC=,三棱锥S ABC-的体积为9,则球O的表面积为________.【解析】如图,由题意知,SAC△,SBC△都是以SC为斜边的等腰直角三角形,设球O的半径为R,故31129323S ABCRV R R R-=⋅⋅⋅⋅==,即3R=,故球O的表面积2436S Rππ==.【答案】36π第8讲经典模型之对棱相等知识与方法四面体ABCD 中,AB CD m ==,AC BD n ==,AD BC t ==,这种四面体叫做对棱相等四面体,可以通过构造长方体来解决这类四面体的外接球问题.如图,设长方体的长宽高分别为a 、b 、c ,则222222222a b t b c n a c m ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩,三式相加可得2222222m n t a b c ++++=,而显然四面体和长方体有相同的外接球,设外接球半径为R ,则22224a b c R ++=,所以R =.典型例题【例题】四面体ABCD中,AB CD ==AC BD ==,5AD BC ==,则该四面体外接球的体积为_______.【解析】由题意,四面体ABCD是对棱相等模型3464233R V R π⇒===.【答案】3变式1三棱锥A BCD -中,6AB CD ==,5AC BD AD BC ====,则该三棱锥外接球表面积为()C.432π D.43π【解析】由题意,四面体ABCD是对棱相等模型24432R S R ππ⇒====.【答案】D 变式2A 、B 、C 、D四点在半径为2的球面上,且5AC BD ==,AD BC ==,AB CD =,则四面体ABCD 的体积为______.【解析】由题意,四面体ABCD 是对棱相等模型,设AB CD x ==,则R x ==ABCD补全为如图所示的长方体,设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ,则222222413425a b b c a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩,解得:453a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩,所以四面体ABCD 的体积1134543452032V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=.【答案】20强化训练1.(★★★)四面体ABCD中,AB CD ==AC BD ==,AD BC ==,则四面体ABCD 外接球的表面积为()A.25πB.45πC.50πD.100π【解析】由题意,四面体ABCD是对棱相等模型,2524502R S R ππ====.【答案】C2.(★★★)半径为1的球面上有不共面的A 、B 、C 、D 四点,且AB CD x ==,BC AD y ==,AC BD z ==,则222x y z ++=()A.16B.8C.4D.2【解析】由题意,四面体ABCD是对棱相等模型,22218R x y z =⇒++=【答案】B3.(★★★)四面体ABCD 中,5AB CD ==,AC BD ==,AD BC ==接球的半径为()A.2B. C.132 D.13【解析】由题意,四面体ABCD是对棱相等模型,132R =【答案】C4.(★★★)在四面体ABCD 中,2AB CD ==,AC BD AD BC ====接球的表面积为_______.【解析】由题意,四面体ABCD是对棱相等模型,2144R S R ππ==⇒==【答案】4π5.(★★★★)在三棱锥P ABC -中,2PA BC ==,PB AC =,PC AB =,且4PB PC ⋅=,则三棱锥P ABC -的外接球的表面积的最小值为________.【解析】设PB AC x ==,PC AB y ==,则4xy =,所以三棱锥P ABC -的外接球半径62R =≥,当且仅当2x y ==时取等号,所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积的最小值为246ππ⨯=⎝⎭.【答案】6π6.(★★★★)四面体ABCD 的顶点都在球O 的表面上,4AB BC CD DA ====,AC BD ==,E 为AC 中点,过点E 作球O 的截面,则截面面积的最大值与最小值之比为()A.5:42D.5:2【解析】四面体ABCD是对棱相等模型,所以R =,将四面体ABCD 放入长方体如图,截面面积的最大值为215S R ππ==,当截面面积最小时,截面与OE 垂直,其中O 为球心,设FA a =,FB b =,FC c =,则222222216182216a a b a c b OE b r c b c =⎧⎧+=⎪⎪+=⇒=⇒=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎩,即截面面积的最小值为222S r ππ==,故12:5:2S S =.【答案】D。
空间几何体的外接球与内切球

空间几何体的外接球与内切球1正方体的内切球:设正方体的棱长为a ,求(1)内切球半径;(2)外接球半径;(3)与棱相切的球半径。
(1)截面图为正方形EFGH 的内切圆,得2a R =; (2)与正方体各棱相切的球:球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点,如图4作截面图,圆O 为正方形EFGH 的外接圆,易得a R 22=。
(3)正方体的外接球:正方体的八个顶点都在球面上,如图5,以对角面1AA 作截面图得,圆O 为矩形C C AA 11的外接圆,易得a O A R 231==。
类型一、墙角模型(三条线两个垂直,不找球心的位置即可求出球半径)c abCP A Babc 图2PCBAabc 图3CBPAa bc 图4PCO 2BA方法:找三条两两垂直的线段,直接用公式2222)2(c b a R ++=,即2222c b a R ++=,求出R (1)在四面体中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为,若该四面体的四个顶点在一个球面上,求这个球的表面积。
图3图4图5(2)若三棱锥的三个侧面两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是(3)在正三棱锥S ABC-中,M N、分别是棱SC BC、的中点,且MNAM⊥,若侧棱23SA=,则正三棱锥ABCS-外接球的表面积是(4)如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为6、4、3,那么它的外接球的表面积是(5)已知某几何体的三视图如图所示,三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形,则该几何体外接球的体积为类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)1.题设:如图5,⊥PA平面ABC解题步骤:第一步:将ABC∆画在小圆面上,A为小圆直径的一个端点,作小圆的直径AD,连接PD,则PD必过球心O;第二步:1O为ABC∆的外心,所以⊥1OO平面ABC,算出小圆1O的半径rDO=1(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理,得图5A DPO1OCBr C c B b A a 2sin sin sin ===),PA OO 211=; 第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=;②2122OO r R +=⇔212OO r R +=2.题设:如图6,7,8,P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上,顶点P 点也是圆锥的顶点图6PADO 1OCB图7-1PAO 1O CB图7-2PAO 1O CB图8PAO 1OCB图8-1DPOO 2ABC图8-2POO 2ABC图8-3DPOO 2AB解题步骤:第一步:确定球心O 的位置,取ABC ∆的外心1O ,则1,,O O P 三点共线;第二步:先算出小圆1O 的半径r AO =1,再算出棱锥的高h PO =1(也是圆锥的高); 第三步:勾股定理:21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=,解出R1. 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为( ) A .π3 B .π2 C .316πD .以上都不对2. 在四面体S ABC -中,ABC SA 平面⊥,,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为( )π11.A π7.B π310.C π340.D3.已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ,DA ABC ⊥平面,AB BC ⊥,O 的体积等于 为( ) .4.已知S ,A ,B ,C 是球O 表面上的点,SA ⊥平面ABCD ,AB ⊥BC ,SA =AB =1,BC =2,则球O 的表面积等于( )A .4πB .3πC .2πD .Π5.正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2,各顶点都在同一个球面上,则此球的体积为6.在三棱锥ABC P -中,3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60,则该三棱锥外接球的体积为( ) A .π B.3π C. 4π D.43π7.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =,则此棱锥的体积为( )A A .2 B.3 C .2 D .28.点A ,B ,C ,D 均在同一球面上,其中△ABC 是正三角形,AD ⊥平面ABC ,AD =2AB =6,则该球的体积为( ) A .323π B .48π C .643π D .163π 9.10.已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上,P A =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F分别是P A ,AB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为 A .68πB .64πC .6πD 6π类型三、切瓜模型(两个平面互相垂直)图9-1ACBP图9-2AO 1OCBP图9-3PAO 1OCB图9-4AO 1OCBP1.题设:如图9-1,平面⊥PAC 平面ABC ,且BC AB ⊥(即AC 为小圆的直径)第一步:易知球心O 必是PAC ∆的外心,即PAC ∆的外接圆是大圆,先求出小圆的直径r AC 2=; 第二步:在PAC ∆中,可根据正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===,求出R2.如图9-2,平面⊥PAC 平面ABC ,且BC AB ⊥(即AC 为小圆的直径)21212O O C O OC +=⇔2122O O r R +=⇔2122O O R AC -=3.如图9-3,平面⊥PAC 平面ABC ,且BC AB ⊥(即AC 为小圆的直径),且P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上,顶点P 点也是圆锥的顶点 解题步骤:第一步:确定球心O 的位置,取ABC ∆的外心1O ,则1,,O O P 三点共线;第二步:先算出小圆1O 的半径r AO =1,再算出棱锥的高h PO =1(也是圆锥的高); 第三步:勾股定理:21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=,解出R4.如图9-3,平面⊥PAC 平面ABC ,且BC AB ⊥(即AC 为小圆的直径),且AC PA ⊥,则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=;②2122OO r R +=⇔212OO r R +=1三棱锥ABC P -中,平面⊥PAC 平面ABC ,△PAC 和△ABC 均为边长为2的正三角形,则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .2.已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直,︒=∠===60,2,3AEB AD EB EA ,则多面体ABCD E -的外接球的表面积为 。
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几何体的外接球与内切球
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不重合。
4、体积分割是求内切球半径的通用做法。
一、外接球
(一)多面体几何性质法
1、 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π
小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 2、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,
则此球的表面积为 。
(二)补形法
1、,则其外接球的表面积是 .
2、设,,,P A B C 是球O 面上的四点,且,,PA PB PC 两两互相垂直,若PA PB PC a ===, 则球心O 到截面ABC 的距离是 .
小结 一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为a b c 、、,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.
设其外接球的半径为R ,则有2R =
3、三棱锥O ABC -中,,,OA OB OC 两两垂直,且22OA OB OC a ===,则三棱锥
O ABC -外接球的表面积为( )
A .2
6a π B .2
9a π C .212a π D .2
24a π
4、三棱锥ABC P -的四个顶点均在同一球面上,其中ABC ∆是正三角形 ⊥PA 平面
62,==AB PA ABC 则该球的体积为( )
A. π316
B. π332
C. π48
D. π364
答案及解析:
10.B
点评: 本题考查球的内接体与球的关系,考查空间想象能力,利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键.
5、如图的几何体是长方体 1111ABCD A B C D -的一部分,其中 113,2AB AD DD BB cm ====则该几何体的外接球的表面积为 (A 211cm π (B) 222cm π (C)
2
11223
cm ( D)21122cm π
答案及解析:
12.【知识点】几何体的结构. G1
B 解析:该几何体的外接球即长方体1111ABCD A B
C
D -的外接球,而若长方体
1111ABCD A B C D -的外接球半径为R ,则长方体1111ABCD A B C D -的体对角线为2R ,
所以2
2
2
2
2
11
(2)332222
R R =++=⇒=,所以该几何体的外接球的表面积222cm π,故选 B.
【思路点拨】分析该几何体的外接球与长方体1111ABCD A B C D -的外接球的关系,进而得结论.
6、一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积是( )
A . 12π
B . 4
π
C . 3π
D . 12
π
答案及解析:
14.
考点: 由三视图求面积、体积.
分析: 三视图复原几何体是四棱锥,扩展为正方体,它的体对角线,就是球的直径,求出半径,解出球的表面积.
解答: 解:由三视图知该几何体为四棱锥,记作S ﹣ABCD ,
其中SA⊥面ABCD .面ABCD 为正方形,将此四棱锥还原为正方体,易知正方体的体对角线即为外接球直径,所以2r=.
∴S 球=4πr 2
=4π×=3π. 答案:C
点评: 本题考查三视图求表面积,几何体的外接球问题,是基础题.
(三)寻求轴截面圆半径法
1、正四棱锥S ABCD 2S A B C D 、、、、都在同一球面上,则此球的体积为 .
C
D
A
B
S
O 1图3
小结根据题意,我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆,于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法,该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆,从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.
2、求棱长为a 的正四面体P – ABC 的外接球的表面积
3、三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=2且AA1⊥平面ABC,△ABC是边长为的正三角形,该三棱柱的六个顶点都在一个球面上,则这个球的体积为()
A.8πB.C.D.8π
答案及解析:
7.C
考点:球的体积和表面积.
专题:计算题;空间位置关系与距离.
分析:根据题意,正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心,求出球的半径即可求出球的体积.
解答:解:由题意可知:正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心,
因为△ABC是边长为的正三角形,所以底面中心到顶点的距离为:1;
因为AA1=2且AA1⊥平面ABC,所以外接球的半径为:r==.
所以外接球的体积为:V=πr3=π×()3=.
故选:C.
点评:本题给出正三棱柱有一个外接球,在已知底面边长的情况下求球的体积.着重考查了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识,属于中档题.
8.
4、已知三棱锥A BCD -中,2AB AC BD CD ====,2BC AD =,直线AD 与底面
BCD 所成角为3
π
,则此时三棱锥外接球的体积为
A. 8π
B.
23π C. 423π D.
82
3
π 答案及解析:
11.D
(四)球心定位法
1、在矩形ABCD 中,4,3AB BC ==,沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.
12512π B.1259π C.1256π D.125
3
π
2、如图所示是一个几何体的三视图,则这个几何体外接球的表面积为
A. 8π
B. 16π
C. 32π
D. 64π
3、三棱锥P ABC -中,底面ABC ∆是边长为2的正三角形, PA ⊥底面ABC ,且2PA =,则此三棱锥外接球的半径为( )
A O D
图4
21
A.2 B.5C.2 D.
3
4、如图,在三棱锥A﹣BCD中,△ACD与△BCD是全等的等腰三角形,且平面ACD⊥平面BCD,AB=2CD=4,则该三棱锥的外接球的表面积为.
B.
C.答案及解析:
D.27.
E.
F.考点:球的体积和表面积;球内接多面体.
G.专题:空间位置关系与距离.
H.分析:取AB,CD中点分别为E,F,连接EF,AF,BF,求出EF,判断三棱锥的外接球球心O在线段EF上,连接OA,OC,求出半径,然后求解表面积.
I.解答:解:取AB,CD中点分别为E,F,连接EF,AF,BF,由题意知AF⊥BF,AF=BF,EF=2,易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上,连接OA,OC,有R2=AE2+OE2,R2=CF2+OF2,求得,所以其表面积为.
J.故答案为:.
K .
L .点评:本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题,对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求,本题是一道综合题,属于较难题. M .28. N .29.
5、在三棱锥BCD A -中,底面BCD 为边长为2的正三角形,顶点A 在底面BCD 上的射影为BCD ∆的中心, 若E 为BC 的中点,且直线AE 与底面BCD 所成角的正切值为
O .22,则三棱锥BCD A -外接球的表面积为__________.
P .答案及解析:
Q .29.π6
R .
二、内切球问题 1、一气球(近似看成球体)在不变形的前提下放在由长为2的12根木条搭成的正方体中,该气球球表面积最大是__________.
2、正三棱锥的高为 1,底面边长为26 。
求棱锥的内切球的表面积。
3、 三棱锥A BCD -的两条棱6AB CD ==,其余各棱长均为5,求三棱锥的内切球半径.
4、如图,已知球O是棱长为1 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球,则平面ACD1截球O的截面面积为( )
A.πB.C.D.π
答案及解析:
4.C
考点:截面及其作法.
专题:空间位置关系与距离.
分析:根据正方体和球的结构特征,判断出平面ACD1是正三角形,求出它的边长,再通过图求出它的内切圆的半径,最后求出内切圆的面积
解答:解:根据题意知,平面ACD1是边长为的正三角形,
且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点,
故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积,
则由图得,△ACD1内切圆的半径是×tan30°=,
则所求的截面圆的面积是π××=.
故选:C
-(底面是正方形且顶点在顶面的射影是底面正方形的中心的棱锥已知正四棱锥O ABCD
-内切球的表面积为叫做正四棱锥)的体积为12,底面边长为则正四棱锥O ABCD
________.
答案及解析:
28.4π。