平方差和完全平方公式教学与拓展

1 第一章 整式的乘除

一、平方差公式

教学目标

平方差公式的特征 平方差公式

利用平方差公式简便计算

复习回顾：多项式与多项式是如何相乘的？

计算下列各题：

(1) ()()22-+x x ； (2) ()()a a 3131-+； (3) ()()y x y x 55-+； (4) ()()z y z y -+22. 观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？ 再举两例验证你的发现. 1、平方差公式：

（1）平方差公式的推导：()()2

2

2

2

b a b ab ab a b a b a -=++-=-+

（2）文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. （3）符号语言：()()2

2

b a b a b a -=-+.

例1 利用平方差公式计算：

（1）()()x x 6565-+； （2）()()y x y x 22+-； （3）()()88-+ab ab .

（4）面积表示： 例2如图①，从边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形，再沿着线段AB 剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形． (1)设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a ，b 的代数式表示S1，S2；

(2)请写出上述过

程所揭示的乘法公式．

2、公式变形:

()()22b a b a b a -=--+-

注：（1）这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等等；

相同为a

加括号

b

2 （2）逆运算也是成立的.

例3 利用平方差公式计算：

（1）()()n m n m --+- . （2）⎪⎭

⎫

⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--y x y x 4

141

；

（3）()()()1112+-+x x x （4）⎪⎭

⎫ ⎝

⎛+⎪⎭⎫ ⎝

⎛+⎪⎭⎫ ⎝

⎛-2141212x x x

例4 利用平方差公式计算：

（1）()()z y x z y x ++-+-

（2）()()z y x z y x -+++-

（3）()()1212+--+y x y x （4）()()939322+++-x x x x

3、利用平方差公式简便计算

(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点: (2)从以上的过程中，你发现了什么规律？

(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗?

例5 用平方差公式进行计算：

(1)103×97； (2)118×122.

例6 运用平方差公式计算：

(1) 2 014×2 016－2 0152； (2) 1.03×0.97； (3) 3

13932

40⨯. 拓展提高

1．计算：

（1）（2+1）（22

+1）（24

+1）…（n

22+1）+1（n 是正整数）；

（2）（3+1）（32

+1）（34

+1）…（32008

+1）－4016

32

．

3.已知02,62

2=-+=-y x y x ，求5--y x 的值． 4.计算：129798991002

2

2

2

2

-++-+- ．

5.求值：)1011)(911()411)(311)(211(2

2222-----

． 7×9=

8×8=

11×13= 12×12= 79×81=

80×80=

3 6．利用平方差公式计算：2009×2007－20082

． （1）利用平方差公式计算：

2

2007

200720082006

-⨯． （2）利用平方差公式计算：2

2007200820061

⨯+．

7．解方程：()()()()

35121222

+=-+++x x x x x ．

8．（规律探究题）已知1≠x ，计算()()2111x x x -=+-，()()3

2111x x x x -=++-，

()()432111x x x x x -=+++-．

（1）观察以上各式并猜想：

()()=+++-n

x x x x 211______．（n 为正整数） （2）根据你的猜想计算：

①()()

=+++++5

4

3

2

2222212-1______．

②=++++n 222232 ______（n 为正整数）． ③()(

)

=++++++-112979899

x x x x x

x _______．

（3）通过以上规律请你进行下面的探索： ①()()b a b a +-= ． ②()()

2

2

b ab a b a ++-= ．

③()()

3

2

2

3

b ab b a a b a +++-= ．

④()(

)

n n n n n

b b a b a b a

a b a +++++----12221

= .

二、完全平方公式

教学目标

完全平方公式的特征

完全平方公式

完全平方公式的应用及逆应用 引入

计算下列各式，你能发现什么规律？

(1) ()()()=++=+1112

p p p .

(2) ()=+2

2m = .