内积空间简介

第九章内积空间Inner Product Space

§9.1 目的与要求

•掌握内积、内积空间的概念

•熟练掌握欧氏空间的度量概念，如长度、距离、夹角、正交等

•熟练掌握Cauchy-Schwarz不等式、三角不等式的含义及应用

厦门大学数学科学学院

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•定义:设V 是R 上线性空间,存在映射( ,):, 使得对任意x , y , z ∈V, c ∈R,有

(1). ( x , y ) = ( y , x )

(2). ( x + y , z ) = (

x ,z ) + (y , z )

(3). ( cx , y ) = c ( x , y )

(4). ( x , x ) ≥ 0.且等号成立当且仅当x = 0.则称在V 上定义内积( , ). V 称为内积空间.

有限维实内积空间称为Euclid 空间(欧氏空间).

R V V →⨯对称线性非负（实）内积空间

•定义:设V 是C 上线性空间,存在映射( , ):使得对任意x , y , z ∈V, c ∈C,有

(1).(2). (x + y , z ) = (x , z ) + ( y , z )

(3). (cx , y ) = c ( x , y )

(4). (x , x ) ≥ 0.且等号成立当且仅当x = 0.

则称在V 上定义内积( , ). V 称为复内积空间.有限维复内积空间称为酉空间.

•注1:对任意实数a , , 所以复内积空间与实内积空间的定义是一致的, 统称为内积空间.•注2:在复内积空间中, (,)(,)

x y y x =a a =(,)(,)

x cy c x y =R V V →⨯（复）内积空间

•例1:R n ×1是n 维欧氏空间, 若, 定义内积如下:

该内积称为R n ×1上的标准内积.

C n ×1是n 维酉空间, 若, 定义内积如下:

该内积称为C n ×1上的标准内积.

1122(,)...n n

x y y x x y x y x y '==+++例子

1

,C n x y ⨯∀∈1,R n x y ⨯∀∈1122(,)...n n

x y y x x y x y x y '==+++

•例2:R 2×1上对1) 是内积

2) 非线性, 非内积

3) 未必非负, 非内积11211222

(,)4x y x y x y x y x y =--+例子

1122,x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∀== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

1,2(,)max(||,||)i i i x y x y ==1212

(,)x y x x y y =+++

•例3:设, 定义则c [a , b ]是无限维内积空间. •例4:设G 为n 阶正定阵, 对, 定义

则R n ×1是R 上n 维欧氏空间. G =I 即例1.•例5:R n ×n 上定义(A , B ) = tr(A’B ), 是欧氏空间么? 若是, 它是几维的?

例子

(,)'x y x Gy

=(,)()()b a f g f x g x dx =⎰(),()[,]f x g x c a b ∈1,R n x y ⨯∀∈

•定义:设V 实内积空间, 设x , y ∈V, 定义x 的长度为:定义x 与y 的距离为:当V

是实空间时, 定义x , y 的夹角

θ的余弦为:当V 是复空间时, 定义x , y 的夹角θ的余弦为:

当( x , y ) = 0时, 称x 与y 正交, 记x ⊥y .

(,)

x x x =(,)d x y x y

=-(,)cos x y x y

θ=(,)cos x y x y θ=(实)内积空间_2

•定理:设V 是实的或复的内积空间,设x , y ∈V, c 为常数(实数或复数), 则

(1) (2) (Cauchy-Schwarz 不等式)当且仅当x , y 线性相关时, 等号成立.(3) (三角不等式)

cx c x

=(,)x y x y

≤x y x y

+≤+

在R n×1中

•注1:x=0时, 对任意y, (x, y)=0; 反之, 若对任意y, 都成立(x, y)=0, 则x=0. 即只有零向量和自己正交; 只有零向量的长度为0;

•注2:||x+y||= ||x||+||y|| x和y同向或有一为0;•注3:(x, y)=||x||||y||cosθ, 其中θ为x与y的夹角(内积几何意义);

•注4:x⊥y时, (x,y)=(y,x)=0, ||x+y||2=||x||2+||y||2 (勾股定理);

•注5:若两两正交, 即则1)2)•注6:x 称为单位向量, 若. 一般地, 若x ≠0, 则x /|| x ||是单位向量(称把x 单位化).•注7:Cauchy-Schwarz 不等式具体形式:

内积空间_5

12,,...,m ααα(,)0,i j i j αα=∀≠122...m m

k k ααα⊥++2222

1212......m m

αααααα+++=+++1x =()

222221111...(...)(...)

n n n n

x y x y x x y y ++≤++++2

2

2

(()())()()b b

b

a

a

a

f x

g x dx f x dx g x dx

≤⎰⎰⎰