2020版高考数学一轮复习第八篇平面解析几何第4节双曲线课时作业(文)(含解析)新人教A版

第4节 双曲线

课时作业

基础对点练(时间：30分钟)

1．已知双曲线x 2a 2－y 2b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点与圆x 2＋y 2

－10x ＝0的圆心重合，且

双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为( )

(A)x 25－y 2

20＝1

(B)x 225－y 220＝1 (C)x 220－y 2

5

＝1 (D)x 2

20－y 2

25

＝1 A 解析：因为圆x 2

＋y 2

－10x ＝0的圆心为(5，0)，所以c ＝5，又双曲线的离心率等于5，所以a ＝5，b ＝25，故选A.

2．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过点F 1且与x

轴垂直的直线与双曲线左支交于点M ，N ，已知△MF 2N 是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是( )

(A) 2 (B)2 (C)1＋ 2

(D)2＋ 2

C 解析：由已知得b 2a

＝2c ，即c 2－2ac －a 2＝0，所以e 2

－2e －1＝0，解得e ＝1±2，

又e ＞1，所以e ＝1＋2，故选C.

3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，点P (2，1)在C 的一条渐近线

上，则C 的方程为( )

(A)x 220－y 2

5＝1 (B)x 25－y 2

20＝1

(C)x 2

80－y 220

＝1 (D)x 220－y 2

80

＝1 A 解析：依题意⎩⎪⎨⎪

⎧a 2

＋b 2

＝25，1＝b a

×2，

解得⎩

⎪⎨⎪⎧a 2

＝20，

b 2＝5，

∴双曲线C 的方程为x 220－y 2

5

＝1.故选A.

4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点为F 1，F 2，点P 是双曲线C 上的一点，

∠PF 1F 2＝15°，∠PF 2F 1＝105°，则该双曲线的离心率为( )

(A) 6 (B) 3 (C)

2＋6

2

(D)

62

D 解析：由正弦定理可得：

|PF 1|∶|PF 2|∶|F 1F 2|＝sin 105°∶sin 15°∶sin 60° ＝(6＋2)∶(6－2)∶2 3

不妨设|PF 1|＝(6＋2)m ，|PF 1|＝(6－2)m ，|F 1F 2|＝23m (m ＞0)， 结合双曲线的定义有：2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝22m ，2c ＝|F 1F 2|＝23m ，

双曲线的离心率为：e ＝c a ＝2c 2a ＝6

2

.

故选B.

5．将双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角

形叫作双曲线的“黄金三角形”，则双曲线C ：x 2

－y 2

＝4的“黄金三角形”的面积是( )

(A)2－1 (B)22－2 (C)1

(D)2

B 解析：∵双曲线

C 的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标分别是(22，0)、(2，0)、(0，2)，∴所求面积S ＝1

2

×(22－2)×2＝22－2.故选B.

6．(2018合肥三模)已知双曲线C ：y 2a 2－x 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的上焦点为F ，M 是双曲线虚

轴的一个端点，过F ，M 的直线交双曲线的下支于A 点．若M 为AF 的中点，且|AF →

|＝6，则双曲线C 的方程为( )

(A)y 22－x 2

8＝1

(B)y 28－x 22＝1

(C)y 2

－x 2

4

＝1

(D)y 2

4

－x 2

＝1

C 解析：双曲线C ：y 2a 2－x 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的上焦点为F ，M 是双曲线虚轴的一个端点，

过F ，M 的直线交双曲线的下支于A 点，若M 为AF 的中点，且|AF →

|＝6，可得F (0，c )，M (b ，0)则A (2b ，－c )，

由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋c 2＝9

c 2

a 2

－4b

2

b 2

＝1c 2

＝a 2

＋b

2

，解得a ＝1，b ＝2，

所以双曲线C 的方程为y 2

－x 2

4

＝1，故选C.

7．(2018益阳4月)设双曲线Γ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F (－c ，0)，直线3x

－y ＋3c ＝0与双曲线Γ在第二象限交于点A ，若|OA |＝|OF | (O 为坐标原点)，则双曲线Γ的渐近线方程为( )

(A)y ＝±10

2x (B)y ＝±22x (C)y ＝±

62

x (D)y ＝±

52

x C 解析：由题意知，双曲线右焦点F ′(c ，0)，又|OA |＝|OF | ，所以|OA |＝|OF |＝|OF ′|，则△AFF ′为直角三角形，即FA ⊥F ′A ，则|AF ′|＝|3c ＋3c |32

＋1

＝

6c 10

，|AF |＝

|FF ′|2

－|AF ′|2

＝

2c

10，由双曲线定义得2a ＝|AF ′|－|AF |＝4c 10，即a ＝2c

10

，则b ＝c 2－a 2＝6c 10

，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±

6

2

x .故选C. 8．(2018抚顺模拟)已知焦点在x 轴上的双曲线C 的左焦点为F ，右顶点为A ，若线段

FA 的垂直平分线与双曲线C 没有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是________．

解析：∵焦点在x 轴上的双曲线C 的左焦点为F ，右顶点为A ∴F (－c ，0)，A (a ，0),

∵线段FA 的垂直平分线与双曲线C 没有公共点 ∴

a －c

2

＞－a

∴ e ＝c a

＜3 ∵ e ∈(1，＋∞) ∴ 1＜e ＜3 答案：1＜e ＜3

9．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的1

4

，则该

双曲线的离心率为________．

解析：双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，一个焦点坐标为(c ，0)．根据题意：