流体力学四章节流体运动学

（4.6）
w
iwx
jwy
kwz
w
wx2
w
2 y
wz2
p px, y, z, t
（4.7）
x, y, z, t
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（4.8）
第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
因为质点在流场内是连续的，所以流体加速度的各分量为
同样
dwx wx wx x wx y wx z dt t x t y t z t
DB Dt
B t
wx
B x
wy
B y
wz
B z
来自百度文库
B t
w B
t
w B
（4.11）
（三）两种描述方法的关系 拉格朗日法和欧拉法两种表达式可以互换。例如，从拉格朗日法的坐标 位置表达式（4.1），可以求出用x，y，z，t 表示的拉格朗日变数a，b， c 的关系式
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第四章 流体运动学
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第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
既然欧拉法是描述流场内不同位置的质点的流动参量随时间的变化，所
以流动参量是空间坐标（x，y，z）和时间t 的函数，对速度、压力和密
度为
wx wx x, y, z, t
wy wy x, y, z, t
wz wz x, y, z, t
dt
dt
dt
求此流场的迹线方程式。
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第四章 流体运动学
第二节 迹线、流线、流管
解 求解上述微分方程，得到
x Aet t 1 y Bet t 1 z C
当 t t0 时，x a ，y b ， z c ，代入上式得到
A
a
t0 et0
1
B
b
t0 1 e t0
将A，B，C值代入前式得到
根据上述流线的特性可以推导出流线方程式。设流线上任一点M
（x，y，z）的速度为w，坐标轴上的三个分速度wx，wy，wz，w的方向
余弦为
cosw, x
wx w
，c
osw,
y
wy w
，
cosw, z
wz w
而在M点的切线T与坐标轴之间夹角的余弦为
cosT , x
dx dl ，
cosT, y
dy ， dl
（e）
第11页 C3 3 a, b, c, t0
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第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
将（e）式代人（c）式，即可得到拉格朗日表达式（4.1）。 由于两种方法的互换性，故它们在流体动力学的研究中都可采用。
但欧拉法比较简便，在讨论整体流场的运动特性时大多采用该方法。
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p pa, b, c, t
（4.4）
a, b, c, t
（4.5）
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第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
由此可见，用拉格朗日法可以描述各个质点在不同时刻的参量变化。 因为拉格朗日法是追踪个别质点的描述方法，所以用它可以研究流体运 动的轨迹和轨迹上各流动参量的变化。但是用这种方法研究整个流场的 特性是不方便的。因而，除个别情况（如研究流体的波动和振荡等）外， 都不采用拉格朗日法。 （二）欧拉法
运动情况。 由（4.1）式可知，质点的运动速度也是（a，b，c）与t 的函数
wx
dx dt
x t
xa,
b,
c,
t
wy
dy dt
y t
ya,
b, c, t
（4.2）
wz
dz dt
z t
za, b,
c,
t
这是因为a，b，c不随时间变化，所以
a t
0
b
、t
0
c
、t
0
dx
、dt
x
t 、
dy dt
x a、y b、 z c ，所以
a F1C1, C2 , C3, t0
b F2 C1, C2 , C3, t0
c F3 C1, C2 , C3, t0
（d）
据此可以求出用a、b、c表示的C1，C2，C3的表达式
C1 1a, b, c, t0
C2 2 a, b, c, t0
流体力学
中国科学文化出版社
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第一篇 流体力学基础
第一章 第二章 第三章 第四章
绪论 场论与正交曲线坐标 流体静力学 流体运动学
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第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
一、微团运动和整体运动 流体运动的全部范围叫“流场”，经过管道或明渠流动的流场叫
“通道流场”或“径流流场”，绕过物体流动的流场叫“绕流流场”。 从微观的角度来看，充满流场的是流体的分子。但流体动力学不讨论 微观的分子运动，只讨论宏观的质点和微团运动。所谓流体的质点， 是指流场中极小的单元，在这个单元中流体的运动参量是相同的。严 格来讲，流体和固体不同，由于流体分子之间的作用力较固体小，它 占有一定的空间，但可以不保持一定的形状，并可以互相移位，所以 运动中的流体，其分子之间的运动参量并不相同。由无数分子组成的 流体质点其参量也不会相同，但是可以认为其中参量的差别非常小， 可以看成是相同的。流体微团是由质点组成的，其中质点的流动参量 的差别趋于微量，这样在讨论流场中参量变化规律时，从微团出发便 于进行数学处理。
日法表示流体质点运动时才能作出迹线。迹线的特点是：对于每一个质 点都有一个运动轨迹，所以迹线是一族曲线，而且迹线只随质点不同而 异，与时间无关。在以欧拉法表示流体运动特性时，可以用欧拉法与拉 格朗日法的互换求出描述迹线的方程式。例如，一个流场的欧拉表达式 为
wx wx x, y, z, t wy wy x, y, z, t wz wz x, y, z, t
cosT , z
dz dl
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第四章 流体运动学
第二节 迹线、流线、流管
dl 是在M点流线上的微元弧长，dx ，dy，dz 为 dl 在坐标轴方向上的分量。 由于流线的切线T与速度w重合，所以两者与坐标轴的夹角余弦应相等，即
wx w
dx dl
，
wy w
dy dl
，
wz w
dz dl
x xa, b, c, t
y ya, b, c, t
z za, b, c, t
（4.1）
例如
x a 1 bt
y b ct 2
z a bt c
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第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
到其当它t 位 t置0 ，0但时是，与质（点a的，坐b，标c位）置有为关（，a这，样b，就c可）以。区t 别t0不时同，的该质质点点及运其动
wx t
wx
wx x
wy
wx y
wz
wx z
dwy dt
wy t
wx
wy x
wy
wy y
wz
wy z
dwz dt
wz t
wx
wz x
wy
wz y
wz
wz z
（4.9）
写成矢量形式
a
w t
w
w
t
w
w
（4.10）
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第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
上式中 w 称为流体运动的局部加速度，或称时变加速度，它是由速度
由此可得
dl dx dy dz w wx wy wz
（4.13）
这就是流线微分方程式。积分上式时，t 保持不变，可得到两个曲面方程，
它们的交线即为时刻 t 的流线方程。
例题4.2 设有流场，其速度矢为 w (2 y t)i 3x，j 求 t 0
时通过点（1，1，1）的流线方程。
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y t
dz
、dt
z t
。
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第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
同样，质点的加速度也是拉格朗日变数与时间的函数
ax
wx t
2x t 2
xa, b, c, t
ay
wy t
2 y t 2
ya, b, c, t
（4.3）
az
wz t
2z t 2
za, b, c, t
不同质点的流体其压力和密度也同样是（a，b，c）与t的函数
第一节 流体运动的描述
a f1x, y, z, t b f2 x, y, z, t
c f3x, y, z, t
（a）
将式（a）代入式（4.2），即可得到欧拉法的表达式（4.6）。反之，将 欧拉法的质点速度表达式（4.6）代入式（4.2），可得到
wx
x t
wx x,
y,
z,
t
wy
y t
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第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
因为拉格朗日法描述每一个流体质点的运动，所以必须把流场中连续存 在的质点加以区别。取某一起始时刻 t t0时质点的空间坐标位置（a，b， c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。质点在流场中是连续存
在的，所以拉格朗日变数在坐标系中也是连续存在的。质点的空间位置 既随不同质点而异，又随时间不同而变化，也就是说质点的空间位置（x， y，z）是拉格朗日变数（a，b，c）和时间t 的函数
wy x,
y,
z,
t
wz
z t
wz x,
y,
z, t
（b）
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第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
将（b）式进行积分，则
x F1C1, C2 , C3, t
y F2 C1, C2 , C3, t
z F3 C1, C2 , C3, t
（c）
式中C1，C2，C3为积分常数。因为按拉格朗日法，当t t（0 起始时刻）时，
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第四章 流体运动学
第二节 迹线、流线、流管
由于
wx
dx dt
wy
dy dt
wz
dz dt
则
dx dy dz dt
（4.12）
wx wy wz
这就是质点的轨迹微分方程式，即迹线微分方程式，其中t是独立变量。
例题4.1 设有一流场，其欧拉表达式为
dx x t dy y t dz 0
欧拉法是研究整个流场内不同位置上的流体质点的流动参量随时间 的变化。也就是用同一瞬时的全部流体质点的流动参量来描述流体的运 动。用这种方法不能表示个别质点从起始到终了的全部运动过程。因为 空间内的同一个位置，在此时刻为一个质点所占据，在另外时刻，则可 能为另外一个质点所占据。它不象拉格朗日法那样，只要是同一个拉格 朗日变数（a，b，c），不管在任何时刻都表示同一个质点。但是欧拉法 可以表示同一瞬时整个流场的参量，这在工程实际上是非常有用的。
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第四章 流体运动学
第二节 迹线、流线、流管
解：此流场中的流线微分方程式为
dx dy dz (2y t) 3x 0
保持t不变，积分上式得到
3 2
x2
y2
ty
C1
z C2 t=0时，x=1，y=1，z=1，则C1=1/2，C2=1。代入上式得到所求的流线 方程式为
第四章 流体运动学
第二节 迹线、流线、流管
除了研究流体质点的流动参量随时间的变化情况外，为了使整个 流场形象化，从而得到不同流场的运动特性，还要研究同一瞬时质点与 质点间或同一质点在不同时刻流动参量的关系，也就是质点参量的综合 特性。前者称为流线研究法，后者称为迹线研究法。
一、迹线 迹线就是流体质点运动的轨迹线。在一般情况下，只有以拉格朗
Cc
x
a
t0 et0
1 et
t
1
y
b
t0 e t0
1
e
t
t
1
zc
这就是流场中的迹线方程式，也就是质点空间坐标的拉格朗日表达式，它
表示一迹线族。若某一个质点，当 t0 0时其起始位置 a 1，b 2，c 3，
则这个质点的迹线方程式为 x 2et t 1 y 3et t 1 z 3
t
场随时间的变化引起的；w w 称为流体运动的迁移加速度，或称位变
加速度，它是由速度场的不均匀性引起的。质点的总加速度等于两者之和。
把加速度分解成局部和迁移两部分的做法，可以推广到其它物理量如p、等。
流体质点的物理量对于时间的变化率称为该质点物理量的导数， 简称质点导数。任一物理量 B 对时间的变化率可写成
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第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
流场的整体运动由许许多多的微团运动所组成，各个微团的流动参量并不 相同，因此在整体运动中各处的运动参量是不同的，而且相当复杂。流体 动力学的基本理论都是从流体微团运动出发而推导出来的。对于整体运动， 采用参量的平均值（如平均流速、平均密度等）来描述，并加以必要的修 正，然后通过试验验证，最后用于指导实践。计算流体力学则是通过数值 计算途径直接将微团理论应用到整体运动中，解决整体运动的各种计算问 题。 二、研究流体运动的两种方法 在描述流体质点运动时，通常采用两种方法。一种叫拉格朗日法，一种叫 欧拉法。按笛卡尔正交坐标系统特性，两者区别如下： （一）拉格朗日法 拉格朗日法是研究流场内个别流体质点在不同时刻其位置、流速、压力的 变化。也就是用不同质点的运动参量随时间的变化来描述流体的运动。用 这种方法可以表示和了解流体个别质点的各种参量随时间的变化情况。
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第四章 流体运动学
第二节 迹线、流线、流管
若将连续的不同时间t代入上式，得到一系列空间坐标（x，y，z），由 此可描绘出该质点的轨迹。
二、流线 任一时刻t，流场中每一点均可沿该点速度方向作一微元线段，这
些线段的连线构成一簇曲线，这些曲线中的每一条均称为流线。所以 流线上任意一点的切线方向就是该点的流速方向。