奥数数的整除讲义、练习含答案教学教材
小学数学四年级奥数讲与练第6讲《能被11整除的数的特征》(习题含答案)
第6讲：能被11整除的数的特征（含答案）这一讲主要讲能被11整除的数的特征。
一个数从右边数起，第1，3，5，…位称为奇数位，第2，4，6，…位称为偶数位。
也就是说，个位、百位、万位……是奇数位，十位、千位、十万位……是偶数位。
例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如下图所示：能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。
例1判断七位数1839673能否被11整除。
分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。
根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。
一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。
如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。
例2 求下列各数除以11的余数：（1）41873；（2）296738185。
分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11=7÷11＝0……7，所以41873除以11的余数是7。
（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。
因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。
（17+11×2）-32＝7，所以296738185除以11的余数是7。
需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。
如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7。
例3求除以11的余数。
分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析数的整除数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。
它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。
一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。
记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的约数。
例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。
2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
奥数专题数论-数的整除附答案
(数论问题数的整除性)1、五年级数论问题：数的整除难度：中难度/高难度四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.答：2、五年级数论问题：数的整除难度：中难度/高难度在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.答3、五年级数论问题：数的整除难度：中难度/高难度能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.答：4、五年级数论问题：数的整除难度：中难度/高难度能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.答：5、五年级数论问题：数的整除难度：中难度/高难度1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.答：（数论问题）1、五年级数的整除习题答案：解答：7已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题意.事实上,3771÷9=419.2、五年级数的整除习题答案：解答：1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+□+9应等于12,□内应填12-2-9=1.3、五年级数的整除习题答案：解答：990要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.4、五年级数的整除习题答案：解答：99960解法一:能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999□0,可知方框内应填 6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960. 解法二:或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5、五年级数的整除习题答案：解答:3367先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+...+100)-（3+6+9+12+ (99)=(1+100)÷2⨯100-(3+99)÷2⨯33=5050-1683=3367。
小学五年级数学奥数数的整除(附练习及详解)
一、基本概念和知识1.整除例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）7是63的约数。
2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.②能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
③能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
④能被5整除的数的特征：个位是0或5。
⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是0或11的倍数。
⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
练习及详解例题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。
（小五奥数）解析：已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之。
练习（1）在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____。
奥数巧算和整除综合教材(附答案)
第三节 小升初之计算第一部分，巧算速算与巧算是小学数学竞赛永恒的话题，小机灵杯也不例外，每届小机灵杯都会有1-2道题目考察学生的运算能力，主要集中在小数和整数的巧算，极少涉及分数。
掌握速算与巧算的技巧，往往能够在极短的时间内解决运算问题。
巧算的方法主要有：提取公因式、凑整、拆分、分组、换元，同学们需根据具体情况具体分析，选择合适的方法。
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示。
和=（首项+末项）⨯项数2÷，即1()2n n a a n S +⨯= 项数=（末项-首项）÷公差1+，即1()1n n a a d =-÷+等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-⨯【典型例题】【例1】 0.125×0.25×0.5×64 (3.6×0.75×1.2)÷(1.5×24×0.18)25.0425.08125.0⨯⨯⨯⨯⨯=111⨯⨯=1=【巩固】 7.2×4.5×8.1÷(1.8×1.5×2.7)【例2】 1999．8+199．98+19．998+1．9998【巩固】19999．9+1999．9+199．9+19.9+1．9【例3】 1.125+2.125+3.125+4.125+…+50.125【巩固】1.625+2.625+3.625+…+80.625【例4】 6.25×0.16＋264×0.0625＋5.2×6.25＋0.625快乐驿站【巩固】1.234×3456.7+0.1234×12345+0.01234×530880【巩固】666.66×777.78+333.33×444.44例5 0.000...042×0.000...029 0.000...0625÷0.000 (0125)40个0 50个0 2005个0 20000【巩固】 0.000...074×0.000...096 0.000...0425÷0.000 (025)350 44个0 120第二部分整除一、数的整除性质：性质1：如果,a b都能被c整除，那么他们的和a b-也一定能被c整除。
五年级下册数学奥数讲义-思维训练：数的整除-通用版
知识点一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；总结：2、5配零，4、25配二零，8、125配三零。
2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；总结：3、9见数和3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.总结：11跳和减4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.总结：7、11、13跳位段和减。
5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。
总结：二切法，三切法。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；例题【例 1】在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？1164、2450、3248、6644、363656□中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被8，4整除？【巩固】在四位数2【例 2】在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使432是9的倍数. 请随便填出一种，并检查自己填的是否正确。
五年级奥数讲义第5讲数的整除性(一)
第5讲数的整除性（一）三、四年级已经学习了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的数的特征，也学习了一些整除的性质。
这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。
数的整除性质主要有：（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。
灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。
例1 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。
分析与解：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。
因为9，25，8两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被 9×25×8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4。
这个七位数是4735800。
例2由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？分析与解：因为41×271=11111，所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。
按“11111”把2000个1每五位分成一节， 2000÷5=400，就有400节，因为2000个1组成的数11…11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根据整除的性质（1）可知，由2000个1组成的数111…11能被41和271整除。
例3 现有四个数：76550，76551，76552，76554。
能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？分析与解：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：12=12×1=6×2=3×4。
小学数的整除数论奥数知识讲解及习题
小学数的整除数论奥数知识讲解及习题小学数的整除数论奥数知识讲解及习题小学的学生学习奥数对学校所学数学的一个补充和提高，同学们快来做做奥数题来锻炼自己吧!下面是小编为大家收集到的数的整除数论奥数知识讲解及习题，供大家参考。
一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”;因为符号“∵”，所以的符号“∴”;二、整除判断方法：1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：①末三位上数字所组成的'数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。
2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
例题：在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除?解：如果56□2能被9整除，那么5+6+□+2=13+□应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除;如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除;如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。
高思奥数导引小学五年级含详解答案第02讲：整除
第2讲：数的整除内容概述：掌握整除的概念和基本性质，掌握能被某些特殊数整除的数的特征。
通过分析整除特征解决数的补填问题，以及多位数的构成问题等。
典型问题：兴趣篇1.下面有9个自然数：14,35，80,152，650,434,4375，9064，24125。
在这些自然数中，请问：（1）有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？（2）有哪些数能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？2.有如下9个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837。
这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？3.一个三位数64的十位数字未知。
请分别根据下列要求找出“”中合适的取值：（1）如果要求这个三位数能被3整除，“”可能等于多少？（2）如果要求这个三位数能被4整除，“”可能等于多少？（3）这个三位数有没有可能同时被3和4整除，如果有可能，“”可能等于多少？4.新学年开学了，同学们要改穿新的校服。
雯雯收了9位同学的校服费（每人交的钱一样多）交给老师。
老师给了雯雯一张纸条，上面写着“交来校服费238元”其中有一滴墨水，把方格处的数字污染得看不清了。
牛牛看了看，很快就算出了方格处的数字。
聪明的读者们，你们能算出这个数字是多少吗？5.四位数29能同时被3和5整除，求出所有满足要求的四位数。
6.四位偶数64能被11整除，求出所有满足要求的四位数。
7.多位数323232321n 个能被11整除，满足条件的n 最小是多少？8.一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话。
服务人员告诉他，目前只有形如“123468”的号码可以申请。
也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动。
王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码。
请问：他申请的号码可能是多少？9.一个各位数字互不相同的四位数能被9整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三位数，这个三位数能被4整除。
小学奥数五年级上第2讲《整除问题进阶》教学课件
2011个1 2011个3
答案：3
下节课见！
心有花种，静候花开！
例题讲解
mathematics
例题2：已知九位数 1234 □□789 能被99整除，这个九位数是多少? 分析：这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数，这个99的倍
数可能是多少呢? 答案：123483789
例题讲解
mathematics
练习2：已知八位数 123□□678 能被99整除，这个八位数是多少? 答案：12327678
例题讲解
mathematics
例题3：阿呆写了一个两位数59，阿瓜写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59 与89之间拼成一个五位数 59□89 ，使得这个五位数能被7整除，请问：小高写的数是多少? 分析：根据能被7整除的数的特征：末三位组成的数与末三位之前的数组成的数之差能被7
整除，我们可以由此将问题简化. 答案：6
2010个1 20atics
例题5：用数字6、7、8各两个，要组成能同时被6、7、8整除的六位数，请写出一个满足要 求的六位数. 分析：能被6、7、8整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被7整除，我
们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被7整除呢？题目只要求我们写 出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可. 答案：768768
数的整除答案
数的整除答案【篇一：奥数数的整除讲义及答案】=txt>教室：姓名：学号：【知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c整除。
（2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a必能被数c整除。
（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。
（4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。
反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。
整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。
（2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。
（3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除。
（4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11整除，则这个数能被11整除。
（5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13）整除。
【典型例题】例1：一个三位数能被3整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？例2：1～200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？例3：任意取出1998个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？解：任意取出的1998个连续自然数，其中奇数、偶数各占一半，即999个奇数和999个偶数。
999个奇数的和是奇数，999个偶数的和是偶数，奇数加上偶数和为奇数，所以它们的和是奇数。
解：根据能被7整除的数的特征，555555与999999都能被7因为上式中等号左边的数与等号右边第一个数都能被7整除，所以等号右边第二个数也能被7整除，推知55□99能被7整除。
根据能被7整除的数的特征，□99-55=□44也应能被7整除。
高斯小学奥数五年级上册含答案_整除问题初步
第一讲整除问题初步从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论. 什么是数论呢？人类从学会数数开始，就一直和整数打交道.人们在对整数的应用和研究中， 探索出很 多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律， 吸引了古往今来的许多数学家， 于是就出现 了数论这门学科.确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科.我们就从最基本的性质一一整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧.X:: 数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过： “数学是科学的皇后，数;论是数学的皇冠” •整除的定义「丁 M 丄［EfiAI邑九牛城帀，琴百捨 吧円样的方式冉境 OOOKH3C01B.以G 、乩出卞城布 可胯号毀離00001 'oooowjja 序谏 次脫锂A- B- C, 懵快.軒iHflt 反应境 闻瞭面丈旳埠茶逾稲 伸只记聲车壇忙¥2. 鼻、4. $、隔一亍・ 貝侔的推列浚记件yrmir =Flf 面丈谥氓功了毡 豪酊r.舌方境 出了颯珂停!* w<«帀的T /整除的一些基本性质:1. 尾数判断法3.奇偶位求差法|能被ii 整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被ii 整除HI 我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，……，统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2、4、6位， ，统称为偶数位.我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和” 把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”.F 面我们来看一下如何运用这些性质.例题1.判断下面11个数的整除性：23487, 3568, 8875, 6765, 5880, 7538, 198954, 6512, 93625, 864, 407 (1) 这些数中，有哪些数能被 4整除？哪些数能被 8整除？ (2) 哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？ (3) 哪些数能被3整除？哪些数能被 9整除？ (4) 哪些数能被11整除？【分析】关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不 妨根据整除特性判断一下.练习 1.在数列 3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314 中哪些数能被 4 整除,哪些数能被3整除，哪些数能被11整除？如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被 3整除；同样的， 如果将其中能被11整除的数相加或相减， 会发现得到的结果同样能被 11整除.从中我们可以总结出如下规律:(1) (2) (3)2.例题2. 17石是一个四位数•文老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9, 11, 8整除问：文老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？【分析】本题包括三个小问题，我们逐个分析.需要分别用到9、11和8的整除特性.练习2.在2S 的方框内先后填上3个数字，分别组成3个三位数，使它们依次被3、4、5整除.上面我们已经学习了如何利用“整除特征”，解决单个数的整除问题•下面我们再来看一看，涉及多个数的整除问题应该如何解决.例题3.牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上•但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“ 6dd ”，其中方框表示破了的洞. 牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元.请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？【分析】这45名员工的工资都一样，所以总工资就能被45整除•我们没有学过被45整除的数的特征.但注意到45 5 9，于是6dd应该能同时被5和9整除，那么先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？练习3.四位数CC 能被36整除，那么这个四位数可能是多少?在例3中，我们并不知道45的整除特征，但是45 5 9，能被45整除的数，也能被5和9整除，那么只需考虑5和9的整除特征即可.请同学们注意，虽然45 3 15，但是在考虑能否被45整除时，不能只考虑被3和15 整除•你能想明白为什么吗？例题4. 一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话. 服务人员告诉他，目前只有形如“ 1234 口6口8 ”的号码可以申请•也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动. 王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码.请问：他申请的号码可能是多少？【分析】要被8整除，说明号码的后三位Q8是8的倍数•想一下，这样的三位数是唯一的吗？练习4.七位数22 333 能被44整除，那么这个七位数是多少?有时候满足题目条件的答案会非常多. 如果只要求找出最大的或最小的，我们只需要从极端情况考虑即可.例题5.在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？最大是多少？【分析】要想让五位数最大且数字不重复，每个数位上的数字应该依次是9、&….如果想让五位数尽量小，是不是应该依次是1、2、…呢？例题6.由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【分析】要想能被11整除，奇位和与偶位和的差应该是11的倍数.那么奇位和与偶位和的和又是什么呢？天才未必事事都聪明牛顿小时候的一个故事告诉我们，天才有时也傻乎乎的.一次，粮仓里闹鼠灾了，大人让牛顿在粮仓的门底开一个洞让猫进出.结果他开了两个洞一一大的给老猫，小的给小猫.其实在整除性的问题当中也有类似情况. 比如要在200 □匚的方框中填入两个数字使得这个五位数同时能被4、5、8整除，实际根本不用考虑4,只要考虑5和8即可，因为能被8整除的也必然能被4整除.如果你还要再考虑4的整除性，那就多此一举了.作业1. 下面有9 个自然数：48, 75, 90, 122, 650, 594, 4305, 7836, 4100 .其中能被4 整除的有哪些？能被25整除的有哪些？2. 有如下5个自然数：12345, 189, 72457821, 333666, 54289•其中能被9整除的有哪些？3. 有如下5个自然数：3124, 3823, 45235, 5289, 5588 •其中能被11整除的有哪些？4. 是一个四位数•王老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9, 11, 8整除• ”问：王老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？5. 阿呆买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：匚111.C 元（表示不明数字）.请问总价应该是多少？第一讲整除问题初步例题1. 答案：(1)能被4整除的有3568、5880、6512、864;能被8整除的有3568、5880、6512、864 .(2)能被25 整除的有8875、93625 ;能被125 整除的有8875、93625 . ( 3) 能被 3 整除的有23487、6765、5880、198954、864;能被9 整除的有198954、864. (4) 能被11整除的有407、6765、6512.例题2.答案：21详解：要想让四位数能被9整除，数字和得是9的倍数，空格中要填7 •要想让四位数能被11整除，奇位和与偶位和的差得是11的倍数，空格中要填8•要想让四位数能被8整除，需要后三位即7C 是8的倍数，空格中要填6 .三个数字之和是21 .例题3. 答案：67680或67185详解：根据题意，这个数能被45整除，即能同时被5和9整除，个位只能是0或5,对应的百位是6或1 .例题 4. 答案：12345608、12341648、12348688详解：末三位被8整除，十位数字只能是0、4、8 .要满足号码能被11整除对应的千位数字只能是5、1、&例题 5. 答案：10395; 98730详解：要被45整除，五位数既得是5的倍数，也得是9的倍数.那么五位数的末尾只能是0或5 •先来看最小的数•要让前面数位上的数字尽量小，可以是1CD5 •要满足它是9的倍数且最小，应该是10395 •再来看最大，要让前面数位上的数字尽量大，可以是98口口5或9CD0 •要满足它是9的倍数且最大，应该是98730.例题6. 答案：875413详解：要想是11的倍数，奇位和与偶位和的差得是11的倍数.这六个数字的和是28 , 而最大的三个数的和是20,也就是说无论是奇位还是偶位之和都不会超过20,所以只能把28分成两个14，偶位为& 5、1，奇位为7、4、3.练习1. 答案：能被4整除的数有3124、312、5588;能被3整除的数有312、5289、7314 ; 能被11整除的数有3124、5588.练习2. 答案：本题的答案不止一种,要想被3整除,空格中可以填1、4、7.要想被 4 整除,空格中可填 2 或6.要想被 5 整除,空格中可填0或5.练习 3. 答案：3132 或3636简答：要想被36整除,这个四位数要既是4的倍数, 也是9的倍数. 要想是 4 的倍数, 个位上的空格中可填 2 或6.要想满足四位数是9的倍数,百位上的空格对应要填1或6.练习 4. 答案：2213332 或2283336简答：这个七位数既是4的倍数,也是11的倍数.要想是 4 的倍数,个位上的空格中可填2或6,剩下的空格中对应可填1或8.作业 1. 答案：48, 7836, 4100；75, 650, 4100简答： 4 和25 看末两位.作业 2. 答案：189, 72457821, 333666简答：被9 整除看数字和.作业 3. 答案：3124, 5588简答：被11 整除看奇位和与偶位和的差.作业4. 答案：11简答：填入的三个数字分别为1, 4, 6,数字和为11.作业 5. 答案：811.44 元简答：72 8 9 ,分别考虑8和9的整除特性.。
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奥数数的整除讲义、练习含答案数的整除（1）性质、特征、奇偶性【知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c整除。
（2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a必能被数c整除。
（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。
（4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。
反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。
整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。
（2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。
（3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除。
（4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11整除，则这个数能被11整除。
（5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13）整除。
奇偶性：（1）奇数±奇数=偶数（2）偶数±偶数=偶数（3）奇数±偶数=奇数（4）奇数×奇数=奇数（5）偶数×偶数=偶数（6）奇数×偶数=偶数（7）奇数÷奇数=奇数（8）…【典型例题】例1：一个三位数能被3整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？例2：1～200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？例3：任意取出1998个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？例4：有“1”，“2”，“3”，“4”四张卡片，每次取出三张组成三位数，其中偶数有多少个？【精英班】【竞赛班】例6：某市举办小学生数学竞赛，共20道题，评分标准是：答对一题给5分，不答一题给1分，答错一题倒扣1分，如果1999人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？【课后分层练习】A组：入门级1、判断306371能否被7整除？能否被13整除？2、abcabc能否被7、11和13整除?3、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。
4、已知10□8971能被13整除，求□中的数。
5、有8个学生都面向南站成一排，每次只有7个学生向后转，最少要做多少次才能使8个学生都面向北？B组：进阶级1、有一个四位数3AA1，它能被9整除，那么数A代表多少？2、一个一百位数由1个1，2个2，3个3，4个4，5个5，6个6，7个7，及72个0组成，问这个百位自然数有可能是完全平方数吗？3、某市举办小学生数学竞赛，共30道题，评分标准是：基础分15分，答对一题给5分，不答一题给1分，答错一题倒扣1分，如果199人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？4、已知10□8971能被13整除，求□中的数。
C组：挑战级1、能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？2、对于左下表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为右下表？为什么？3、左下图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室的门。
有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？【典型例题】例1：一个三位数能被3整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？解：在两位数中，是17的倍数的数中最大的为17×5=85（17×6=102）.于是所求数的前两位数字为85.因为8+5=13，故所求数的个位数字为2、5、8时，该数能被3整除，为使该数最大，其个位数字应为8.最大三位数是858.例2：1～200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？解：1～200中，能被6整除的数共有33个（200÷6=33…），能被8整除的数共有25个（200÷8=25）.但［6，8］=24，200÷24=8……8，即1～200中，有8个数既被6整除，又被8整除。
故总共有：33+25－8=50。
例3：任意取出1998个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？解：任意取出的1998个连续自然数，其中奇数、偶数各占一半，即999个奇数和999个偶数。
999个奇数的和是奇数，999个偶数的和是偶数，奇数加上偶数和为奇数，所以它们的和是奇数。
例4：有“1”，“2”，“3”，“4”四张卡片，每次取出三张组成三位数，其中偶数有多少个？解：组成的三位数个位数字只能是2或4两种情况，若个位数字是2，百位、十位数字可从余下的数字中取，这样可组成3×2=6（个）三位偶数；若个位数字是4，同样也可以组成6个三位偶数。
这样总共12个。
【精英班】解：根据能被7整除的数的特征，555555与999999都能被7因为上式中等号左边的数与等号右边第一个数都能被7整除，所以等号右边第二个数也能被7整除，推知55□99能被7整除。
根据能被7整除的数的特征，□99-55=□44也应能被7整除。
由□44能被7整除，易知□内应是6。
【竞赛班】例6：某市举办小学生数学竞赛，共20道题，评分标准是：答对一题给5分，不答一题给1分，答错一题倒扣1分，如果1999人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？解：对于每个学生来说，20道题都答对，共得5×20=100分（偶数）。
若该学生答错一题，应从100分中扣（5+1=6）分，无论他答错多少道题，扣分的总数应是6的倍数，即扣分的总数也是偶数，100分中扣除偶数分仍得偶数分；同样若他不答一题，应从100分中扣除（5－1=4）分，无论他不答多少道题，扣分的总数应是4的倍数，即扣分的总数也是偶数，所以100分中减去偶数仍得偶数，每个学生得分数是偶数，那么无论有多少人参加数学竞赛，学生得分的总数和一定是偶数。
【课后分层练习】A组：入门级1、判断306371能否被7整除？能否被13整除？解：因为371-306=65，65是13的倍数，不是7的倍数，所以306371能被13整除，不能被7整除。
2、abcabc能否被7、11和13整除?3、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。
解：因为1375=5×5×5×11=125×11，根据能被125整除数的特征，这个数的末三位能被125整除，可知道F=2，又因为这个数是11的倍数，所以7+3+2－（E+6+5）＝1－E是11的倍数，那么E=1.所以这个六位数是713625.4、已知10□8971能被13整除，求□中的数。
解：10□8-971=1008-971+□0=37+□0。
上式的个位数是7，若是13的倍数，则必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的数是8。
5、有8个学生都面向南站成一排，每次只有7个学生向后转，最少要做多少次才能使8个学生都面向北？解：对于每个人只要向后转奇数次，就能面向北。
由于每一轮恰有7个学生向后转，8个学生向后转的次数总和为7×8=56（次）。
因此最少要做56÷7=8（次）才能使8个学生都面向北。
B组：进阶级1、有一个四位数3AA1，它能被9整除，那么数A代表多少？解：3+A+A+1=4+2A，根据能被9整除数的特征，4+2A是9的倍数。
因为4+2A是偶数，所以4+2A=18，A=7.2、一个一百位数由1个1，2个2，3个3，4个4，5个5，6个6，7个7，及72个0组成，问这个百位自然数有可能是完全平方数吗？解：任何一个自然数的平方除以3都余1或0.而这个一百位数的数字和是140，140除以3余2，所以这个一百位数不可能是完全平方数。
3、某市举办小学生数学竞赛，共30道题，评分标准是：基础分15分，答对一题给5分，不答一题给1分，答错一题倒扣1分，如果199人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？解：仿照例6：这199位同学的得分总分是奇数。
4、已知10□8971能被13整除，求□中的数。
解：10□8-971=1008-971+□0=37+□0。
上式的个位数是7，若是13的倍数，则必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的数是8。
C组：挑战级1、能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？解：10个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。
我们采用反证法。
假设题目的要求能实现。
那么由题意，从前到后每两个数一组共有5组，每组的两数之和都能被3整除，推知1～10的和也应能被3整除。
实际上，1～10的和等于55，不能被3整除。
这个矛盾说明假设不成立，所以题目的要求不能实现。
2、对于左下表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为右下表？为什么？解：因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过变化后，等于原来的总和加上或减去那个数的2倍，因此总和的奇偶性没有改变。
原来九个数的总和为1+2+…+9=45，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，与右上表九个数的总和是4矛盾。
所以不可能变成右上表。
3、左下图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室的门。
有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？解：如右上图所示，将相邻的房间黑、白相间染色。
无论从哪个房间开始走，因为总是黑白相间地走过各房间，所以走过的黑、白房间数最多相差1。
而右上图有7黑5白，所以不可能不重复地走遍每一个房间。