一阶线性微分方程的标准形式.
一阶线性微分方程
在工程中的应用
控制工程
01
在控制工程中，一Hale Waihona Puke 线性微分方程可以用来描述系统的动态特
性，如传递函数和稳定性分析。
信号处理
02
在信号处理中，一阶线性微分方程可以用来描述信号的滤波、
放大和传输等过程。
航天工程
03
在航天工程中，一阶线性微分方程可以用来描述火箭的发射、
卫星轨道和姿态控制等过程。
04
一阶线性微分方程的扩 展
一阶线性微分方程
目录
• 一阶线性微分方程的定义与形式 • 一阶线性微分方程的解法 • 一阶线性微分方程的应用 • 一阶线性微分方程的扩展
01
一阶线性微分方程的定 义与形式
定义
总结词
一阶线性微分方程是包含一个未知函数及其导数的一次项的方程。
详细描述
一阶线性微分方程的一般形式为 y' + P(x)y = Q(x)，其中 y 是未知函数，P(x) 和 Q(x) 是已知函数，' 表示导数。 这个方程包含未知函数 y 和它的导数 y'，且最高次项为一次。
变系数一阶线性微分方程
定义
变系数一阶线性微分方程是指方程中的系数是未知数的函数，而 不是常数。
解法
解变系数一阶线性微分方程需要使用特殊的方法，如换元法、变量 分离法等，以将方程转化为更易于解决的形式。
应用
变系数一阶线性微分方程在物理学、工程学和经济学等领域有广泛 的应用，例如振动问题、电路分析、人口动态等。
03
一阶线性微分方程的应 用
在物理中的应用
自由落体运动
一阶线性微分方程可以用来描述 物体在重力作用下的自由落体运 动，如速度和位移随时间的变化
第三节 一阶线性微分方程
sin 2 y e cos y dy dy C
sin y
dy C
sin y
)C
e sin y [2 sin ye sin y 2 e sin y cos y dy C ]
2(sin y 1) Ce
sin y
将 x 1 , y 0 代入上式 , 得 C 3 ,
x0 P ( x )dx x x0 P ( x )dx ye dx y 0 . x0 Q ( x ) e
x x
小结
1.齐次线性微分方程
y P ( x ) y 0
y Ce P ( x )dx ;
2. 非齐次线性微分方程 (1) 公式
所求特解为 x 2(sin y 1) 3e sin y .
例6 如图所示，平行于 y 轴的动直线被曲 线 y f ( x ) (0 f ( x ) x 3 )与 y x 3 ( x 0) 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
解
1 1 y ln ydy C ln y
1 1 2 2 (ln y ) C ln y
( x cos y sin 2 y ) y 1 例5 求特解 y x 1 0
1 解 将方程变形 , 得 dy , dx x cos y sin 2 y
y P ( x ) y Q ( x )
y e P ( x )dx [ Q( x ) e P ( x )dx dx C ];
P ( x )dx
( 2)令 y u( x )e
用常数变易法求解.
三种形式的一阶线性微分方程
三种形式的一阶线性微分方程
一阶线性微分方程是指只含一阶导数的线性微分方程。
它有三种形式：
1、齐次线性微分方程：
齐次线性微分方程一般具有形式：$dy/dt+Py(t)=Q(t)$，其中$P(t)$和$Q(t)$是给定的连续函数，变量$y(t)$是未知函数。
它含有一个未知函数（y（t））和它的一
阶导数，只含有一个未知函数，也称为“一阶齐次线性微分方程”，它的解的存在性和唯一性问题也被解决了。
2、一般线性微分方程：
一般线性微分方程一般具有形式：$dy/dt+P(t)y(t)=Q(t)$，也叫一阶变步长线性
微分方程。
微分方程有多个未知函数，不光包含一阶导数，也可能包含常数和各次高阶导数，和常规齐次线性微分方程不同，它不能简单地通过求解基本解来求解，需要从特定的解法开始分析。
3、固定系数线性微分方程：
固定系数线性微分方程一般具有形式：$dy/dt+a_1y(t)+a_2y(t-τ)=0$，在这种微
分方程中，$a_1,a_2$是常数，$τ$是一个正实数。
可以看出，这种微分方程有三项：$y（t）$的导数、$y（t）$本身和$y（t-τ）$。
它不仅包含一阶导数，而且还包含
延时项，可以用来模拟延时系统。
高数 微分方程
思考与练习
判别下列方程类型:
(1) x dy y xy dy
dx
dx
(2) x dy y (ln y ln x) dx
(3) ( y x3) dx 2x dy 0
(4) 2 y dx ( y3 x) dy 0
(5) ( y ln x 2) y dx x dy
提示:
y 1dy dx
f (x) f (x) cos x
则有
f (0) 0
利用公式可求出
f (x) 1 (cos x sin x ex ) 2
2. 设有微分方程 y y f (x), 其中
2, 0 x 1 f (x) 0 , x 1
试求此方程满足初始条件
的连续解.
解: 1) 先解定解问题 利用通解公式, 得
dx
令 z y1n , 则 dz (1 n)yn dy
dz
(1
n)
P(
x)
z
dx (1
n)
Q(x)
dx
(线性方程)
dx
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
例6. 求方程
的通解.
解: 令 z y1, 则方程变形为
dz z a ln x dx x
其通解为
z
e
1 x
dx
(a
e
1 dx
x(
3
x
2e
1 dx
x dx
C
)
3x2 x( C)
2
由 y x1 1，代入得
C 1 2
y 3x3 1 x 22
例4.求(2x y2 )dy ydx 0的解.
解 : dx 2 x y dy y
通解
一阶线性微分方程与分离变量法
一阶线性微分方程与分离变量法一阶线性微分方程是微分方程中最简单的一种形式，它可以用分离变量法来求解。
在本文中，我们将介绍一阶线性微分方程的定义、基本形式以及如何使用分离变量法来求解。
一、一阶线性微分方程的定义一阶线性微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的微分方程，其中P(x)和Q(x)均为已知函数，y = y(x)是未知函数。
需要注意的是，P(x)和Q(x)不一定是线性函数，可以是非线性函数。
二、一阶线性微分方程的基本形式一阶线性微分方程可以写成如下的标准形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)其中，P(x)为已知函数的系数函数，Q(x)为已知函数。
三、分离变量法的基本思路分离变量法是一种用于求解一阶微分方程的常用方法，其基本思路是将方程中的变量分离到方程两边，从而得到两个关于不同变量的表达式。
四、使用分离变量法求解一阶线性微分方程的步骤1. 将一阶线性微分方程的表达式写成标准形式dy/dx + P(x)y = Q(x)。
2. 将方程两边乘以一个适当的积分因子μ(x)，使得P(x)μ(x)为关于x的全导数，即P(x)μ(x) = d/dx μ(x)。
3. 对方程两边同时乘以μ(x)，得到d/dx(μ(x)y) = Q(x)μ(x)。
4. 对方程两边同时进行积分，得到∫d/dx(μ(x)y)dx = ∫Q(x)μ(x)dx。
5. 对方程两边进行积分并简化，得到μ(x)y = ∫Q(x)μ(x)dx + C，其中C为积分常数。
6. 解出y，得到y(x) = [∫Q(x)μ(x)dx + C]/μ(x)。
五、示例现在我们通过一个具体的例子来演示如何使用分离变量法来求解一阶线性微分方程。
例：求解dy/dx - 2xy = x^2解: 首先将方程写成标准形式dy/dx + 2xy = -x^2。
然后确定积分因子μ(x)，根据P(x)μ(x) = d/dx μ(x)，得到d/dx(e^(x^2)) = 2xe^(x^2)，因此积分因子为μ(x) = e^(x^2)。
三种形式的一阶线性微分方程
三种形式的一阶线性微分方程一阶线性微分方程是一种最基本的微分方程形式，通常可表示为dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是关于自变量x的函数。
该形式的一阶线性微分方程可表示为：dy/dx + 2x*y = x^2这里P(x) = 2x，Q(x) = x^2、对于这个方程，我们可以使用线性微分方程的一般解法，首先求出积分因子μ(x) = e^(∫P(x)dx) =e^(x^2)，然后将原方程乘以μ(x)得：e^(x^2)dy/dx + 2x*e^(x^2)y = x^2*e^(x^2)对于左边第一项使用乘积法则，可得(d(e^(x^2)*y)/dx =x^2*e^(x^2)。
因此，我们有：d(e^(x^2)*y)/dx = x^2*e^(x^2)积分两边得：e^(x^2)*y = ∫x^2*e^(x^2)dx + C解方程得：y=x^2/2+C*e^(-x^2)其中C是一个任意常数。
一阶线性微分方程中的非齐次项Q(x)可以是除了常数外的任何函数形式。
如果Q(x)是sin(x)这样的特殊函数形式，原方程可以表示为dy/dx + 2x*y = sin(x)。
对于这个方程，我们同样可以使用乘以积分因子的方法，首先求出μ(x) = e^(∫P(x)dx) = e^(x^2)，然后将原方程乘以μ(x)得：e^(x^2)dy/dx + 2x*e^(x^2)y = e^(x^2)sin(x)对于这个方程，我们需要对方程的右边进行特殊处理。
我们可以使用积分技巧来求解该方程，首先将右边的sin(x)表示为e^(ix) = sin(x) + icos(x)，然后将其带入原方程得：e^(x^2)dy/dx + 2x*e^(x^2)y = e^(x^2)(sin(x) + icos(x))对右边的每一项使用乘法法则，得：d(e^(x^2)*y)/dx = e^(x^2)sin(x) + ie^(x^2)cos(x)因此我们有：d(e^(x^2)*y)/dx = e^(x^2)sin(x) + ie^(x^2)cos(x)积分两边解方程得：e^(x^2)*y = ∫e^(x^2)sin(x)dx + ∫ie^(x^2)cos(x)dx + C由此我们可以求出y的通解。
一阶常微分方程公式大全
一阶常微分方程公式大全一、一阶线性常微分方程。
1. 标准形式。
- 一阶线性常微分方程的标准形式为y'+p(x)y = q(x)。
2. 通解公式。
- 其通解公式为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
- 推导过程：- 先求对应的齐次方程y'+p(x)y = 0的通解。
- 分离变量得(dy)/(y)=-p(x)dx。
- 两边积分∫(dy)/(y)=-∫ p(x)dx，得到ln y =-∫ p(x)dx + C_1，即y = Ce^-∫p(x)dx（C = e^C_1）。
- 然后用常数变易法，设原非齐次方程的解为y = C(x)e^-∫ p(x)dx。
- 对y求导得y'=C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫ p(x)dx。
- 将y和y'代入原方程y'+p(x)y = q(x)，可得C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫p(x)dx+p(x)C(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)。
- 化简得C'(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)，即C'(x)=q(x)e^∫ p(x)dx。
- 再积分C(x)=∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C，所以原方程的通解为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
二、可分离变量的一阶常微分方程。
1. 标准形式。
- 可分离变量的一阶常微分方程的标准形式为g(y)dy = f(x)dx。
2. 通解求法。
- 对g(y)dy = f(x)dx两边分别积分，得到∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，其中C为任意常数。
- 例如，对于方程(dy)/(dx)=(x)/(y)，可化为ydy = xdx。
- 两边积分∫ ydy=∫ xdx，即frac{y^2}{2}=frac{x^2}{2}+C，整理得y^2-x^2=C_1（C_1 = 2C）。
5.4--一阶线性微分方程
5.4 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程
伯努利(Bernoulli)方程 应用 小结 思考题 作业
第5章 微分方程
1
5.4 一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程
一一阶阶线性微分方程的标准形式
自由项
当Q( x) 0,上面方程称为 齐次的;
当Q( x) 0, 上面方程称为非齐次的.
例 求解下列微分方程
(1) f ( xy) ydx g( xy)xdy 0,
解题提示 方程中出现 f ( xy), f ( x y),
f
(x2
y2 ),
f
(
y) x
等形式的项时,
通常要做相应
的变量代换
24
5.4 一阶线性微分方程
(1) f ( xy) ydx g( xy)xdy 0
解
求微分得
一阶线性非齐次微分方程的通解为
一阶线性非齐次微分方程的初值问题
dy dx
P(
x)
y
Q(
x)
的解为
y x x0 y0
7
5.4 一阶线性微分方程
一阶线性方程解的结构
对应齐次 方程通解
非齐次方程的一个特解
注 一阶线性方程解的结构及解非齐次方程
的常数变易法对高阶线性方程也适用. 齐次方程 dy P( x) y 0的通解为
如 dy y x2, dx
dx x sin t t 2 , dt
线性的;
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
2
5.4 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的解法
1. 线性齐次方程 dy P( x) y 0. dx
(使用分离变量法)
一阶线性微分方程
二、
特点： 解法： 令
y f ( x , y)
右端不含 y 降阶
型
y p
y p
代入原方程得
dp f ( x , p) 若已求得其通解为 dx 回代 y p 得 p ( x , c1 ) dy ( x , c1 ) 变量可分离的一阶方程 dx y ( x , c1 )dx c2 积分得
3 2 x 1 x 12 C 3 2
故原方程通解为
1 sin x , y x= =1的解. 例2 求方程 y y x x 1 解 P ( x ) , Q ( x ) sin x , x x
ye
1 dx x
sin x ln x e e dx C x 1 1 sin xdx C cos x C .
2 dx x 1
2 5 dx x 1 dx C x 12 e
e
2 ln x 1
1 2 x 15 2 ln x 1 2e 2 dx C dx C x 1 x 1
dy y P ( x )dx ,
ln y P ( x)dx C1 ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
.
dy P ( x ) y Q( x ). 2.非齐次线性方程 dx
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
ye
p ( x ) dx
例2. 求解
解:
(1 x ) y 2x y
2
y
x 0
1 , y
微分方程计算公式
微分方程计算公式咱来说说微分方程的一些计算公式哈。
一、一阶线性微分方程。
1. 标准形式。
一阶线性微分方程长这样：y'+p(x)y = q(x)。
这里y'就是y对x的导数，p(x)和q(x)都是关于x的函数。
2. 通解公式。
它的通解公式是y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
这个公式看起来有点复杂，咱来拆拆看。
首先呢，e^-∫ p(x)dx就像是一个“调节因子”。
∫ p(x)dx就是对p(x)求不定积分啦。
然后e^∫ p(x)dx和q(x)乘起来再求不定积分∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx，最后再加上个常数C，再乘上前面那个“调节因子”e^-∫p(x)dx就得到通解啦。
二、可分离变量的微分方程。
1. 形式和解法。
如果一个微分方程能写成g(y)dy = f(x)dx的形式，那它就是可分离变量的微分方程。
解法超简单，就是两边分别积分。
对g(y)dy积分得到∫ g(y)dy，对f(x)dx积分得到∫ f(x)dx，然后这两个积分结果相等，就得到方程的解啦，不过别忘了最后可能有个常数C哦。
就好像把x和y的东西分开处理，各算各的积分，然后让它们相等就行。
三、二阶常系数线性齐次微分方程。
1. 标准形式。
二阶常系数线性齐次微分方程是y'' + ay'+by = 0，这里a和b都是常数，y''是y 对x的二阶导数。
2. 特征方程。
我们先写出它的特征方程r^2+ar + b=0。
这个特征方程就像是这个微分方程的“小密码”。
3. 通解的情况。
如果特征方程有两个不同的实根r_1和r_2，那么通解就是y =C_1e^r_1x+C_2e^r_2x，就好像是两个不同的“增长模式”e^r_1x和e^r_2x按照一定比例C_1和C_2加起来。
如果特征方程有重根r，通解就是y=(C_1+C_2x)e^rx，这里多了个x和C_2，就像是在原来e^rx的基础上有点小变化。
5.2(3)一阶线性微分方程及全微分方程
−1
五、1、( x − y ) 2 = −2 x + C ； 1 2、 y = 1 − sin x − ； x+C 3、 2 xy − sin( 2 xy ) = 4 x + C . 2(1 − e − x ) , 0 ≤ x ≤ 1 六、 y − y( x ) = . −x 2(e − 1)e , x > 1
令 y = xu;
− P( x)dx
令 y = u( x)e ∫
;
令 y1−n = z;
思考题
cos y 的通解. 求微分方程 y′ = 的通解 cos y sin 2 y − x sin y
思考题解答
dx cos y sin 2 y − x sin y = sin 2 y − x tan y , = dy cos y dx ∴ + (tan y ) ⋅ x = sin 2 y , dy
将 z = xy 代回,
所求通解为 2 xy − sin( 2 xy ) = 4 x + C .
dy 1 3. ; = dx x + y
dy du 解 令 x + y = u, 则 = − 1, dx dx du 1 −1= , 代入原式 dx u 分离变量法得 u − ln( u + 1) = x + C ,
∂P ∂Q . 全微分方程⇔ = ∂y ∂x
2.解法: 2.解法: 解法
P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 0 全微分方程
应用曲线积分与路径无关. 应用曲线积分与路径无关
x
∂P ∂Q Q = ∂y ∂x
y y0
通解为
y
u(x, y) = ∫ P(x, y0 )dx + ∫ Q(x, y)dy
高数下册第七章第五节一阶线性方程全微分方程
x
2). 3
25
五、1、( x y)2 2x C ；
2、 y 1 sin x 1 ； xC
2、2x ln y ln2 y C ；
3、 x Cy3 1 y2. 2
二、1、 y sin x 5ecos x 1；
2、2 y
x3
x
3e
1 x2
1
.
三、v
k1 k2
t
k1m k22
(1
k0
em
t
).
四、1、 xy x C ；
2、
x2 y2
C
2 3
x3 (ln
即
两端积分得对应齐u次 方Q程( x通)e解 P
(
x
)yd x C dx
e P C
(
x
)d
x
故原方程的通解
y
e
P(
x)d
x
Q(
x
)
e
P
(
x
)
d
x
d
x
C
即
y Ce P( x)d x
e P(x)d x
Q(
x
)
e
P
(
x
)d
x
d
x
齐次方程通解
u
2(x
3
1)2
C
3
4
例2. 求方程
dx xy
2 y
x y3
d
y
高等数学27-414 74 一阶线性微分方程
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.
实质: 未知函数的变量代换. 新未知函数 u( x) 原未知函数 y( x),
作变换 y u( x)e P( x)dx
y
u(
x )e
P ( x)dx
u(
x )[ P (
x )]e
P(
x ) dx
,
将y和y代入原方程得 u( x)e P( x)dx Q( x),
解 P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
y
e
1 x
dx
s
in x
x
e
1 x
dx
dx
C
e ln
x
sin x
x
eln
xdx
C
1 x
sin
xdx
C
1 cos x C .
x
例2 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲
线 y f ( x)与 y x3 ( x 0)截下的线段PQ之
y.
练习 题
一、求下列微分方程的通解: 1、 y y cos x e sin x ； 2、 y ln ydx ( x ln y)dy 0； 3、( y 2 6x) dy 2 y 0. dx
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
1、dy dx
线性非齐次方程
dy dx
P( x) y
Q( x).
讨论
dy y
Q( x) y
P(
x)dx,
两边积分
ln
y
Q( x)dx y
P(
x)dx,
设
Q( x)dx为v( y
x),
ln y v( x) P( x)dx,
第四节 一阶线性微分方程第五节
2
2
2
dx
习题 7-4 // P315: 1(1,2,8), 2(4).
1.设函数 f ( x )在[0, π]上连续 , 且 ∫ f ( x )dx = 0,
π
∫0
π
7F f ( x ) cos xdx = 0, 试证 : 在(0, π )内至少存在
0
两个不同的点 ξ1 , ξ 2 , 使f (ξ1 ) = f (ξ 2 ).
7F
第五节 可降阶的高阶微分方程
一、y ( n ) = f ( x )型
解法：逐次积分法.
( 3) 求方程 y = sin x 的通解. 例1
解
方程两端分别逐次积分, 得 :
y ( 2) = ∫ sin xdx = − cos x + C1
y′ = ∫ ( − cos x + C1 )dx = − sin x + C1 x + C 2 y = ∫ ( − sin x + C1 x + C 2 )dx
∴ u′( x ) = Q( x )e ∫ P ( x )dx
积分得 u( x ) = ∫ Q( x )e ∫
P ( x )dx
dx + C ,
− P ( x )dx dx + C )e ∫ ,
∴ 非齐次方程的解为y = ( ∫ Q( x )e ∫
P ( x )dx
y = ( ∫ Q( x )e ∴ 非齐次方程的解为
dx + C )e
− ∫ P ( x )dx
.
P ( x )dx dy − ∫ P ( x )dx ∫ = + ( ( ) ) . y Q x e dx C e + P ( x ) y = Q( x ), ∫ dx 1 sin x 的通解. 例1 求方程 y′ + y = x x 1 sin x 解法1. P ( x ) = , Q ( x ) = , x x 1 1 sin x ∫ x dx − ∫ x dx ⋅e y = ∫ dx + C e x sin x ln x dx + C e − ln x = ∫ ⋅e x
一阶线性微分方程及伯努利方程
3
例1. 解方程
dy
2y
5
(x 1) 2 .
dx x 1
解:
先解
dy 2y 0 , 即 dx x 1
dy 2dx y x 1
积分得 ln y 2 ln x 1 ln C , 即 y C(x 1)2
用常数变易法求特解. 令 y u (x) (x 1)2 , 则
y u (x 1)2 2u (x 1)
y
两边积分得 ln y P(x)dx ln C
故通解为
y C e P(x)dx
2
2. 解非齐次方程 dy P(x) y Q(x) dx
用常数变易法: 作变换 y(x) u(x) e P(x) d x , 则
ue P(x)d x P(x)u e P(x)d x P(x) u e P(x)d x Q(x)
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
8
例3. 求方程 dy y a ( ln x)y2 的通解. dx x
解: 令 z y1, 则方程变形为
dz z a ln x dx x
其通解为
z
e
1 x
dx
(a
ln
x)
e
1 x
dx
dx
C
x C a ( ln x)2
2 将 z y1代入, 得原方程通解:
dy y
dy y
将 x 看作 y 的函数，则是形如 x p( y)x q( y)
的线性微分方程
p( y) 1 q( y) y2
y
5
dx 1 x y2 dy y
通解为 4xy y4 C
6
例3. 求方程
dx xy
2 y
一阶线性微分方程的标准形式.
1 cos x C .
x
例3、求方程(1 y2 ) ydx 2(2xy2 1)dy 0的通解。
解 dx 4y x 2 dy 1 y2 y(1 y2 )
x
e
4 1
y y2
dy
[
4y
2 e 1 y2 dydy c]
y(1 y 2 )
(1
1 y2
)2
(2
ln
y
y2
c)
例4 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲
f (0) ln 2 c ln 2
则f ( x) ln 2 e2x
例2 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
解 P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
y
e
1 x
dx
sin x
x
e
1 x
dx
dx
C
e
ln
x
sin x
x
eln
xdx
C
1 x
si
n
xdx
C
解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.
两端除以yn，得 yn dy P( x) y1n Q( x), dx
令z y1n , 则 dz (1 n) yn dy ，
dx
dx
代入上式 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x), dx
求出通解后，将 z y1n 代入即得
y1n z
线 y f ( x)与 y x3 ( x 0)截下的线段PQ之
长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x).
解
x
f ( x)dx
( x3 y)2 ,
0
y
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n
1 n z y 求出通解后，将 代入即得
y
1 n
z
( 1 n ) P ( x ) dx ( Q ( x )(1 n)e dx C ).
e
( 1 n ) P ( x ) dx
dy 4 2 y x y 的通解. 例 5 求方程 dx x
解
1 dy 4 2 y x , 两端除以y ，得 y dx x
3 2
y
0
x
ydx x 3 y,
2
Q
y x3
两边求导得 y y 3 x ,
解此微分方程
o
P
y f ( x)
x
x
y y 3 x 2
2 dx ye C 3 x e dx dx
Ce x 3 x 2 6 x 6,
2x 0
t f ( )dt ln 2， 求f ( x ). 2
解：f ( x ) f ( x ) 2
y 2 y y 2 y 0
y f ( x ) ce
f (0) ln 2
2 dx
ce 2 x
c ln 2
则f ( x ) ln 2 e 2 x
由 y | x0 0,
得 C 6,
所求曲线为 y 3( 2e x x 2 2 x 2).
二、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy n P ( x ) y Q( x ) y dx
( n 0,1)
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.
即 y e v ( x ) e P ( x ) dx . 非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比: C u( x )
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 . 实质: 未知函数的变量代换.
新未知函数 u( x ) 原未知函数 y( x ),
作变换
y u( x )e
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
P ( x ) dx P ( x ) dx y [ Q( x )e dx C ]e
Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
P ( x ) dx Q( x )e dx
例1、 若 连 续 函 数 f ( x )满 dx x
sin x x
1 dx e x dx
例3、求方程 (1 y 2 ) ydx 2(2 xy 2 1)dy 0的通解。
dx 4y 2 解 x 2 dy 1 y y(1 y 2 )
xe
4y 1 y
2
dy
[
e y(1 y 2 )
1 sin x 例2 求方程 y y 的通解. x x sin x 1 Q( x ) , 解 P( x) , x x
ye C ln x sin x ln x e e dx C x 1 1 sin xdx C cos x C . x x
P ( x ) dx
P ( x ) dx
y u( x )e
P ( x ) dx u( x )[ P ( x )]e ,
u ( x ) e 将y和y 代入原方程得
P ( x ) dx
Q( x ),
P ( x ) dx dx C , 积分得 u( x ) Q( x )e
一阶线性微分方程的解法
dy P ( x ) y 0. 1. 线性齐次方程 dx
(使用分离变量法)
dy P ( x )dx , y
dy y P ( x )dx ,
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
2
4y 1 y
2
dy
dy c ]
1 (1 y 2 )
2 ( 2 ln y y c ) 2
例4 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲 3 线 y f ( x )与 y x ( x 0)截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
解
0
x
f ( x )dx ( x y ) ,
.
dy P ( x ) y Q( x ). 2. 线性非齐次方程 dx dy Q( x ) P ( x ) dx, 讨论 y y Q( x ) dx P ( x )dx , 两边积分 ln y y Q( x ) 设 dx为v ( x ), ln y v ( x ) P ( x )dx , y
n
令z
y,
2
dz 4 2 z x2 , dx x
2
x 即 y x4 x C . 解得 z x C , 2 2
例6 用适当的变量代换解下列微分方程:
1. 2 yy 2 xy xe
2
x2
;
1 x 2 1 y xy xe y , 解 2 dz dy 1( 1) 2 令z y y , 则 dx 2 y dx ,
第四节 一阶线性微分方程
一、线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P ( x ) y Q( x ) dx
当Q( x ) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x ) 0, 上方程称为非齐次的.
dy dx 2 例如 y x , x sin t t 2 , 线性的; dx dt yy 2 xy 3, y cos y 1, 非线性的.
解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.
dy 1 n P ( x ) y Q( x ), 两端除以y ，得 y dx dz n dy 1 n ， 令z y , 则 (1 n) y dx dx dz (1 n) P ( x ) z (1 n)Q( x ), 代入上式 dx