离散余弦变换

离散余弦变换

在数字信号处理领域中，除了应用前面介绍的DFT和DWT之外，还有很多种离散正交变换被广泛采用，其中离散余弦变换（DCT）日益受到重视，特别是在数字图像处理技术中，DCT显示许多优点。通常，以DCT[x(n)]表示对离散时间序列x(n)取一维离散余弦变换，为书写简短借助符号C(k)表示DCT[x(n)]，它的定义如下：

C(0)=

N

x(n) N−1

n=0

C(k)=2

N

x(n)

N−1

n=0

cos[(2n+1)kn

2N

]

逆变换IDCT[C(k)]=x(n)定义如下：

x(n)=

N 0+2

N

cos[(2n+1)kn

2N

]

N−1

k=1

以上各式中序号

N=0,1,2,3,………N-1共N个；

K=0,1,2,3,……….N-1也为N个。

从定义表达式容易看出，DCT与DNT的计算有着密切联系，将余弦函数改写为负指数函数取实部的形式可导出如下关系：

C k=2

N

x n Re[e−j(2n+1)kπ] N−1

n=0

=2

Re[x n e−j(2n+1)kπ

2N

N−1

n=0

]

如果把x(n)做如下的时域延拓，以x e(n)表示

x e n=x n (n=1,2,3,………N−1) 0 (n=N,N+1,………2N−1)

则DCT定义表达式可改写为

C0=1

N

x e

2N−1

n=0

(n)

C k=2

x e

2N−1

n=0

(n)cos[

(2n+1)kπ

]

=2

N

Re[x e

2N−1

n=0

n e−j2n+1kπ]

=2

N

Re[e−j kπx e

2N−1

n=0

n e−j2knπ] =

2

N

Re[e−j kπX e(k)]

式中X e k为x e(n)的2N点DFT。可见为求得DCT正变换，可以先求序列x e(n)的2N点DFT（也即FFT），然后在求得C(k).

在做DCT变换时也可现在变换域把C(k)做如下延拓，

C e k=C k (k=1,2,3,………N−1)

0 (k=N,N+1,………2N−1)

可导出IDCT的里一种形式

x(n)=(-

N −2

N

)C e0+

2

Re[e j kπ2N C e(k)e j2knπ2N]

2N−1

k=0

这表明为求得IDCT,可先求[e−j kπ

C e k]的IDFT,然后在

计算x(n)

在数字图像信号处理的许多实际问题中经常用二维离散余弦变换，其表达式为

C（k1,k2）=2

N

x(n1,n2)cos[2n1+1k1π

2N

]

N−1

n2=0

N−1

n1=0

·cos[2n2+1k2π

2N

]

上式中的k1,k2都不等于零，若其中k1或k2等于零，则二维DCT 如下，

C（0,0）=1

N

x(n1,n2)

N−1

n2=0

N−1

n1=0

C（0,k2）=2

N

x(n1,n2)

N−1

n2=0

N−1

n1=0

cos[2n2+1k2π

2N

]

C（k1,0）=2

N

x(n1,n2)

N−1

n2=0

N−1

n1=0

cos[2n1+1k1π

2N

]

相应的IDCT为

x(n1,n2)=1

N C(0,0)+2

N

C(0,k2)

N−1

k2=0

cos[2n2+1k2π

2N

]+

2 N

C(k1,0)

N−1

k1=0

cos[2n1+1k1π

2N

]+

2

N

C(k1,k2)

N−1

n2=0

N−1

n1=0

cos[

2n1+1k1π

2N

]cos[

2n2+1k2π

2N

]