球的表面积与体积
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O
2.(1)把球的半径扩大为原来的 倍，则体积扩大为原来的 把球的半径扩大为原来的3倍 把球的半径扩大为原来的 ________倍. 倍 (2)把球队表面积扩大到原来的 倍，那么体积扩大为原 把球队表面积扩大到原来的2倍 把球队表面积扩大到原来的 来的_______倍. 来的 倍 (3)三个球的表面积之比为 三个球的表面积之比为1:2:3，则它们的体积之比为 ， 三个球的表面积之比为 _________. (4)三个球的体积之比为 三个球的体积之比为1:8:27，则它们的表面积之比为 三个球的体积之比为 ， ________.
1.一球的球面面积为 一球的球面面积为256πcm2，过此球的一条半径的 一球的球面面积为 中点，作垂直于这条半径的截面， 中点，作垂直于这条半径的截面，求截面圆的面 积. 变式：在球内有相距9cm的两个平行截面，截面面 的两个平行截面， 变式：在球内有相距 的两个平行截面 积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积 求球的表面积. 积分别为 两种情况 2. 过球面上三点 、B、C的截面和球心 的距离等于球 过球面上三点A、 、 的截面和球心 的截面和球心O的距离等于球 的半径的一半， 的半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3，求球的体积 ＝ ＝ ＝ ，求球的体积. 变式：在半径为13cm的球面上有 、B、C三点，AB＝ 的球面上有A、 、 三点 三点， ＝ 变式：在半径为 的球面上有 6cm，BC＝8cm，CA＝10cm，求经过 、B、C三点 ， ＝ ， ＝ ，求经过A、 、 三点 的截面与球心O之间的距离 之间的距离. 的截面与球心 之间的距离
推导球的体积公 式？
把半球分割成n 把半球分割成n个薄片
当分割的 层数不断 增加， 增加，每 一层就越 接近一个 圆柱体。 圆柱体。
当n→∞时，每个薄片近似于Fra Baidu bibliotek柱 n→∞时，每个薄片近似于圆柱
设球的半径为R， 设球的半径为 ，它的体积只与 半径R有关 有关。 半径 有关。 将半球分割成n层 将半球分割成 层，每一层都近似 于圆柱形状的“小圆片” 于圆柱形状的“小圆片”。这些 小圆片” “小圆片”的体积之和就是球的 体积。 体积。 选第i层 R 由下而上），如右图。 ），如右图 选第 层（由下而上），如右图。
V半球＝V1 + V2 + ⋅⋅⋅ + Vn π R3 12
n( n + 1)( 2n + 1) 1 + 2 +L+ n = 6
2 2 2
22 (n − 1) 2 {1 + (1 − 2 ) + (1 − 2 ) + ⋅⋅⋅ + [1 − ]} ≈ 2 n n n n
1 + 2 + ⋅⋅⋅ + (n − 1) = [n − ] 2 n n
3 2 2 2
3
πR
( n − 1)( 2 n − 1) = π R [1 − ] 2 6n
V半球
1 1 (1 − )(2 − ) 1 3 n n ] 当n无限变大时， 趋于0 ≈ π R [1 − n 6
2 3 V半球＝ π R 3
4 3 V 球＝ π R 3
用“祖暅原理 用“祖暅原理”得到球体积公式 祖暅原理”得到球体积公式
此页2不讲， 此页2不讲，留给以后专题课
锥体截面性质
平行于底面的截面与底面相似， 平行于底面的截面与底面相似，且
S1
S截 S底
h 1 2 S小棱锥侧 =( ) ＝ h S原棱锥侧
S
当平行于底面的截面过棱锥 高的中点时，这个截面常被 高的中点时， 称为中截面，思考： 称为中截面，思考：
S中截 S底
=?
“接”与“切”：
两个几何体相 两个几何体相（内）切:一个几何体的各个 一个几何体的各个 面与另一个几何体的各面相切 两个几何体相接 相接:一个几何体的所有顶点都 两个几何体相接 一个几何体的所有顶点都 在另一个几何体的表面上 解决“接切”问题的关键是画出正确的截 解决“接切”问题的关键是画出正确的截 把空间“接切”转化为平面“接切” 面，把空间“接切”转化为平面“接切” 问题
长方体对角线 l 2 = a 2 + b2 + c 2
四面体与球的“接切”问题
典型：正四面体ABCD的棱长为 ，求 典型：正四面体 的棱长为a， 的棱长为 其内切球半径r与外接球半径 与外接球半径R. 其内切球半径 与外接球半径 思考：若正四面体变成正三棱锥， 思考：若正四面体变成正三棱锥，方法 是否有变化？ 是否有变化？ 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
思考：如何求球的体积？
排液法： 排液法：
H h h
回顾：圆面积公式的推导
n=6 A1 O A2 n=12 An O p A1 A2 A3
S正多边形 = S∆A1OA2 + S∆A 2OA3 + L + S∆A n OA1
1 1 pC = p(A1A2 + A2A3 + L+ An A1) = 2 2
截面问题
用一个平面α去截一个球 ， 用一个平面 去截一个球O，截面是圆面 去截一个球 球的截面的性质： 球的截面的性质：
球心和截面圆心的连线垂直于截面 球心到截面的距离为d，球的半径为R， 球心到截面的距离为 ，球的半径为 ，则
r = R −d
2 2
2
O
R
ß
d
r
截面问题
要点：准确画图，利用基本三角形
此页不讲， 此页不讲，留给以后专题课
球与旋转体的“接切”问题
1.半圆 的直径为直角梯形垂直于底的 半圆O的直径为直角梯形垂直于底的 半圆 且切AB、 、 于 、 、 腰，且切 、BC、CD于A、E、D 将其绕AD所在直线旋转一周 所在直线旋转一周， 点，将其绕 所在直线旋转一周， 得到一个球与一个圆台， 得到一个球与一个圆台，若球的表面 积与圆台侧面积的比为3:4， 积与圆台侧面积的比为 ，求球的 体积与圆台体积之比. 体积与圆台体积之比 2.一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面 一个倒立的圆锥形容器， 一个倒立的圆锥形容器 是正三角形， 是正三角形，在此容器内注入水并且 放入一个半径为r的铁球 的铁球， 放入一个半径为 的铁球，这时水面 恰好和球面相切， 恰好和球面相切，问将球从圆锥内取 出后，圆锥内水平面的高是多少？ 出后，圆锥内水平面的高是多少？
球与正方体的“接切”问题
典型：有三个球,一球切于正方体的各面 典型：有三个球 一球切于正方体的各面 一球切 一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点 一球过正方体的各顶点,求 于正方体的各侧棱 一球过正方体的各顶点 求 这三个球的体积之比. 这三个球的体积之比
a r1 = 2
n 厚度： 厚度：
ri =
2
ri
R (i − 1) n
R
O
下底面半径： 下底面半径：
R R −[ (i − 1)]2 , i = 1,2L n. , n
3
i − 1 2 πR 2 R 1 − 体积： 体积： V i ≈ πri ⋅ = n n n
球的体积公式
正多边形
假设将圆n等分， 假设将圆 等分，则 等分
当n → ∞时， → R, C正多边形→ C圆 p
1 2 ∴S圆 = R ⋅ 2πR = πR 2
延伸阅读：割圆术
早在公元三世纪， 早在公元三世纪，我国数学家刘徽 为推导圆的面积公式而发明了“ 为推导圆的面积公式而发明了“倍 边法割圆术”。 边法割圆术” 他用加倍的方式不断增加圆内接正 多边形的边数， 多边形的边数，使其面积与圆的面 积之差更小，即所谓“割之弥细， 积之差更小，即所谓“割之弥细， 所失弥小” 这样重复下去， 所失弥小”。这样重复下去，就达 到了“割之又割，以至于不可再割， 到了“割之又割，以至于不可再割， 思考：能否也 则与圆合体而无所失矣” 则与圆合体而无所失矣”。 采取“分割”与 采取“分割”与 这是世界上最早的“极限”思想。 这是世界上最早的“极限”思想。 “极限”思想， 极限”思想，
锥体截面问题
1.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积 用平行于圆锥底面的平面截圆锥， 用平行于圆锥底面的平面截圆锥 与底面面积的比是1:3， 与底面面积的比是 ，这截面把圆锥母线分成为 两段的比是多少？ 两段的比是多少？ 变式：棱锥的底面面积为150cm2，平行于底面的截 变式：棱锥的底面面积为 ， 面面积为54cm2，若底面和截面的距离为 面面积为 ，若底面和截面的距离为14cm， ， 求这个棱锥的高
高等于底面半径的旋转体体积对比
R α
V圆锥
1 3 = πR 3
V半球
2 3 = πR 3
V圆柱 = πR
3
球的表面积公式推导
球面不能展开成平面图形， 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无 法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢? 法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢 从球的体积公式的推导方法, 得到启发， 从球的体积公式的推导方法 得到启发，可以借助 极限思想方法来推导球的表面积公式。 极限思想方法来推导球的表面积公式。
∆S i
o
o
球的表面积公式推导
设“小锥体”的体积为Vi 小锥体” ∆
则球的体积为： 则球的体积为：
O
V = ∆V1 + ∆V2 + ∆V3 +L+ ∆Vn
∆S i
O
4 1 3 π R = sR 3 3
∆Vi
S = 4π R
2
基本计算问题
1.如图 圆柱的底面直径与高都等于球的直 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直 如图 求证: 径,求证 求证 (1)球的表面积等于圆柱的侧面积 球的表面积等于圆柱的侧面积. 球的表面积等于圆柱的侧面积 (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二 球的表面积等于圆柱全面积的三分之二. 球的表面积等于圆柱全面积的三分之二
2 a 2
a
a
r2 =
a
3 r3 = a 2
a
2a
2a
•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面 •找准数量关系
球与正方体的“接切”问题
球面上， 1.一个正方体的顶点都在 球面上，它的棱长 是 4cm ，求这个球队体积 . 2.钢球直径 5cm ，把钢球放入一个正方 体的 有盖纸盒中， 多少纸？ 有盖纸盒中，至少要用 多少纸？ 3.半球内有一内接正方体 ，正方体的一个面 在半球的底面圆上，若 正方体的一边长为 在半球的底面圆上， 6，求半球的半径 . 4.长方体的共顶点的三个 侧面面积分别为 3， 5，15，求它的外接球表面积 .
四面体与球的“接切”问题
1.正四棱锥的底面边长为 a，侧棱长为 2a (1)求它的外接球的体积； 求它的外接球的体积； ( 2 )求它的内切球的表面积 . 2.在半径为15的球内有一个底面边长 为12 3 的内接正三棱锥， 的内接正三棱锥，求此 正三棱锥的体积 . 3.在三棱锥 S − ABC 中， SA = AB = AC = 1， ∠BAC = 90 °, SA ⊥ 面 ABC ，求三棱锥的内切 球的半径 .
轴截面
球堆问题
化归为以各球球心为 顶点的多面体问题
1.把半径为 的四个球垒成两层放在桌面，下 把半径为R的四个球垒成两层放在桌面 把半径为 的四个球垒成两层放在桌面， 层放三个，上层放一个，两两相切， 层放三个，上层放一个，两两相切，求上 层小球最高点离桌面的距离. 层小球最高点离桌面的距离 2.四个半径为 的大球上层一个，下层三个两 四个半径为R的大球上层一个 四个半径为 的大球上层一个， 两相切叠放在一起， 两相切叠放在一起，在它们围成的空隙内 有一个小球与这四个大球都外切， 有一个小球与这四个大球都外切，另有一 个更大的球与这四个大球都内切， 个更大的球与这四个大球都内切，求小球 的半径r和更大球的半径 和更大球的半径R’. 的半径 和更大球的半径
2.(1)把球的半径扩大为原来的 倍，则体积扩大为原来的 把球的半径扩大为原来的3倍 把球的半径扩大为原来的 ________倍. 倍 (2)把球队表面积扩大到原来的 倍，那么体积扩大为原 把球队表面积扩大到原来的2倍 把球队表面积扩大到原来的 来的_______倍. 来的 倍 (3)三个球的表面积之比为 三个球的表面积之比为1:2:3，则它们的体积之比为 ， 三个球的表面积之比为 _________. (4)三个球的体积之比为 三个球的体积之比为1:8:27，则它们的表面积之比为 三个球的体积之比为 ， ________.
1.一球的球面面积为 一球的球面面积为256πcm2，过此球的一条半径的 一球的球面面积为 中点，作垂直于这条半径的截面， 中点，作垂直于这条半径的截面，求截面圆的面 积. 变式：在球内有相距9cm的两个平行截面，截面面 的两个平行截面， 变式：在球内有相距 的两个平行截面 积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积 求球的表面积. 积分别为 两种情况 2. 过球面上三点 、B、C的截面和球心 的距离等于球 过球面上三点A、 、 的截面和球心 的截面和球心O的距离等于球 的半径的一半， 的半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3，求球的体积 ＝ ＝ ＝ ，求球的体积. 变式：在半径为13cm的球面上有 、B、C三点，AB＝ 的球面上有A、 、 三点 三点， ＝ 变式：在半径为 的球面上有 6cm，BC＝8cm，CA＝10cm，求经过 、B、C三点 ， ＝ ， ＝ ，求经过A、 、 三点 的截面与球心O之间的距离 之间的距离. 的截面与球心 之间的距离
推导球的体积公 式？
把半球分割成n 把半球分割成n个薄片
当分割的 层数不断 增加， 增加，每 一层就越 接近一个 圆柱体。 圆柱体。
当n→∞时，每个薄片近似于Fra Baidu bibliotek柱 n→∞时，每个薄片近似于圆柱
设球的半径为R， 设球的半径为 ，它的体积只与 半径R有关 有关。 半径 有关。 将半球分割成n层 将半球分割成 层，每一层都近似 于圆柱形状的“小圆片” 于圆柱形状的“小圆片”。这些 小圆片” “小圆片”的体积之和就是球的 体积。 体积。 选第i层 R 由下而上），如右图。 ），如右图 选第 层（由下而上），如右图。
V半球＝V1 + V2 + ⋅⋅⋅ + Vn π R3 12
n( n + 1)( 2n + 1) 1 + 2 +L+ n = 6
2 2 2
22 (n − 1) 2 {1 + (1 − 2 ) + (1 − 2 ) + ⋅⋅⋅ + [1 − ]} ≈ 2 n n n n
1 + 2 + ⋅⋅⋅ + (n − 1) = [n − ] 2 n n
3 2 2 2
3
πR
( n − 1)( 2 n − 1) = π R [1 − ] 2 6n
V半球
1 1 (1 − )(2 − ) 1 3 n n ] 当n无限变大时， 趋于0 ≈ π R [1 − n 6
2 3 V半球＝ π R 3
4 3 V 球＝ π R 3
用“祖暅原理 用“祖暅原理”得到球体积公式 祖暅原理”得到球体积公式
此页2不讲， 此页2不讲，留给以后专题课
锥体截面性质
平行于底面的截面与底面相似， 平行于底面的截面与底面相似，且
S1
S截 S底
h 1 2 S小棱锥侧 =( ) ＝ h S原棱锥侧
S
当平行于底面的截面过棱锥 高的中点时，这个截面常被 高的中点时， 称为中截面，思考： 称为中截面，思考：
S中截 S底
=?
“接”与“切”：
两个几何体相 两个几何体相（内）切:一个几何体的各个 一个几何体的各个 面与另一个几何体的各面相切 两个几何体相接 相接:一个几何体的所有顶点都 两个几何体相接 一个几何体的所有顶点都 在另一个几何体的表面上 解决“接切”问题的关键是画出正确的截 解决“接切”问题的关键是画出正确的截 把空间“接切”转化为平面“接切” 面，把空间“接切”转化为平面“接切” 问题
长方体对角线 l 2 = a 2 + b2 + c 2
四面体与球的“接切”问题
典型：正四面体ABCD的棱长为 ，求 典型：正四面体 的棱长为a， 的棱长为 其内切球半径r与外接球半径 与外接球半径R. 其内切球半径 与外接球半径 思考：若正四面体变成正三棱锥， 思考：若正四面体变成正三棱锥，方法 是否有变化？ 是否有变化？ 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
思考：如何求球的体积？
排液法： 排液法：
H h h
回顾：圆面积公式的推导
n=6 A1 O A2 n=12 An O p A1 A2 A3
S正多边形 = S∆A1OA2 + S∆A 2OA3 + L + S∆A n OA1
1 1 pC = p(A1A2 + A2A3 + L+ An A1) = 2 2
截面问题
用一个平面α去截一个球 ， 用一个平面 去截一个球O，截面是圆面 去截一个球 球的截面的性质： 球的截面的性质：
球心和截面圆心的连线垂直于截面 球心到截面的距离为d，球的半径为R， 球心到截面的距离为 ，球的半径为 ，则
r = R −d
2 2
2
O
R
ß
d
r
截面问题
要点：准确画图，利用基本三角形
此页不讲， 此页不讲，留给以后专题课
球与旋转体的“接切”问题
1.半圆 的直径为直角梯形垂直于底的 半圆O的直径为直角梯形垂直于底的 半圆 且切AB、 、 于 、 、 腰，且切 、BC、CD于A、E、D 将其绕AD所在直线旋转一周 所在直线旋转一周， 点，将其绕 所在直线旋转一周， 得到一个球与一个圆台， 得到一个球与一个圆台，若球的表面 积与圆台侧面积的比为3:4， 积与圆台侧面积的比为 ，求球的 体积与圆台体积之比. 体积与圆台体积之比 2.一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面 一个倒立的圆锥形容器， 一个倒立的圆锥形容器 是正三角形， 是正三角形，在此容器内注入水并且 放入一个半径为r的铁球 的铁球， 放入一个半径为 的铁球，这时水面 恰好和球面相切， 恰好和球面相切，问将球从圆锥内取 出后，圆锥内水平面的高是多少？ 出后，圆锥内水平面的高是多少？
球与正方体的“接切”问题
典型：有三个球,一球切于正方体的各面 典型：有三个球 一球切于正方体的各面 一球切 一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点 一球过正方体的各顶点,求 于正方体的各侧棱 一球过正方体的各顶点 求 这三个球的体积之比. 这三个球的体积之比
a r1 = 2
n 厚度： 厚度：
ri =
2
ri
R (i − 1) n
R
O
下底面半径： 下底面半径：
R R −[ (i − 1)]2 , i = 1,2L n. , n
3
i − 1 2 πR 2 R 1 − 体积： 体积： V i ≈ πri ⋅ = n n n
球的体积公式
正多边形
假设将圆n等分， 假设将圆 等分，则 等分
当n → ∞时， → R, C正多边形→ C圆 p
1 2 ∴S圆 = R ⋅ 2πR = πR 2
延伸阅读：割圆术
早在公元三世纪， 早在公元三世纪，我国数学家刘徽 为推导圆的面积公式而发明了“ 为推导圆的面积公式而发明了“倍 边法割圆术”。 边法割圆术” 他用加倍的方式不断增加圆内接正 多边形的边数， 多边形的边数，使其面积与圆的面 积之差更小，即所谓“割之弥细， 积之差更小，即所谓“割之弥细， 所失弥小” 这样重复下去， 所失弥小”。这样重复下去，就达 到了“割之又割，以至于不可再割， 到了“割之又割，以至于不可再割， 思考：能否也 则与圆合体而无所失矣” 则与圆合体而无所失矣”。 采取“分割”与 采取“分割”与 这是世界上最早的“极限”思想。 这是世界上最早的“极限”思想。 “极限”思想， 极限”思想，
锥体截面问题
1.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积 用平行于圆锥底面的平面截圆锥， 用平行于圆锥底面的平面截圆锥 与底面面积的比是1:3， 与底面面积的比是 ，这截面把圆锥母线分成为 两段的比是多少？ 两段的比是多少？ 变式：棱锥的底面面积为150cm2，平行于底面的截 变式：棱锥的底面面积为 ， 面面积为54cm2，若底面和截面的距离为 面面积为 ，若底面和截面的距离为14cm， ， 求这个棱锥的高
高等于底面半径的旋转体体积对比
R α
V圆锥
1 3 = πR 3
V半球
2 3 = πR 3
V圆柱 = πR
3
球的表面积公式推导
球面不能展开成平面图形， 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无 法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢? 法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢 从球的体积公式的推导方法, 得到启发， 从球的体积公式的推导方法 得到启发，可以借助 极限思想方法来推导球的表面积公式。 极限思想方法来推导球的表面积公式。
∆S i
o
o
球的表面积公式推导
设“小锥体”的体积为Vi 小锥体” ∆
则球的体积为： 则球的体积为：
O
V = ∆V1 + ∆V2 + ∆V3 +L+ ∆Vn
∆S i
O
4 1 3 π R = sR 3 3
∆Vi
S = 4π R
2
基本计算问题
1.如图 圆柱的底面直径与高都等于球的直 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直 如图 求证: 径,求证 求证 (1)球的表面积等于圆柱的侧面积 球的表面积等于圆柱的侧面积. 球的表面积等于圆柱的侧面积 (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二 球的表面积等于圆柱全面积的三分之二. 球的表面积等于圆柱全面积的三分之二
2 a 2
a
a
r2 =
a
3 r3 = a 2
a
2a
2a
•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面 •找准数量关系
球与正方体的“接切”问题
球面上， 1.一个正方体的顶点都在 球面上，它的棱长 是 4cm ，求这个球队体积 . 2.钢球直径 5cm ，把钢球放入一个正方 体的 有盖纸盒中， 多少纸？ 有盖纸盒中，至少要用 多少纸？ 3.半球内有一内接正方体 ，正方体的一个面 在半球的底面圆上，若 正方体的一边长为 在半球的底面圆上， 6，求半球的半径 . 4.长方体的共顶点的三个 侧面面积分别为 3， 5，15，求它的外接球表面积 .
四面体与球的“接切”问题
1.正四棱锥的底面边长为 a，侧棱长为 2a (1)求它的外接球的体积； 求它的外接球的体积； ( 2 )求它的内切球的表面积 . 2.在半径为15的球内有一个底面边长 为12 3 的内接正三棱锥， 的内接正三棱锥，求此 正三棱锥的体积 . 3.在三棱锥 S − ABC 中， SA = AB = AC = 1， ∠BAC = 90 °, SA ⊥ 面 ABC ，求三棱锥的内切 球的半径 .
轴截面
球堆问题
化归为以各球球心为 顶点的多面体问题
1.把半径为 的四个球垒成两层放在桌面，下 把半径为R的四个球垒成两层放在桌面 把半径为 的四个球垒成两层放在桌面， 层放三个，上层放一个，两两相切， 层放三个，上层放一个，两两相切，求上 层小球最高点离桌面的距离. 层小球最高点离桌面的距离 2.四个半径为 的大球上层一个，下层三个两 四个半径为R的大球上层一个 四个半径为 的大球上层一个， 两相切叠放在一起， 两相切叠放在一起，在它们围成的空隙内 有一个小球与这四个大球都外切， 有一个小球与这四个大球都外切，另有一 个更大的球与这四个大球都内切， 个更大的球与这四个大球都内切，求小球 的半径r和更大球的半径 和更大球的半径R’. 的半径 和更大球的半径