第十章 重积分习题课

第十章 重积分习题课

基本内容

一、 重积分的概念与性质

定义1 设),(y x f 是有界闭区域D 上的有界函数，将闭区域D 任意划分成n 个小闭区域n D D D ∆∆∆,,,21 ，记小闭区域i D ∆的面积为i σ∆ (i = 1,2,…,n )。在i D ∆上任取一点),(i i ηξ，作

乘

积

i

i i f σ∆ηξ),(

)

,,2,1(n i =，再作和

.

),(1

i n

i i i f σ∆ηξ∑=记

},,2,1max{n i D i =∆=的直径λ. 如果不论对区域D 怎样分割，也不论在小区域i D ∆上怎

样选取),(i i ηξ，λ→0时，和式i n

i i i f σ∆ηξ∑=1

),(总趋于确定的常数J ，则称常数J 为函数

),(y x f 在闭区域D 上的二重积分，记作⎰⎰D

d y x f σ),(，即

.

),(lim

),(1

0i n

i i i D

f d y x f σ∆ηξσλ∑⎰⎰

=→=

（1）

其中),(y x f 称为被积函数，σd y x f ),(称为积分表达式，σd 称为面积元素，x , y 称为积分变

量，D 称为积分区域，i n

i i i f σ∆ηξ∑=1),(称为积分和。

注 ❶ 二重积分的存在性：若(1)式右端的极限存在，则称函数),(y x f 在闭区域D 上的二重积分存在，或称),(y x f 在D 上可积。对一般的函数),(y x f 和区域D ，(1)式右端的极限未必存在。

可以证明只要函数),(y x f 满足下面条件之一，二重积分⎰⎰D

d y x f σ),(就必定存在：①

若),(y x f 在有界闭区域D 上连续。② 若用一些分段光滑的曲线将D 分成有限多个小区域后，

),(y x f 在每个小区域上连续。一般地，我们总假定函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续。

❷ 二重积分记号中的面积元素σd 象征和式中的i σ∆. 因为二重积分定义中对区域的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分区域D 时，除含有D 的边界点的一些小区域外，绝大多数小区域都是矩形，设矩形小区域i σ∆的边长为i x ∆和

i y ∆，则i i i y x ∆∆σ∆=，因此也把在直角坐标系中的面积元素σd 记作dxdy ，即直标系中二

重积分可记作⎰⎰D

xdy d y x f ),(.

❸ 几何解释：由二重积分定义知，曲顶柱体的体积就是其高度函数),(y x f 在底D 上

(),(y x f 在D 上非负)的二重积分，即⎰⎰=D

d y x f V σ),(；当),(y x f 为负时，柱体在y xO 面的下方，

二重积分等于柱体体积的负值。 二重积分的性质

由于重积分定义与定积分定义是同一类型和式的极限，因此它们有类似的性质。叙述如下，设D 是y xO 平面上的有界闭区域，σ 为D 的面积。

性质1 (线性性) 如果函数),(y x f 、),(y x g 都在D 上可积，则对任意的常数βα、

函数),(),(y x g y x f βα+也在D 上可积，且

.),(),()],(),([⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+D

D

D

d y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα

性质2 (区域可加性) 如果函数),(y x f 在D 上可积，用曲线将D 分割成两个闭区域D 1与

D 2，则在D 1或D 2上),(y x f 也可积，且

.),(),(),(2

1

⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=D D D

d y x f d y x f d y x f σσσ

性质3 (常数1的积分) 如果在D 上， 1),(≡y x f ，则

.1σσσ==⎰⎰⎰⎰D

D

d d

性质4 (保号性) 如果函数),(y x f 在D 上可积，且在D 上0),(≥y x f ，则

.0),(≥⎰⎰D

d y x f σ

推论1 (保序性) 函数),(y x f 、),(y x g 都在D 上可积，且在D 上),(),(y x g y x f ≤，则

.),(),(⎰⎰⎰⎰≤D

D

d y x g d y x f σσ

推论2 (绝对值性质) 如果函数),(y x f 在D 上可积，则函数),(y x f 也在D 上可积，且

.),(),(⎰⎰⎰⎰≤D

D

d y x f d y x f σσ

性质5 (估值不等式) 如果函数),(y x f 在D 上可积，且在D 上取得最大值M 和最小值

m ，则

.),(σσσM d y x f m D

⎰⎰≤≤

性质6 (积分中值定理) 如果函数),(y x f 在D 上连续，则在D 上至少存在一点),(ηξ，使得

σηξ),(),(f y d x d y x f D

=⎰⎰

积分中值定理的几何意义：任意曲顶柱体的体积必等于某同底、高为),(ηξf 的平顶柱体的体积。

二、二重积分的计算

1、利用直角坐标计算二重积分

2、利用极坐标计算二重积分

三、三重积分的计算

1、利用直角坐标计算三重积分

2、利用柱面坐标计算三重积分

四、重积分的应用

1、平面区域的面积

利用二重积分的性质3，可求平面区域D 的面积。设平面区域D 位于xO y 面上，则

D 的面积

⎰⎰=D

y d x d σ.

2、 空间立体的体积

由二重积分的几何解释可知，利用二重积分可以计算空间立体的体积V ：

若空间立体为一曲顶柱体，设曲顶曲面的方程为),(y x f z =，且曲顶柱体的底在

xO y 平面上的投影为有界闭区域D ，则

⎰⎰=D

d

y x f V σ),( （1） 若空间立体为一上、下顶均是曲面的立体(图10-23)， 如何计算这个立体的体积V ？ 设立体上、下曲顶的曲面 方程分别为),(y x f z =和),(y x g z =， 且曲顶柱体在

xO y 平面上的投影为有界闭区域D ，则