反三角函数大全

反三角函数

Inverse trigonometric functions

第1节反三角函数·概述

原创/O客

把反正弦函数y=arc sinx，反余弦函数y=arc cosx，反正切函数y=arc tanx，反余切函数y=arc cotx统称为反三角函数。

它们都是三角函数的反函数。严格地说，准确地说，它们是三角函数在某个单调区间上的反函数。

以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。

●反正弦的值域

先从反正弦函数的原函数正弦函数说起。

正弦函数y=sinx在定义域R上没有反函数。因为它在定义域R上不单调，是分段单调。从逆向映射来看，正弦函数y=sinx的每一个函数值y，对应着无数个自变量x的值。当我们从y=sinx中解出x后，x与y不能构成函数关系，所以不存在反函数。

但是，当我们取正弦函数y=sinx的一个单调区间，如[-π/2,π/2]。这时，每一个函数值y，对应着唯一的一个自变量x的值。当我们从y=sinx中解出 x后，x与y构成函数关系，所以存在反函数。记为y=arc sinx。把原函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的值域[-1,1],叫做反函数y=arc sinx的定义域。并把原函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的定义域[-π/2,π/2],叫做反函数y=arc sinx的值域。

●请参考我的三角函数salon

第2节反三角函数·理解与转化

原创/O客

以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。

●符号理解

初学反三角函数者往往被它那长长的字符串所迷惑，很不习惯。

一方面，arc sinx这七个字母是一个整体，缺一不可。

另一方面，符号arc sinx 可以用下面的三句话来理解：

①它是一个角。即一个实数。arc sinx ∈R .

②这个角在-π/2到π/2之间(含端点)。-π/2≤arc sinx ≤π/2。

③这个角的正弦值等于x 。sin(arc sinx)=x.

●互化

反三角函数问题往往要转化为三角函数问题，因为后者拥有数十个公式资源，使你解决问题时如虎添翼。

有互化公式（充要条件）如图。

●请参考我的三角函数salon

第3节 反正弦函数的图象和性质

原创/O 客

函数名称

反正弦函数 解析式

y=arc sinx 图象

反正弦曲线（图3） 1.定义域

[-1,1] 2.值域

[-π/2, π/2] 3.有界性

|y|≤π/2 4.最值 x=1时，y max=π/2

x=-1时，y min=-π/2

5.单调性

增函数 6.奇偶性

奇函数. 7.周期性 无 α=arc sinx x=sin α |x|≤1 -π2 ≤α≤π2

8.对称性关于原点对称

9.反函数y=arc sinx，x∈[-π/2, π/2]

10.与反余弦的关系 arc sinx+arc cosx=π/2

●请参考我的三角函数salon

第4节反余弦函数

的图象和性质

原创/O客

函数名称反余弦函数

解析式y=arc cosx

图象反余弦曲线（如图）

1.定义域[-1,1]

2.值域[0, π]

3.有界性0≤y≤π

4.最值x=-1时，y max=π

x=1时，y min=0

5.单调性减函数

6.奇偶性

非奇非偶函数 7.周期性 无

8.对称性 对称中心(0, π/2)

9.反函数 y=cosx, x ∈[0, π]

10.与反正弦的关系 arc sinx+arc cosx=π/2

●请参考我的三角函数salon 第5节 反正切函数的图象和性质 原创/O 客 函数名称

反正切函数 解析式

y=arc tanx

图象

反正切曲线（如图） 1.定义域

R 2.值域

(-π/2, π/2) 3.有界性 |y|<π/2

4.最值

无 5.单调性

增函数 6.奇偶性

奇函数 7.周期性 无

8.对称性 关于原点对称

9.渐近线 y=±π/2

10.反函数 y=tanx, x ∈(-π/2, π/2)

11.与反余切的关系 arc tanx+arc cotx=π/2

●请参考我的三角函数salon

1 O 函数 y=arc cosx 的图象 y

x y=arc cosx -1 π

π2

解析式

y=arc cotx 图象

反余切曲线（如图） 1.定义域

R 2.值域

(0, π) 3.有界性

0

无 5.单调性

减函数 6.奇偶性

奇函数 7.周期性 无

8.对称性 对称中心(0, π/2)

9.渐近线 y=0，y=π

10.反函数 y=cotx, x ∈(0,, π)

11.与反正切的关系 arc tanx+arc cotx=π/2

●请参考我的三角函数salon 第7节 用反三角函数表示角 原创/O 客

已知某一个角的三角函数值，如何表示这个角 以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。

●一个锐角至少有等价的四种表达式 不妨，以直角三角形的锐角为例。 直角三角形ABC 中，a=3,b=4,c=5,则

A=arc sin(3/5), A=arc cos(4/5)

A=arc tan(3/4), A=arc cot(4/3) ●已知三角函数值表示角，要特别注意角的范围

例如，已知sin α=1/3,

由正弦函数线（见salon(6)）或者正弦曲线（见salon(20)）,可得

O 函数 y=arc cotx 的图象

y

x

y=arc cotx

π2

π