数列通项公式的十种求法(非常经典)

数列通项公式的十种求法

（1）公式法（构造公式法）

例1 已知数列{}n a 满足1232n

n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n

n n a a +=+⨯两边除以12n +，得

113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n

n

a 是

以1222

a 1

1==为首项，以23

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222

n

n a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n

n n a a +=+⨯转化为

113

222

n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22

n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

（2）累加法

例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

2

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1

(1)2(1)1

2

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++

+⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=

所以数列{}n a 的通项公式为2

n a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+

+-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。

变式：已知数列{}n a 满足112313n

n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

（3）累乘法

例3已知数列{}n a 满足112(1)53n

n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n

n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则

1

2(1)5n n n

a n a +=+，故1

32

112

21

12211(1)(2)21

(1)1

2

[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53

32

5

!

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=

⋅⋅⋅

⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯

所以数列{}n a 的通项公式为(1)1

2

32

5

!.n n n n a n --=⨯⨯⨯

评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n

n n a n a +=+⨯转化为

1

2(1)5n n n

a n a +=+，进而求出

1

32

112

21

n n n n a a a a a a a a a ---⋅⋅⋅

⋅⋅，即得数列{}n a 的通项公式。 变式：已知数列{}n a 满足112311

23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通

项公式。

（4）待定系数法

例4已知数列{}n a 满足112356n

n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设1

15

2(5)n n n n a x a x +++⨯=+⨯

④

将1235n n n a a +=+⨯代入④式，得12355225n n n

n n a x a x ++⨯+⨯=+⨯，等式两边消去

2n a ，得135525n n n x x +⋅+⋅=⋅，两边除以5n ，得352,1,x x x +==-则代入④式得1152(5)n n n n a a ++-=-

⑤

由1

156510a -=-=≠及⑤式得50n

n a -≠，则11525

n n n

n a a ++-=-，则数列{5}n

n a -是以1151a -=为首项，以2为公比的等比数列，则152n n n a --=，故125n n n a -=+。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n n n a a +=+⨯转化为1152(5)n n

n n a a ++-=-，从而可知数列{5}n n a -是等比数列，进而求出数列{5}n

n a -的通项公式，最后再求出数列

{}n a 的通项公式。

变式：

①已知数列{}n a 满足1135241n

n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

②已知数列{}n a 满足2

1123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。

（5）对数变换法

例5已知数列{}n a 满足5

123n n n a a +=⨯⨯，17a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为5

11237n n n a a a +=⨯⨯=，，所以100n n a a +>>，。在5123n n n a a +=⨯⨯式两边取

常用对数得1lg 5lg lg3lg 2n n a a n +=++ ⑩ 设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++

○

11 将⑩式代入○11式，得5lg lg 3lg 2(1)5(lg )n n a n x n y a xn y +++++=++，两边消去

5lg n a 并整理，得(lg3)lg 255x n x y xn y ++++=+，则

lg35lg 25x x x y y +=⎧⎨++=⎩，故lg34lg3lg 2164x y ⎧

=⎪⎪⎨

⎪=+⎪⎩

代入○11式，得1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2

lg (1)5(lg )41644164

n n a n a n ++

+++=+++ ○

12