一阶线性微分方程的标准形式.

即 y e v ( x ) e P ( x ) dx . 非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比: C u( x )
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 . 实质: 未知函数的变量代换.
新未知函数 u( x ) 原未知函数 y( x ),
作变换
y u( x )e
n
n
1 n z y 求出通解后，将 代入即得
y
1 n
z
( 1 n ) P ( x ) dx ( Q ( x )(1 n)e dx C ).
e
( 1 n ) P ( x ) dx
dy 4 2 y x y 的通解. 例 5 求方程 dx x
解
1 dy 4 2 y x , 两端除以y ，得 y dx x
由 y | x0 0,
得 C 6,
所求曲线为 y 3( 2e x x 2 2 x 2).
二、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy n P ( x ) y Q( x ) y dx
( n 0,1)
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.
2x 0
t f ( )dt ln 2， 求f ( x ). 2
解：f ( x ) f ( x ) 2
y 2 y y 2 y 0
y f ( x ) ce
f (0) ln 2
2 dx
ce 2 x
c ln 2
则f ( x ) ln 2 e 2 x
一阶线性微分方程的解法
dy P ( x ) y 0. 1. 线性齐次方程 dx
(使用分离变量法)
dy P ( x )dx , y
dy y P ( x )dx ,
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
2

4y 1 y
2
dy
dy c ]

1 (1 y 2 )
2 ( 2 ln y y c ) 2
例4 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲 3 线 y f ( x )与 y x ( x 0)截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
解
0
x
f ( x )dx ( x y ) ,
.
dy P ( x ) y Q( x ). 2. 线性非齐次方程 dx dy Q( x ) P ( x ) dx, 讨论 y y Q( x ) dx P ( x )dx , 两边积分 ln y y Q( x ) 设 dx为v ( x ), ln y v ( x ) P ( x )dx , y
第四节 一阶线性微分方程
一、线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P ( x ) y Q( x ) dx
当Q( x ) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x ) 0, 上方程称为非齐次的.
dy dx 2 例如 y x , x sin t t 2 , 线性的; dx dt yy 2 xy 3, y cos y 1, 非线性的.
P ( x ) dx
P ( x ) dx
y u( x )e
P ( x ) dx u( x )[ P ( x )]e ,
u ( x ) e 将y和y 代入原方程得
P ( x ) dx
Q( x ),
P ( x ) dx dx C , 积分得 u( x ) Q( x )e
1 sin x 例2 求方程 y y 的通解. x x sin x 1 Q( x ) , 解 P( x) , x x
ye C ln x sin x ln x e e dx C x 1 1 sin xdx C cos x C . x x
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
P ( x ) dx P ( x ) dx y [ Q( x )e dx C ]e
Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
P ( x ) dx Q( x )e dx
例1、 若 连 续 函 数 f ( x )满 足 关 系 式 f ( x)

1 dx x
sin x x
1 dx e x dx
例3、求方程 (1 y 2 ) ydx 2(2 xy 2 1)dy 0的通解。
dx 4y 2 解 x 2 dy 1 y y(1 y 2 )
xe

4y 1 y
2
dy
[
e y(1 y 2 )
解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.
dy 1 n P ( x ) y Q( x ), 两端除以y ，得 y dx dz n dy 1 n ， 令z y , 则 (1 n) y dx dx dz (1 n) P ( x ) z (1 n)Q( x ), 代入上式 dx
n
令z
y,
2
dz 4 2 z x2 , dx x
2
x 即 y x4 x C . 解得 z x C , 2 2
例6 用适当的变量代换解下列微分方程:
1. 2 yy 2 xy xe
2
x2
;
1 x 2 1 y xy xe y , 解 2 dz dy 1( 1) 2 令z y y , 则 dx 2 y dx ,
3 2
y
0
x
ydx x 3 y,
2
Q
y x3
两边求导得 y y 3 x ,
解此微分方程
o
P
Hale Waihona Puke Baidu
y f ( x)
x
x
y y 3 x 2
2 dx ye C 3 x e dx dx
Ce x 3 x 2 6 x 6,