高中数学：向量中的三角形“四心”

高中数学：向量中的三角形“四心”
向量的加减法离不开三角形，三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分，你知道它们的向量表示吗？
结论1：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点O为△ABC的垂心。

证明：由，得，即，所以。

同理可证。

故O为
△ABC的垂心。

结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点O为△ABC的垂心。

证明：由，得
，所以。

同理可证。

容易得到由结论1知O为△ABC的垂心。

结论3：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点G为△ABC的重心。

证明：由，得。

设BC边中点为M，则，所以，即点G在中线AM 上。

设AB边中点为N，同理可证G在中线CN上，故点G为△ABC的重心。

结论4：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点G为△ABC的重心。

证明：由，得
，得。

由结论3知点G为△ABC的重心。

结论5：若点P为△ABC所在的平面内一点，并且满足
，则点P为
△ABC的内心。

证明：由于，可得。

设与同方向的单位向量为，与同方向的单位向量为，则。

因为为单位向量，所以向量在∠A的平分线上。

由，知点P在∠A的平分线上。

同理可证点P在∠B的平分线上。

故点G为△ABC的内心。

结论6：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点O为△ABC的外心。

证明：因为，所以
同理得由题意得，所以
，得。

故点O为△ABC的外心。