三角形几个心(重心、垂心、内心、外心)

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三角形四心定理以及相关证明

引言概述：在几何学中，三角形是研究的重要对象之一。

而三角形四心定理是关于三角形内四个特殊点的定理，它们分别是三角形的重心、外心、内心和垂心。

这个定理不仅有着重要的理论价值，而且在实际应用中也有广泛的应用。

本文将详细介绍三角形四心定理以及相关的证明。

正文内容：一、重心（G）重心是三角形内部三条中线的交点，也称为质心。

重心的坐标可以通过三个顶点的坐标求得。

设三角形的顶点分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃），则重心的坐标为G（(x₁+x₂+x₃)/3，(y₁+y₂+y₃)/3）。

大点1：重心的性质小点1：重心与顶点的连线成比例小点2：重心与重心连线中点的连线平行于底边小点3：重心是内心和外心连线的中点大点2：重心的应用小点1：稳定平衡问题小点2：质心的分割线小点3：质心的建模应用二、外心（O）外心是可以通过三角形的三个顶点构造出的唯一圆的圆心。

外心到三角形的每个顶点距离相等。

大点1：外心的性质小点1：外心是垂直平分线的交点小点2：外心到各顶点的距离相等小点3：外心是三角形内切圆的圆心大点2：外心的应用小点1：计算三角形的外接圆半径小点2：设计圆形邮票小点3：构造圆锥曲线三、内心（I）内心是可以通过三角形的三条内切圆的切点构造出的唯一点。

大点1：内心的性质小点1：内心到三边的距离相等（接切性质）小点2：内心是角平分线的交点小点3：内心是三角形外角平分线的交点大点2：内心的应用小点1：计算三角形的内切圆半径小点2：解决三角形的内接问题小点3：优化布局问题四、垂心（H）垂心是通过三角形的三条高的交点构造出的唯一点。

大点1：垂心的性质小点1：垂心是中线的垂直平分线的交点小点2：垂心到各边的距离相等小点3：垂心是三角形外心的反演点大点2：垂心的应用小点1：计算三角形的三条高的长度小点2：解决三角形与圆的位置关系问题小点3：优化三角形的面积总结：三角形四心定理是几何学中重要的定理，包括重心、外心、内心和垂心。

三角形的心有哪些

三角形的心有哪些三角形有重心、外心、内心、垂心。

当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。

三角形三条中线的交点叫做三角形重心；三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心。

三角形内心为三角形三条内角平分线的交点。

三角形三边上的三条高线交于一点，称为三角形垂心。

三角形有内心、外心、重心、垂心、旁心、界心。

1、三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心。

即为内切圆的圆心。

内心就是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（通过全等易证明）。

2、外心是一个数学名词。

是指三角形三条边的垂直平分线也称中垂线的相交点。

3、三角形战略重点就是三角形三条中线的交点。

当几何体为匀质物体时，战略重点与形心重合。

4、三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。

5、旁心就是三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线切线的圆）的圆心。

6、三角形的顶点与其对边的周界中点的连线叫做三角形的周界中线。

或者三角形三条周界中线的交点叫做三角形的界心。

如果三角形一边上的一点和这边所对的顶点把三角形的周界分割为两条等长的折线，那么就称这一点为三角形的周界中点。

三角形外心的性质：1、性质1：锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；钝角三角形的外心在三角形外。

2、性质2：三角形三条边的垂直平分线的处设一点,该点即为三角形外接圆的圆心，外心至三顶点的距离成正比。

3、性质3：点g是平面abc上一点，那么点g是⊿abc外心的充要条件：(向量ga+向量gb)·向量ab= (向量gb+向量gc)·向量bc=(向量gc+向量ga)·向量ca=向量0。

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心

三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. . 一、外心一、外心. .三角形外接圆的圆心，简称外心三角形外接圆的圆心，简称外心..与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理定理. .例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上外接圆上. . 分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP =NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点的外心，点 N 是△P ′PC 的外心的外心..有 ∠∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ，∠∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC .∴∠∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC . 从而，从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上外接圆上. . 由于由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似相似. .分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形的外心，作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外后再由外心性质可知心性质可知∠∠PO 1S =2=2∠∠A ， ∠∠QO 2P =2=2∠∠B ， ∠∠SO 3Q =2=2∠∠C . ∴∠∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360=360°°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360=360°°将△将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K=21(∠O 2O 1S +∠SO 1K )=21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2) =21∠PO 1S =∠A ；同理有∠同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC . 二、重心二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心..掌握重心将每掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题及中线长度公式，便于解题. .例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点是任意一点..证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和中，其中一个面积等于另外两个面积的和. .分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交相交..从A ，C ，D ，E ，F 分别分别作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′，′， D ′，E ′，F ′. 易证易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，′，22EE ′=AA ′+CC ′，′，∴∴EE ′=DD ′+FF ′. 有有S △PGE =S △PGD +S △PGF . 两边各扩大两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF .例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似的新三角形相似..其逆亦真其逆亦真. .分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′围成的三角形简记为△′..G为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .(1)a 2，b 2，c 2成等差数列Þ△∽△′△∽△′. .若△若△ABC 为正三角形，易证△∽△′为正三角形，易证△∽△′. . 不妨设不妨设a ≥b ≥c ，有，有CF =2222221c b a -+，BE =2222221ba c -+，AD =2222221a c b -+. 将将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得，分别代入以上三式，得 CF =a23，BE =b 23，AD =c23.∴∴CF :BE :AD =a23:b 23:c23=a :b :c .故有△∽△′故有△∽△′故有△∽△′. . (2) (2)△∽△′△∽△′Þa 2，b 2，c 2成等差数列成等差数列. . 当△中当△中a ≥b ≥c 时，时， △′中△′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′，∵△∽△′， ∴DD S S '＝(aCF )2.据据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有AA 'FF 'G E E 'D 'C'P C B DDD SS '=43.∴∴22aCF =43Þ3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2Þa 2+c 2=2b 2.三、垂心三、垂心三角形三条高的交战，三角形三条高的交战，称为三角形的垂心称为三角形的垂心..由三角形的垂心造成的四个等由三角形的垂心造成的四个等((外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利圆三角形，给我们解题提供了极大的便利. .例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心的垂心..求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.. 分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A Ð=2R ÞA 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4；由△由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4. 但∠但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2.易证易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2，故得故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称成中心对称. .同理，同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称点成中心对称..故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上在同一个圆上..后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称成中心对称..由O ，M 两点，Q 点就不难确定了点就不难确定了. .例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心的中心..一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2. 求证：求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.分析：只须证明分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可即可..设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r .连连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)，①① 又又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2=AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ②② 而而ABHAH Ðsin =2R ÞAH 2=4R 2cos 2A ,∥=∥=H H HMAB BA ABC C C F12111222D EAa sin =2R Þa 2=4R 2sin 2A .∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. . ③③ 由①、②、③有由①、②、③有A 21A =r 2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2) =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.故有AA 1=BB 1=CC 1.四、内心四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心三角形内切圆的圆心，简称为内心..对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：下面一个极为有用的等量关系：设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C .换言之，点A ′必是△IBC 之外心之外心((内心的等量关系之逆同样有用内心的等量关系之逆同样有用). ).例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取△DAB ，△ABC ，△BCD ， △CDA 的内心O 1， O 2，O 3，O 4.求证：O 1O 2O 3O 4为矩形为矩形. . (1986 (1986，中国数学奥林匹克集训题，中国数学奥林匹克集训题，中国数学奥林匹克集训题) )证明见《中等数学》证明见《中等数学》199219921992；；4例8．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切内切..试证：EF中点P 是△ABC 之内心之内心. .分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB =AC .当AB ≠AC ，怎样证明呢？如图，显然如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，BC 中点K 都在∠BAC 平分线上平分线上..易知AQ =a sin r. ∵∵QK ·AQ =MQ ·QN ， ∴∴QK =AQQN MQ ×=asin /)2(r r r R ×-=)2(sin r R -×a .由由Rt △EPQ 知PQ =r ×a sin .∴∴PK =PQ +QK =r ×a sin +)2(sin r R -×a =R 2sin ×a . ∴∴PK =BK .a利用内心等量关系之逆定理，即知利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心这内心. .A B C D O O O 234O 1AααMBC KNEROQ Fr P五、旁心五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心旁心常常与内心联系在一起，旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切旁心还与三角形的半周长关系密切. .例9．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p . 式中式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周表示半周. .分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p -c )=(p -a )(p -b ).∵p (p -c )=21(a +b +c )·21(a +b -c )=41[(a +b )2-c 2] =21ab ；(p -a )(p -b )=21(-a +b +c )·21(a -b +c )=41[c 2-(a -b )2]=21ab .∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ). ①① 观察图形，可得观察图形，可得 r a =AF -AC =p -b ， r b =BG -BC =p -a ， r c =CK =p .而r =21(a +b -c )=p -c . ∴r +r a +r b +r c=(p -c )+(p -b )+(p -a )+p =4p -(a +b +c )=2p . 由①及图形易证由①及图形易证. .例1010．．M 是△ABC 边AB 上的任意一点上的任意一点..r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径半径..证明：11q r ·22q r =qr .(IMO -12)分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知′，由正弦定理可知OD =OA ′·2'sinA=A ′B ′·'''sin 2'sinB O A B Ð·2'sin AK r r r r O O O 213AOE CBabcA ...'B'C'O O 'ED=A ′B ′·2''sin 2'sin2'sinB A B A +×，O ′E = A ′B ′·2''sin2'cos2'cos B A B A +. ∴2'2''B tg A tg E O OD =. 亦即有亦即有11q r ·22q r =2222B tgCNB tgCMA tgA tgÐÐ=22B tgA tg =qr .六、众心共圆六、众心共圆这有两种情况：(1)(1)同一点却是不同三角形的不同的心；同一点却是不同三角形的不同的心；同一点却是不同三角形的不同的心；(2)(2)(2)同一图形出现了同一图形出现了同一三角形的几个心同一三角形的几个心. .例1111．．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA .试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；三条对角线交于一点；(2)AB +BC +CD +DE +EF +FA ≥AK +BE +CF .分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心的内心..从而有ID =CD =DE ，IF =EF =FA ， IB =AB =BC .再由△再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用利用不不等式有：等式有： BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ).不难证明不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS .∴∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC .∴∴AB +BC +CD +DE +EF +FA =2(BI +DI +FI )≥≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI )=AD +BE +CF . I 就是一点两心就是一点两心. . 例1212．△．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心的重心..证明OE 丄CD .分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点中点F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.=2:1.设设CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心重心. . 连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证：易证： E rdos..I P ABCD EFQ S A BCD E F O KGDG :GK =31DC :(3121-)DC =2:1.∴∴DG :GK =DE :EF ÞGE ∥MF . ∵∵OD 丄AB ，MF ∥AB ， ∴∴OD 丄MF ÞOD 丄GE .但OG 丄DE ÞG 又是△ODE 之垂心之垂心. . 易证易证OE 丄CD . 例1313．△．△ABC 中∠C =30=30°，°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证：OI 丄DE ，OI =DE .分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB . 利用内心张角公式，有利用内心张角公式，有利用内心张角公式，有 ∠∠AIB =90=90°°+21∠C =105=105°，°，°，∴∠∴∠DIE =360=360°°-105-105°×°×°×3=453=453=45°°. ∵∠∵∠AKB =30=30°°+21∠DAO =30 =30°°+21(∠BAC -∠BAO ) =30 =30°°+21(∠BAC -60-60°°)=21∠BAC =∠BAI =∠BEI .∴∴AK ∥IE .由等腰△由等腰△AOD 可知DO 丄AK ， ∴∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高的一条高. . 同理同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE . 由∠由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE . 例1414．锐角△．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心分别是外心、重心、垂心..设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距，重心到三边距离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂.求证：求证：11·d 垂+2+2··d 外=3=3··d 重. 分析：这里用三角法分析：这里用三角法..设△ABC 外接圆外接圆半径为1，三个内角记为A ，B ， C . . 易知易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3 =cos A +co sB +cos C ，∴∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ). ①① ∵∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C ，同样可得同样可得BH 2·CH 3. ∴∴3d 重=△ABC 三条高的和三条高的和 =2 =2··(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ) ②② ∴∴BCHBH Ðsin =2=2，，O ABCDEFIK30°B CO IA O G H O G H G O G H 1231122331 =( 2。

三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)[参照]

三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)[参照]
三角形的重心：是指三角形内任意一点，它到三条边上三个顶点连线的质心，即三角形的外心和所有顶点的重心。

外心：指三角形的外接圆心，也就是三条边的质心，即三角形的重心。

垂心：指三角形的垂心，也就是三角形所有内角的质心，即三角形的重心。

内心：指三角形内角平分线的交点，也就是三角形各内角的质心，即三角形的重心。

旁心：指三角形的垂直平分线的交点，也就是三角形各边的质心，即三角形的重心。

初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心

三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。

2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。

该点叫做三角形的外心。

3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。

4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。

在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.BOC=2BAC，AOB=2ACB，COA=2CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，C=90，r=(a+b-c)/2.5.BOC = 90 +A/2 BOA = 90 +C/2 AOC = 90 +B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。

2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

例如在△ABC中3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。

4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO?OD=BO?OE=CO?OF5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。

三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理).doc

三角形五心定理(三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称Z为三角形的五心)三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理, 旁心定理的总称。

、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

(重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点, 重心因而得名)重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离Z比为2 ： 1o2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为((X1 +X2+X3)/3, (Y1 +Y2+Y3)/3o二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：仁三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若0是ZXABC的外心，则ZB0C=2ZA ( ZA为锐角或宜角)或Z BOC=360°-2ZA (ZA 为钝角)。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时, 外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1, d2, d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘od=d2d3, c2=d1d3, c3=d1d2； c=c1+c2+c3o 重心坐标:((c2+c3)/2c, (c1+c3)/2c, (c1+c2)/2c )o5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高(所在直线)交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1＞三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且0G : GH=1 : 2。

第17讲三角形的五心

第17讲三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径．锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =Sp ．特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )．3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．每个三角形都有三个旁切圆．A 类例题例1 证明重心定理。

证法1 如图，D 、E 、F 为三边中点，设BE 、CF 交于G ，连接EF ，ABCOABCD EFGABC DEFI aIK HEFD ABCMABCDEFG显然EF∥=12BC，由三角形相似可得GB＝2GE，GC=2GF．又设AD、BE交于G'，同理可证G'B=2G'E，G'A=2G'D，即G、G'都是BE上从B到E的三分之二处的点，故G'、G重合．即三条中线AD、BE、CF相交于一点G．证法2 设BE、CF交于G，BG、CG中点为H、I．连EF、FH、HI、IE，因为EF∥=12BC，HI∥=12，所以EFHI为平行四边形．所以HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF．同证法1可知AG=2GD，AD、BE、CF共点．即定理证毕．C情景再现1．设G 为△ABC 的重心，M 、N 分别为AB 、CA 的中点，求证：四边形GMAN 和△GBC 的面积相等．2．三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．B 类例题例3 过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N . 作点P 关于MN 的对称点P '.试证：P '点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析分析点M 和N 的性质，即能得到解题思路。

三角形的五“心”及其性质

三角形的五“心”及其性质
三角形的五心是指三角形内部的五个特殊点，包括重心、外心、内心、垂心和旁心。

1. 重心：三角形三个顶点与其对边的中点连接所交于一点，这个点被
称为重心。

重心到三角形三边的距离相等，重心将三角形划分为三个
面积相等的小三角形。

2. 外心：三角形三个顶点的垂直平分线相交于一点，这个点被称为外心。

外心是三角形外接圆圆心，即三角形三个顶点与外心的连线的长
度相等。

3. 内心：三角形三个顶点的角平分线相交于一点，这个点被称为内心。

内心是三角形内切圆圆心，即三角形三条边与内心的连线的垂直距离
相等。

4. 垂心：三角形三个顶点的高的延长线相交于一点，这个点被称为垂心。

垂心是三角形三条高的交点，即垂心到三角形三个顶点所在的直
线距离相等。

5. 旁心：三角形的旁心有三个，分别对应三条边。

旁心是指三角形的
外切圆圆心，即三角形的一条边外边的一条角的角平分线与另外两条
边延长线的交点。

这些五心有一些重要的性质：
- 重心是三角形的重要重心之一，它将三角形分成三个面积相等的小三
角形。

- 外心是三角形外接圆圆心，外接圆的直径是三角形的边长，外心到三
个顶点的距离相等。

- 内心是三角形内切圆圆心，内接圆与三个边相切，内心到三个边的距
离相等。

- 垂心是三角形三条高的交点，垂心到三个顶点所在的直线距离相等。

- 旁心是三角形外切圆圆心，外切圆与三条边相切，旁心到相对应的边
的距离相等。

三角形的、外心、内心、重心、垂心、和旁心(五心定理)

2
三角形的内心
三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)
1，三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径；
2，直角三角Байду номын сангаас的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一
3
三角形的重心
三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心
1，三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为1∶2；
2，重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等；
3，重心到三角形3个顶点距离的平方和最小
4
三角形的垂心
三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心
1，三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍；
2，锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外；
三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心(五心定理)
序号
名称
定义
图形
性质
1
三角形的外心
三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)
1，三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径；
2，锐角三角形的外心在三角形内；
3，直角三角形的外心在斜边中点；
4，钝角三角形的外心在三角形外
5
三角形的旁心
三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)
1，每个三角形都有三个旁心；
2，旁心到三边的距离相等
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

中考必备：三角形的五个“心”及一些平面几何的著名定理

中考必备：三角形的五个“心”及一些平面几何的著名定理三角形的五个“心” 一、重心：（又叫中心） 1这点就是三角形的重心。

2. 重心定理：（1）一个三角形三条边上的中线必交一点；证明：找AB 中点F ，AC 中点E ，连接这两条中线交于点O ，连接AO 并延长，交BC 于点D ，可得S三角形ABE =S 三角形ACF =1/2×S 三角形ABC （同底同高），得S 三角形BOF =S 三角形COE （两三角形同减S四边形AEOF ），得S 三角形AOB =S 三角形AOC （都为上面两三角形面积的两倍），得B 到AD 和C 到AD 的距离h 相等（面积相等，底相等），所以S 三角形BOD =S 三角形COD （同底OD ，等高h ），所以BD=CD （面积相等，高相等），即D 为BC 中点，所以三角形三条中线交于一点。

（2）三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

证明：方法一△ABC ，AB 、BC 、CA 中点分别为D 、E 、F ，交于一点G 。

∴DF//BC ，DF=BC/2 ①（中位线定理）。

∴△ADF ∽△ABC, E 为BC 中点，∴H 为DF 中点（可证AH ／AE=DH ／BE=HF ／EC, BE=EC, ∴DH=HF) ∴HF=DF ／2 , BE=BC ／2，又可由①知HF=BE ／2 ∴HF//BE. 又∵∠BGE=∠FGH 。

∴△BGE ∽△FGH ∴BG/GF=BE/HF=2。

∴BG=（2/3）BF方法二：（简单）AA连结AO、BO、CO形成了三个三角形，S三角形ABC = S三角形ABO+ S三角形BCO + S三角形ACO= 1/2*（a+b+c）* r = s*r据海伦公式：S三角形ABC =√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 所以r=S三角形ABC/s三、垂心：1．定义：三角形的三条高交于一点。

该点叫做三角形的垂心。

三角形“四心”定义与性质

三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ∆的重心一般用字母O 表示。

性质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。

二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。

4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。

三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母H 表示。

性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母G 表示。

性质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。

三角形的重心、垂心、内心、外心

三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB 因此，垂心定理成立！四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

三角形的五心

三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心〞，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．三角形的“五心〞指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径．锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，那么r =Sp ．特别的，在直角三角形中,有r =12(a +b －c )．3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组〞．5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．每个三角形都有三个旁切圆．A 类例题例1 证明重心定理。

证法1 如图，D 、E 、F 为三边中点，设BE 、CF 交于G ，连接EF ，显然EF ∥=12BC ，由三角形相似可得GB ＝2GE ，GC =2GF ．又设AD 、BE 交于G '，同理可证G 'B =2G 'E ，G 'A =2G 'D ，即G 、G '都是BE上从B 到E 的三分之二处的点，故G '、G 重合．ABCOABCD EFGABC DEFI aIK HE FABCMABC D EFG即三条中线AD 、BE 、CF 相交于一点G ．证法2 设BE 、CF 交于G ，BG 、CG 中点为H 、I ．连EF 、FH 、HI 、IE ，因为EF ∥=12BC ，HI ∥=12BC ，所以 EFHI 为平行四边形．所以 HG =GE 、IG=GF ，GB =2GE ，GC =2GF ．同证法1可知AG =2GD ，AD 、BE 、CF 共点．即定理证毕．例2证明垂心定理分析我们可以利用构造外心来进行证明。

三角形的几个心的定义及性质

三角形的几个心的定义及性质
内心是三条角平分线的交点,它到三边的距离相等.
外心是三条边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等.
重心是三条中线的交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.
垂心是三条高的交点,它能构成很多直角三角形相似.
旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三边的距离相等.
三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。

三条中线的交点是重心，三边垂直平分线的交点是外心，三条内角平分线的交点为内心，三角形三条高线的交点为垂心。

重心、外心、内心、垂心只有一个，但旁心有三个。

与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切
圆的圆心叫做三角形旁心。

三角形四心概念

三角形四心概念
三角形四心是指三角形内部或外部的四个特殊点，这些点分别是三角形的重心、垂心、内心和外心。

每个点都有其独特的性质和定义，它们在几何学中有着重要的作用，尤其是在解决与三角形相关的问题时。

下面是这四个心的概念。

1.重心（centroid）：
定义：三角形三条中线（即连接顶点与对边中点的线段）的交点。

性质：重心将每条中线分为两段，其中靠近顶点的部分是中线的2/3，靠近中点的部分是1/3。

重心到三个顶点的距离相等，且等于重心到对边中点的距离的2倍。

2.垂心（circumcenter）：
定义：三角形三条高线（即从顶点垂直于对边的线段）的交点。

性质：垂心到三个顶点的距离相等，且等于外接圆的半径。

在锐角三角形中，垂心位于三角形内部；在直角三角形中，垂心位于直角顶点；在钝角三角形中，垂心位于三角形外部。

3.内心（incenter）：
定义：三角形三条角平分线（即从顶点出发平分内角的线段）的交点。

性质：内心到三边的距离相等，且等于内切圆的半径。

内心的连线（即内角平分线）也会将三角形的每个角平分成两个相等的角。

4.外心（circumcenter）：
定义：三角形三条中垂线（即从顶点垂直于对边的线段）的交点。

性质：外心到三个顶点的距离相等，且等于外接圆的半径。

外心是外接圆的圆心，外接圆通过三角形的三个顶点。

这四个心在解决几何问题时非常有用，特别是在计算三角形的面积、角度、边长以及圆的半径等方面。

每个心都有其独特的几何特征和应用，对于理解和分析三角形的性质有着重要的意义。

三角形中的四心问题(重心、外心、内心、垂心)(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招-几何模型篇

模型介绍1．三角形的五心三角形的五心定义外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心；三角形有三个旁心．2．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）3．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4．三角形的内切圆与内心例题精讲（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 5.垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.例题精讲考点一：三角形重心问题【例1】．如图，△ABC 的中线BD 、CE 相交于点F ，若四边形AEFD 的面积为6，则△CBF 的面积为．变式训练【变式1-1】．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CO ⊥AB 于点O ，中线AE 与CO 相交于点F，则的值为．【变式1-2】．如图，在平面直角坐标系中，点B （﹣2，3），点C 在x 轴负半轴，OB ＝BC ，点M 为△OBC 的重心，若将△OBC 绕着点O 旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为．考点二：三角形外心问题【例2】．如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为°．变式训练【变式2-1】．已知△ABC的三边a，b，c满足|c﹣4|+b+a2﹣10a＝4﹣30，则△ABC 的外接圆半径的长为．【变式2-2】．如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为．考点三：三角形内心问题【例3】．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．则△ABC的内切圆半径r＝．变式训练【变式3-1】．⊙O是△ABC的内切圆，且∠C＝90°，切点为D，E，F，若AF，BE的长的值为（）是方程x2﹣13x+30＝0的两个根，则S△ABCA．30B．15C．60D．13【变式3-2】．如图所示，在矩形ABCD中，BD＝10，△ABD的内切圆半径为2，切三边于E、F、G，则矩形两边AB＝，AD＝．考点四：三角形垂心问题【例4】．如图，H是锐角△ABC的垂心（3条高的交点），若AH＝BC，则∠BAC的度数是．变式训练【变式4-1】．如图，在△ABC中，已知AB＝5，CA＝7，BC＝6，H为垂心，则AH＝．【变式4-2】．如图，在△ABC中M为垂心，O为外心，∠BAC＝60°，且△ABC外接圆直径为10，则AM＝．1．如图，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC＝45°，点O是△ABC的外接圆的圆心，则∠AOB等于（）A．65°B．90°C．130°D．140°2．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝3，O是它的内心，以O为中心，将△ABC旋转180°得到△A′B′C′，则△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积为（）A．B．C．D．3．小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm4．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数是（）A．52°B．76°C．26°D．128°5．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝90°，∠C＝60°．若AB＝5．则△ABD外心与△BCD内心的距离是（）A．5B．C．D．6．如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则的值为（）A．B．C．D．7．如图，已知Rt△ABC的直角边AC＝24，斜边AB＝25，一个以点P为圆心、半径为1的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切，当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（）A．B．25C．D．568．如图，点G是△ABC的重心，且△DGC的面积为4，则△ABC的面积为．9．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝，则⊙O的直径等于．10．如图，点D是等腰Rt△ABC的重心，其中∠ACB＝90°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE．若△ABC的周长为6，则△DCE的周长为．11．如图，⊙O与△ABC的边BC、AC、AB分别切于E、F、D三点，若⊙O的半径是1，∠C＝60°，AB＝5，则△ABC的周长为．12．如图，点P是△ABC的重心，过P作AB的平行线DE，分别交AC于点D、交BC于点E；作DF∥BC，交AB于点F，若△ABC的面积为36，则四边形BEDF的面积为．13．如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC＝100°，则∠BAC＝度．14．一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于．15．如图，△ABC中，已知AB＝8，BC＝5，AC＝7，则它的内切圆的半径为．16．如图，G为△ABC的重心，点D在CB延长线上，且BD＝BC，过D、G的直线交AC于点E，则＝．17．在半径为1的⊙O中内接有锐角△ABC，H是△ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则BC＝．18．如图，⊙O的半径为，△ABC是⊙O的内接等边三角形，将△ABC折叠，使点A落在⊙O上，折痕EF平行BC，则EF长为．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆，则O1O2＝．20．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB＝．21．若△ABC的外接圆半径为2，H是△ABC垂心，则△HAB的外接圆半径长是22．如图，剪一个边长为2的等边三角形，让它沿直线l在桌面上向右滚动，当等边三角形第9次落在直线l上时，等边三角形的内心运动过的路程长为．23．如图，O，H分别为△ABC的外心和垂心，O到BC边的距离为2，H到BC边的距离为HE＝3，则BC边上的高为．24．如图，正△ABC的面积是8，取正△ABC的内心O1，以O1B为边长作正△O1BP1，再取正△O1BP1的内心O2，以O2B为边长作正△O2BP2，…，依次规律作第2009个正△O2009BP2009．则△O2009BP2009的面积是．25．如图，点P为△AOB的重心，点B在x轴的正半轴上，函数（k＞0）图象经过点A，P，且交AB于点C，则点A，P的纵坐标之比是，AC：BC的值为．26．如图，已知锐角△ABC的外接圆半径等于2，∠BAC＝60°，O、H分别为△ABC的外心和垂心，连接OH与BC的延长线交于点P，则OH•OP＝．27．如图，AB＝2，BC＝1，△ABC与△EBD为全等的Rt△（∠ABC＝∠EBD＝90°），F 为直线AE和直线CD的交点，求线段BF的取值范围为．28．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点O是△ABC的重心，将线段AO绕点A 逆时针旋转至O'，点D为线段CO′的中点，连接BD，则BD的最大值为．29．如图，等边△ABC的边长为4，点O为△ABC的三条中线的交点，点D，E分别为边AB，BC上的点，若∠DOE＝120°，则DE的最小值为．30．如图，锐角三角形ABC内接于半径为R的⊙O，H是三角形ABC的垂心，AO的延长线与BC交于点M，若OH⊥AO，BC＝10，OA＝6，则OM的长＝．31．如图，半径为3的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝45°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是．32．如图，线段AC＝7，半圆D的直径AB＝4，点B在射线CB上运动．（1）当半圆D恰好经过AC边的中点时，CB＝；（2）当△ABC的内心，外心与某一个顶点在同一条直线上时，tan C＝．33．如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．（1）当点P在上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）如果△PGH是直角三角形，试求OG：PG：HG的值；（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．34．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是；②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r＝4，则半圆的直径AB＝．35．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点C（0，﹣4）和点D（2，﹣6），与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），且点D与点G关于坐标原点对称．（1）求该二次函数解析式，并判断点G是否在此函数的图象上，并说明理由；（2）若点P为此抛物线上一点，它关于x轴，y轴的对称点分别为M，N，问是否存在这样的P点使得M，N恰好都在直线DG上？如存在，求出点P的坐标，如不存在，请说明理由；（3）若第四象限有一动点E，满足BE＝OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜4，△BEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．。

专题：三角形的五心汇总

专题:三角形的五心三角形五心将在本节详细介绍,其难度较大,望量力而行三角形中有许多重要的特殊点,特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用,在本节中将分别给予介绍．三角形的“五心"指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心（外接圆圆心)．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径．锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点; 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点，这点称为三角形的内心(内切圆圆心）．三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =错误!(a +b +c )，则r =错误!．特别的，在直角三角形中,有 r =错误!(a +b －c ）． 3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心．上面的证明中,我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2． 4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点，这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组"．5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心）．每个三角形都有三个旁切圆． A 类例题例1 证明重心定理。

证法1 如图，D 、E 、F 为三边中点，设BE 、CF 交于G ，连接EF ，显然EF 错误!错误!BC ，由三角形相似可得GB ＝2GE ，GC =2GF ．又设AD 、BE 交于G ’，同理可证G 'B =2G ’E ，G ’A =2G ’D ，即G 、G '都是BE 上从B 到E 的三分之二处的点，故G ’、G 重合．即三条中线AD 、BE 、CF 相交于一点G ．AB COABCDEFG AB CDEFI aIK HEFD ABCMC证法2 设BE 、CF 交于G ，BG 、CG 中点为H 、I ．连EF 、FH 、HI 、IE ,因为EF 错误!错误!BC ，HI 错误!错误!BC ，所以 EFHI 为平行四边形．所以 HG =GE 、IG=GF ,GB =2GE ，GC =2GF ．同证法1可知AG =2GD ，AD 、BE 、CF 共点．即定理证毕．情景再现1．设G 为△ABC 的重心，M 、N 分别为AB 、CA 的中点，求证:四边形GMAN 和△GBCC的面积相等．2．三角形的任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的二倍．B 类例题例3 过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N 。

三角形的“四心”(内心、外心、重心、垂心)(曲老师推荐用)

曲老师推荐中考数学专题之：三角形的“四心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。