一次函数解题技巧与疑难详解

一次函数

【一次函数图象的平移规律】

一个点作上下平移时，横坐标不变，纵坐标发生变化（向上平移,纵坐标变大；向下平移,纵坐标变小）。同理，一个点作左右平移时，纵坐标不变，横坐标发生变化（向右平移,横坐标变大，向左平移，横坐标变小）。由于图形在平移时，图形上的每一个点都作了相同的平移，所以在理解一次函数平移时，只须抓住一个点的变化去理解就行了。

直线y=kx+b上下平移m个单位时，每个对应点的x取值不变，但对应的函数值y增加或减少m个单位，故解析式变为y=kx+b±m。

直线y=kx+b左右平移时，我们不防将函数解析式变一下形，得到 x = y

k－

b

k

当直线y=kx+b，即x = y

k－

b

k左右平移m个单位时，每个对应点的y取值不变，但对应的函数值x减

少或增加m个单位，故解析式变为 x = y

k－

b

k-m或 x =

y

k－

b

k+m 化成一般式就得到 y=kx+b±

km 即y=k(x±m)+b

观察得出规律：

直线y=kx+b平移时，“上加下减只变b,左加右减括号里”

【例谈求一次函数解析式的常见题型】

一. 定义型

例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。

注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证。如本例中应保证

二. 点斜型

例2. 已知一次函数的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。

三. 两点型

已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。

五. 斜截型

例5. 已知直线与直线平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。

六. 平移型

例6. 把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。

七. 实际应用型

例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。

注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。

八. 面积型

例8. 已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。

九. 对称型

若直线与直线关于

（1）x轴对称，则直线l的解析式为

（2）y轴对称，则直线l的解析式为

（3）直线y＝x对称，则直线l的解析式为

（4）直线对称，则直线l的解析式为

（5）原点对称，则直线l的解析式为

例9. 若直线l与直线关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。

【一次函数图象的确定】

一次函数的图象y=kx+b(k≠0)是一条直线，而决定这条直线位置的两个因素是k和b，其中k的符号决定直线的方向（上升或下降），b是直线与y轴交点的纵坐标，它的符号决定直线与y 轴交点的位置。

所以，我们可以由k和b的符号确定直线y=kx+b(k≠0)的位置；反过来，也可以由直线y=kx+b(k≠0) 的位置确定k和b的符号。

1、确定直线的位置

例：如果一条直线L经过不同的三点A(a,b),B(b,a),C(a-b,b-a)，那么直线L经过（）

A、第二四象限

B、第一二三象限

C、第一三象限

D、第二三四象限

2、确定点的位置

例：如果函数y=ax+b(a0)的图象交于点P，那么点P位于（）

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

3、确定字母系数的取值范围

例：如果一次函数y=kx+b的图象经过第一象限，且与y轴的负半轴相交，那么（）

A.K>0,B>0

B.k>0,b<0

C.k<0,b>0

D.k<0,b<0

【一次函数增减性的应用】

一次函数y=kx+b(k≠0)，k决定了直线的倾斜程度，也就决定函数的增减性。当k〉0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。如果两条直线平行，那么当k必然相等。函数增减性主要用于以下方面：

1、判断大小

例：已知点A(x 1,y 1)和点B(x 2,y 2)都在直线y= - 1

2 x+2上，且x 1>x 2，则y 1与y 2的大在小关系是y 1 y 2

2、判断经过的象限

例：当k<0时，一次函数y=k(x-k)的图象不经过第 象限。 3、判断k 的符号

例：直线y=kx+b 经过第二、三、四象限，则k 0 4、写解析式

例：已知一次函数的图象经过点（－1，0），且y 随x 的增大而增大，请你写出一个符合条件的函数关系

式。 5、判断图象

例：一次函数y=kx+3中，k>0时，它的图象可能是

【一次函数与方程（组）、不等式】 1、一次函数与一元一次方程的关系

一次函数y=kx+b 的图象与x 轴交于点A ，图象在点A 处的纵坐标y=0，即函数值等于0时，自变量

x 的值就是方程kx+b=0的解，即x=-b

k

.

归纳：当某一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b ，求

它与x 轴的交点的横坐标的值。

2、一次函数与二元一次方程的关系

二元一次方程mx+ny+h=0(m,n 为不等于0的常数)，可以变形为y=kx+b(k= -

m n ≠0,b= - h

n

),一次函数y=kx+b 图象上所有点的坐标（x,y ）即二元一次方程的解，所以它的解有无数个。

归纳：方程y-kx-b=0(k ≠0)的所有解(x,y)都可以作为点的坐标，并且这些点都在一次函数y=kx+b 的图

象上。反之，一次函数y=kx+b 的图象上所有点的坐标都是方程y-kx-b=0的解，所以方程y-kx-b=0的所有解也就组成了一次函数y=kx+b 的图象（直线）。

3、一次函数与二元一次方程组的关系

一次函数y=kx 1+b 1与一次函数y=kx 2+b 2相交于点A ，此时可以发现这两条直线的解析式组成方程组

y=kx 1+b 1

y=kx 2+b 2 点A 的坐标不是此方程组的解。

归纳：若二元一次方程组有唯一解，则两个二元一次方程所对应的两个一次函数图象就会交于一占；

若二元一次方程组无解，则方程组所对应的两个一次函数的图象无交点（即两直线平行）；若方程组有无数组解，则所对应的两个一次函数的图象有无数个交点（即两直线重合）。

反之，若两个二元一次方程组所对应的两个一次函数的图象有唯一交点，则对应的二元一次方程组有唯一解；图象无交点（即平行），则对应的二元一次方程组无解；图象有无数个交点（即重合），则对应的二元一次方程组有无数组解。 4、一次函数与不等式

（1）一次函数y=kx+b 的图象与x 轴交于一点A ，图象在点A 处的纵坐标y=0,即函数值等于0，此时，在x 轴上方的直线部分就是函数值大于0的部分，于是自变量x> - b

k 时,得到kx+b>0；在x 轴下方的直线部分

就是函数值小于0的部分，于是自变量x< -b

k

时，可以得到kx+b<0.