大学物理2-1第三章习题答案

物 理 习 题 三

3-1 以速度0v 前进的炮车，向后发射一炮弹，已知炮车的仰角为θ，炮弹和炮车的质

量分别为m 和M ，炮弹相对炮车的出口速率为v ，如图所示。求炮车的反冲速率是多大?

[解] 以大地为参照系，取炮弹与炮弹组成的系统为研究对象，系统水平方向的动量守恒。由图可知炮弹相对于地面的速度的水平分量为v v '-θcos ，根据动量守恒定律

()()v M v v m v m M '-'-=+-θcos 0

所以 ()m

M mv v m M v +++=

'θ

cos 0

此即为炮车的反冲速率。

3-2 质量为M 的平板车，在水平地面上无摩擦地运动。若有N 个人，质量均为m ，站在车上。开始时车以速度0v 向右运动，后来人相对于车以速度u 向左快跑。试证明：(1)N 个人一同跳离车以后，车速为

Nm

M Nmu

v v ++

=0

(2)车上N 个人均以相对于车的速度u 向左相继跳离，N 个人均跳离后，车速为

()m

M mu

m N M mu Nm M mu v v +++-++++=' 10

[证明] (1) 取车和人组成的系统为研究对象，以地面为参照系，系统的水平方向的动量守恒。人相对于地面的速度为u v -，则

()()Mv u v Nm v Nm M +-=+0

所以 Nm

M Nmu

v v ++

=0

(2) 设第1-x 个人跳离车后，车的速度为1-x v ，第x 个人跳离车后，车的速度为x v ，根据动量守恒定律得

()[]()()[]x x 1x 1v m x N M u v m v m x N M -++-=+-+-

所以 ()M

m x N mu

v v ++-+

=-11x x

此即车速的递推关系式，取N x ,,2,1 =得

M

m mu

v v ++=-1N N

M

m mu

v v ++

=--22N 1N ……………………

()M m N mu

v v +-+

=112 M

Nm mu

v v ++

=01

将上面所有的式子相加得

()M

m mu

M m mu M m N mu M Nm mu v v ++

++++-+++

=210N 此即为第N 个人跳离车后的速度，即

()

mu

N M mu Nm M mu v v +

+-++++=' 10

3-3 质量为m =0.002kg 的弹丸，其出口速率为300m ，设弹丸在枪筒中前进所受到

的合力9800400x F -=。开抢时，子弹在x =0处，试求枪筒的长度。

[解] 设枪筒长度为L ，由动能定理知

2

022121mv mv A -=

其中⎰⎰-==L L dx x

Fdx A 00)9

8000400(

9

40004002

L L -

= 而00=v ， 所以有：

22

300002.05.09

4000400⨯⨯=-L L

化简可得： m

45.00

813604002==+-L L L

即枪筒长度为0.45m 。

3-4 在光滑的水平桌面上平放有如图所示的固定的半圆形屏障。质量为m 的滑块以初速度0v 沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为μ，试证明：当滑块从屏障的另一

端滑出时，摩擦力所作的功为()

12

1220-=

-πμe mv W

[证明] 物体受力：屏障对它的压力N ，方向指向圆心，摩擦力f 方向与运动方向相反，大小为 N f μ= (1)

另外，在竖直方向上受重力和水平桌面的支撑力，二者互相平衡与运动无关。 由牛顿运动定律 切向 t ma f =- (2)

法向

R v m N 2

= (3)

联立上述三式解得 R

v a 2

t μ-=

又 s

v

v t s s v t v a d d d d d d d d t ===

所以 R

v s v v 2

d d μ

-= 即 s R

v v

d d μ-=

两边积分，且利用初始条件s =0时，0v v =得

0ln ln v s R

v +-

=μ

即 s

R

e v v μ

-=0

由动能定理 2

022

121mv mv W -=

，当滑块从另一端滑出即R s π=时，摩擦力所做的功为 ()

12

1212122020220-=-=--πμ

πμ

e mv mv e mv W R R

3-5 某弹道火箭初始总质量9.120=M t ，内装m ＝9.0t 的燃料，由静止开始发射。发射时喷气速率3100.2⨯=u s m ，喷气流量为q ＝125s kg ，二者都是常量。不计重力及空气阻力，求火箭受到的反推力和它在燃料烧尽后的速度。

[解] 取d t 时间内喷出的气体为研究对象，根据动量定理

m u p t F d d d =='

所以 uq t

m u t p F ===

'd d d d 火箭受到的反推力 uq F F ='= (1)

N 105.2125100.253⨯=⨯⨯=F

设燃料燃烧尽后火箭的速度为v ，根据动量定理

()v qt M t F d d 0-= (2)