高三数学总复习正弦定理和余弦定理教案

高三数学总复习 正弦定理和余弦定理教案

教学目标：

1、掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.

2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．

3、常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.

教学重点：①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式． ②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形．

③能解决与三角形有关的实际问题．

教学难点：①根据已知条件判定解的情形，并正确求解．

②将实际问题转化为解斜三角形．

教学过程

一、基础回顾

1、正余弦定理

正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝c sinC

＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)． 余弦定理

a 2＝

b 2＋

c 2－2bccosA ，

b 2＝a 2＋

c 2－2accosB ；

c 2＝a 2＋b 2－2abcosC

2、变形式

①a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ；(其中R 是△ABC 外接圆半径)

②a ∶b ∶c ＝sinA ：sinB ：sinB

③cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab

. 3、三角形中的常见结论

(1) A ＋B ＋C ＝π.

(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinB.

(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

(4) △ABC 的面积公式

① S ＝12

a ·h(h 表示a 边上的高)； ② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R

； ③ S ＝12

r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)； ④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12

(a ＋b ＋c)． 二、基础自测

1、在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________．

2、在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A ＝________．

3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若a ＝2bcosC ，则此三角形一定是________三角形．

4、已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 2＋b 2－c 2

＝ab ，则∠C＝________．

5、在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cosC ＝13

，则△ABC 的面积为________．

三、典例分析

例1 (2013·惠州模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .

(1)求b a ； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B . 解：(1)由正弦定理，得asin B ＝bsin A ，

又asin Asin B ＋bcos 2

A ＝2a ，

∴bsin 2A ＋bcos 2A ＝2a ，即b ＝2a ，因此b a ＝ 2. (2)由c 2＝b 2＋3a 2及余弦定理，得

cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（1＋3）a 2c

， (*) 又由(1)知，b ＝2a ，∴b 2＝2a 2，

因此c 2＝(2＋3)a 2，c ＝2＋3a ＝

3＋12 a. 代入(*)式，得cos B ＝

22， 又0＜B ＜π，所以B ＝π4

. 规律方法：1．运用正弦定理和余弦定理求解三角形时，要分清条件和目标．若已知两边与夹角，则用余弦定理；若已知两角和一边，则用正弦定理．

2．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．

例2、(2013·合肥模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向

量m ＝(4，－1)，n ＝(cos 2A 2，cos 2A)，且m ·n ＝72

. (1)求角A 的大小； (2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状．

解：(1)∵m ＝(4，－1)，n ＝(cos 2A 2

，cos 2A )， ∴m ·n ＝4cos 2A 2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2

－(2cos 2A －1)＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3. 又∵m ·n ＝72

， ∴－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72，解得cos A ＝12. ∵0＜A ＜π，∴A ＝π3

. (2)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3，

∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·12

＝b 2＋c 2－bc . ①

又∵b ＋c ＝23，∴b ＝23－c ，

代入①式整理得c 2－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝3，

于是a ＝b ＝c ＝3，即△ABC 为等边三角形．

规律方法：判定三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化．无论使用哪种方法，不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．

例3、(2012·课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，acos C