第7章多元函数积分学8-16(重积分的物理应用 习题课)

六. 物体的关于坐标轴与原点的转动惯量I 例5
七. 平面薄片D关于质点的引力 八.物体关于质点的引力
重积分内容小结
一. 平面薄片D的质量
设平面薄片D的面密度为 ( x, y), 求其质量.
dm ( x, y)d
y
m ( x , y)d
D
d
二. 物体的质量
o
x
设物体的体密度为 ( x, y, z ), 求其质量.
2 2 R cos 5

8 6 R 1 5 3 z z ( x , y, z )dv R. m 32 5 4 R 15 5 所求重心坐标为 (0,0, R). 4
五. 平面薄片D关于坐标轴与原点的转动惯量I
设平面薄片D的面密度为 ( x , y), 求I x , I y , I o .
yd
D
1
例2. 在均匀半圆形薄片的直径上，连接一边与直径重 合与半圆同材料的矩形薄片，为了使整个薄片重心恰 好落在圆心上，问连接的矩形薄片另一边长度为多少? y 解 设半圆的半径为R, 矩形的另一边长为h.
由x 0, y 0得,
xdxdy 0, ydxdy 0,
I x ( y 2 z 2 ) ( x , y, z )dv

I y ( x 2 z 2 ) ( x , y, z )dv

I z ( x 2 y 2 ) ( x , y, z )dv

I o ( x 2 y 2 z 2 ) ( x , y, z )dv
解 X-型
1 x 2 1 D: , yx x
D
2 2 xx x2 d dx 1 2 dy 2 1 y x y D
2 x2 x ( ) 1 dx ( x 3 x )dx 9 . 1 1 y x 4
2
例4 更换积分次序
I dx
0 1 x2
0
f ( x, y)dy dx
1
3
1 (3 x ) 2 0
f ( x, y)dy
(3)注意分段函数
例5 计算 y x 2 d . 其中 D : 1 x 1, 0 y 1.
D
D D
o
Rx
而 ydxdy R dx h
D
R
R x
2
2
h R 1 2 2 2 ( R x h )dx ydy R 2
2 2 3 2 R. R h R 0, h 3 3
四. 物体的重心
设物体的体密度为 ( x , y, z ), 求其重心( x , y, z ).
解
D {( x, y) | x y 1, 1 x 1}
I ( y 1) 2 d
D
2
y
o
2
x
368 . 1 dx x 2 ( y 1) dy 105
1 1
1
六. 物体的关于坐标轴与原点的转动惯量I
设物体的体密度为 ( x , y, z ), 求I x , I y , I z , I o .
薄片对 z 轴上单位质点的引力 F { Fx , Fy , Fz },
z
m ( x , y)d F s { x , y , a }, dF k 2 , x y2 a2 o d y x cos , 2 2 2 x y a x ( x , y,0) y a cos , cos . x 2 y2 a2 x 2 y2 a2
列不等式法
(从内到外: 面、线、点)
二重积分计算的基本技巧
1. 交换积分顺序的方法
2. 利用对称性或重心公式简化计算 3. 消去被积函数绝对值符号 分块积分法 利用对称性
4. 利用重积分换元公式
二、二重积分典型例题
(1)恰当选择坐标系 例1 计算
e
D
( x2 y 2 )
d . 其中 D : a x y b ．
D
o
x
1 x x ( x , y )d mD 1 y y ( x , y )d mD
x ( x , y)d
D
( x , y)d
D
y ( x , y)d
D
若分布均匀,则 1 x xd

D
( x , y)d
D
y
( x 2 y2 a2 ) m ( x , y) yd dFy dF cos k , 3 ( x 2 y2 a2 ) 2 am ( x , y)d dFz dF cos k , 3 ( x 2 y2 a2 ) 2 d 3 Fx km 2 2 2 2 ( x y a ) D ( x, y) y F km d y 2 2 2 3 2 ( x y a ) D ( x, y) d Fz kma 3 2 2 2 2 D (x y a )
2 2 2 2
此题用直角坐标系不可积. (2)积分次序不容忽略
例2
sin x dxdy, D : y x, x 2, y 1 所围. 计算 I x 1 D
此题先对x积分不可积.
x2 1 例3 计算 2 d . 其中 D 由 y x , y , x 2 x D y 围成．
2 2 2
该点到坐标原点的距离平方, 试求球体的重心.
解
( x, y, z ) x y z ,

2
2
2
z
m ( x 2 y 2 z 2 )dv
0 d 02 d 2 R cos 4 sind 32 R5 0 15 2 2 2 x 而 x ( x y z )dv 0,
I md 2
dI x y 2 ( x , y)d
I x y 2 ( x , y)d
D
y
d
I y x ( x , y)d
D
2
o
x
I o ( x 2 y 2 ) ( x , y)d
D
例4.求由抛物线 y x 2及直线 y 1所围的均匀薄片(面 密度为1), 对于直线 y 1的转动惯量.

2

o
y
y( x

2
y z )dv 0,
2
2
2 2 2 z ( x y z )dv
8 6 0 d 02 d 0 sin cos d R 3 1 1 x x ( x , y, z )dv 0, y y ( x , y, z )dv 0, m m
dm ( x, y, z )dv
m ( x , y, z )dv

例1.一物体由半径为 4和 8的两个同心球所围成, 其上任 一点的密度与该点到球心的距离成反比, 而且已知 离球心为 5处的密度为1, 求此物体的质量. z
解 物体为两球面围成, 即为
4 x y z 8 5 o 且 ( x , y, z ) , x 2 y2 z 2 x 5 m dv 5 sinddd 2 2 2 x y z
1 x x ( x , y, z )dv m 1 y y ( x , y, z )dv m 1 z z ( x , y, z )dv m
x ( x , y, z )dv

( x , y, z )dv

若分布均匀,则
x y ( z a) ( x , y, z ) x F km dv x 3 2 2 2 2 [ x y ( z a ) ]
( x , y, z ) y F km dv 3 2 2 y 2 2 [ x y ( z a) ] ( x , y, z )( z a ) dv 3 Fz km 2 2 2 2
高等数学A
第7章 多元函数积分学
7.1 重积分
7.1.5 重积分的物理应用
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
7.1 重积分
7.1.5 重积分的物理应用 一. 平面薄片D的质量
二. 物体的质量
例1
重 积 分 的 物 理 应 用
三. 平面薄片D的重心 例2
四. 物体的重心
例3
五. 平面薄片D关于坐标轴与原点的转动惯量I 例4

例5.求半径为 a, 高为 h的均匀圆柱体对于过中心而平 行于母线的轴的转动惯量( 1).
解 如图所示建立坐标系，
z
h
则柱面方程为 x 2 y 2 a 2
I z ( x y )dv

2
2
r 2 rdrddz

x
1 ha 4 . 2
o
a
y
0 d
0 d 0 sind 4 5 d 480 .
2
2
2
2
2
2
y

8
三.平面薄片D的重心
平面薄片D的重心( x , y )
设平面薄片D的面密度为 ( x, y ), 求其重心( x , y ).
y
dM y x ( x , y)d ,
d
M y x ( x , y)d , 又M y mx ,
y ( x , y, z )dv

1 x xdv V 1 y ydv V 1 z zdv V
( x , y, z )dv

z ( x , y, z )dv ( x , y, z )dv

例3.球体x y z 2 Rz内各点处的体密度都等于

[ x y ( z a) ]
一、重积分内容小结
二重积分的定义 二重积分的几何意义 二重积分的性质 直角坐标下计算二重积分 极坐标下计算二重积分 用区域的对称性和函数的奇偶性简化二重积分的计算 用换元法计算二重积分
三重积分的定义 三重积分的性质 分 直角坐标下计算三重积 用"先二后一"计算三重积分 柱面坐标下计算三重积 分 球面坐标下计算三重积 分 用区域的对称性和函数的奇偶性简化三重积分的计算 用换元法计算三重积分
dFx dF cos k
m ( x , y) xd
3 2
,
( x, y) x
八.物体关于质点的引力
设有一物体，占有空间内的闭区域 ，在点 ( x , y, z ) 处的体密度为 ( x , y, z ) ，假定 ( x , y, z ) 在 z 轴上的点M 0 (0,0, a ) 处 上连续，计算该物体对位于 的质量为 m 的质点的引力．(a 0) m ( x , y, z )dv dF k 2 , s { x, y, z a}, 2 2
求平面区域的面积 求立体的体积 求曲面的面积 求平面薄片和空间物体的质量 求平面薄片和空间物体的重心 求平面薄片和空间物体的转动惯量 求平面薄片和空间物体对质点的万有引力
重积分计算的基本方法
—— 累次积Hale Waihona Puke Baidu法
1. 选择合适的坐标系
使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 3. 掌握确定积分限的方法 图示法
2
a 3 h r dr 0 dz 0

七. 平面薄片D关于质点的引力 设有一平面薄片，占有xoy 面上的闭区域 D ， 在点( x , y ) 处的面密度为 ( x , y ) ，假定 ( x , y ) 在 z 轴上的点 D 上连续，计算该平面薄片对位于 M 0 ( 0,0, a ) 处的质量为 m 的质点的引力．( a 0)