1997IMO中国国家队选拔(第十二届)

《数学奥林匹克报》
Mathematical Olympiad Express
1997 第 12 届
IMO 中国国家队选拔考试
第一天
一、给定 λ ＞1，设 P 是△ABC 外接圆的 BAC 上的一个动点，在射线 BP 和 CP 上分别取点 U 和 V， 使得 BU＝ λ BA，CV＝ λ CA，在射线 UV 上取点 Q，使得 UQ＝ λ UV。试求点 Q 的轨迹。 二、有 n 支足球队进行比赛，每两队都赛一场，胜队得 3 分，负队得 0 分，平局各得 1 分。 问一个队至少要得多少分，才能保证得分不少于该队的至多有 k − 1 支队，其中 2≤ k ≤ n − 1 。 三、求证：存在自然数 m ，使得有整数序列 {an } ，满足：① a0 ＝1， a1 ＝337； ② an +1an −1 − an
(
2
) ＋ 3 (a 4
n +1
+ an −1 − 2an ) ＝ m ， ∀ n ≥1；③
1 ( an + 1)( 2an + 1) 都是整数的平方。 6
第二天
四、试求所有满足下列各条件的实系数多项式 f ( x ) ： ① f ( x ) ＝ a0 x ＋ a2 x
2n 2n−2
＋……＋ a2 n − 2 x ＋ a2 n ＞0； ②
2
∑a
j =0
n
2 j 2n−2 j
a
≤ C2 n a0 a2 n ；
n
③ f ( x ) 的 2n 个根都是纯虚数。 五、设自然数 n ＞6，给定 n 元集合 X ，任取 X 的 m 个互不相同的 5 元子集 A1 ， A2 ，……， Am 。
求证：当 m ＞
n ( n − 1)( n − 2 )( n − 3)( 4n − 15 ) 时，存在 Ai1 ， Ai2 ，……， Ai6 600
，使得 （1≤ i1 ＜ i2 ＜……＜ i6 ≤ m ）
∪A
k =1
6
ik
＝6。
六、有 A、B、C3 个药瓶，瓶 A 中装有 1997 片药，瓶 B 和瓶 C 都是空的，装满时可分别装 97 片和 19 片药。 每片药含 100 单位有效成分，每开瓶一次该瓶内每片药都损失 1 个单位有效成分。某人每天开瓶一次、 吃一片药，他可以利用这次开瓶的机会将药片装入别的瓶中以减少以后的损失，处理后将瓶盖都关上， 问：当他将药片全部吃完时，最少要损失多少个单位有效成分？ 1997 第 38 届 IMO 于 1997 年 7 月 18 日～7 月 31 日在阿根廷马德普拉塔举行 中国国家队队员是 邹 瑾 湖北武钢三中（高二）金牌 孙晓明 山东青岛二中 金牌 郑常津 福建福安一中 金牌 倪 忆 湖北黄冈中学 金牌 韩 嘉 深圳中学 金牌 安金鹏 天津一中 金牌
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