大学物理第六章第7讲

例4 一平行平板电容器充满两层厚度各为 d1和 d 2 的电介质，它们的相对电容率分别为 r1 和 r2 , 极板 面积为 S . 求（1）电容器的电容； （2）当极板上的 自由电荷面密度的值为 0 时，两介质分界面上的极化 电荷面密度. 0 解：（1）设电介质中 +++++++++++ E1和 E2 电场强度分别为 - S1 - - - - 1 ' 方向垂直于板面，取上 d1 E1 ' 1 下底面积均为 S1 的正 + + + + + + 柱面为高斯面，上底面 d 2 - - - - - - 2 ' E2 在导体板内，下底面在 + + + + + + ' 2 的电介质内则 -----------
Q 1 1 1 1 1 1 Q [ ( ') '] [ ' ] ' 4 0 r rQ R R 4 0 r rQ R 4 0 R
Q
球为等势体，电势为 Q 1 1 1 1 [ ( ') '] U 球 E dr
R
4 0 r r R
i
（均匀各相同性介质）
在静电场中，通过任意闭合曲面的电位移通量 等于该闭合曲面所包围的自由电荷的代数和。
电位移矢量
电容率
D P 0E
（任何介质）
（均匀介质）
D E
0 r
' Pn
极化电荷面密度
C r C0
注意 有介质时先求
E E0 r
六 掌握静电平衡的条件，掌握导体处于 静电平衡时的电荷、电势、电场分布. 七 了解电介质的极化机理，掌握电位移 矢量和电场强度的关系.理解电介质中的高斯定 理，并会用它来计算电介质中对称电场的电场强 度. 八 掌握电容器的电容，能计算常见电容 器的电容.
九 理解电场能量密度的概念，掌握电场 能量的计算.
6-11 电位移 有电介质时的高斯定理 一、有介质时的高斯定理 1、问题的提出 以平板电容器中充有电介质为例讨论 取图示闭合的正柱面为高斯面S，两端面平 行于平板
1 E ds
S
0
q
S内
0 +++++++++++ ' - - - - - S
真空中的高斯定理
1 ' E dS (Q0 Q )
l
Q0 d1 d2 ( ) 0 S r1 r2
0 S1 +++++++++ - - - - - 1 ' d1 E1 + + + + + 1' - - - - - ' 2 d2 E2 + + + + +2' - - - - - - - 0
由电容定义
0
r 1 Q Q0 r
'
Q0 Q '
Q0
电容率
Q0 E dS
S
0 r
0 r
写成
r
0 r E dS Q0
S
令
D 0 r E E
S
电位移矢量 有介质时的高斯定理
D dS Q0i
特点：与路径无关，只与试验电荷和路径 始末位置有关 （2）试验电荷沿任意闭合路径一周，电 场力做功为零，则
E dl 0
l
环路定理
零电势 p
（3）电势定义
Vp
E dl
零电势选择；电势值的相对性；电势叠加原理
（4）电势差 V V A B 4. 电势的计算
（1）点电荷的电势

B
A
E dl ；WAB q(VA VB )

Vr
r
h
E dl
4 0 r qi
Q 4 0 r
（2）点电荷系的电势
（3）带电体电势
V
i 1
V
Q
dqBaidu Nhomakorabea
4 0 r
（4）“基本形状元”的电势叠加
（5）定义式
Va
零电势
R
R
静电场复习
一. 基本要求
一 掌握描述静电场的两个物理量—— 电场强度和电势的概念， 理解电场强度是 矢量点函数，而电势V 则是标量点函数.
二 理解高斯定理及静电场的环路定理 是静电场 的两个重要定理，它们表明静电 场是有源场和保守场.
三 掌握用点电荷电场强度和叠加原理以 及高斯定理求解带电系统电场强度的方法；并 能用电场强度与电势梯度的关系求解较简单带 电系统的电场强度. 四 掌握用点电荷和叠加原理以及电势的定 义式求解带电系统电势的方法. 五 了解电偶极子概念，能计算电偶极子在 均匀电场中的受力和运动.
r2 1 2' 0 r2
（2）应用已知公式
r1 1 1' 0 r1
例5 常用的圆柱形电容器，是由半径为 R1 的长 直圆柱导体和同轴的半径为 R2 的薄导体圆筒组成， 并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 r 的 电介质.设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 和 . 求（1）电介质中的电场强度、电位移和极 化强度；（２）电介质内、外表面的极化电荷面密度； （３）此圆柱形电容器的电容．
2 ' ( r 1) 0 E2 ( r 1) 2π r R2
r
R2
R1

( R1 r R2 ) E （３）由（１）可知 2π 0 r r R dr R2 ln U E dr R 2π r 2π 0 r R1 0 r
二. 基本内容
F 定义 E （矢量：大小和方向） q
电场强度的叠加原理 2. 电场强度的计算
1. 电场强度 E 和电场强度叠加原理
E E1 E2
1 Q （1）点电荷的电场强度 E e 2 r 4 0 r n 1 Qi e （2）点电荷系的电场强度 E 2 i i 1 4 0 ri
S
r
0
+ + + + + + 0 - - - - - - - - - - '
1 ' E dS (Q0 Q )
S
' 式中Q0和 Q分别为高斯面所包围的自由电荷和极化 电荷，前面讨论已知道，电介质中电场强度 E Q ' 与 有关，因此直接计算很困难的。 寻找一种简化的计算方法！
（3）带电体的电场强度
E
dq dl —电荷线密度） （ dq ds —电荷面密度） （ dq dv —电荷体密度） （
dq “电荷元” 电场的叠加
dq e 2 r 4 0 r
（4）“基本形状元”的叠加（矢量叠加） y y
o
z
x
o
x
z
（6）高斯定理求解 1 n Φe E dS qi S 0 i 1 用高斯定理求电场强度的步骤： 1 分析带电体及其产生的电场是否具有某种对称性。 2 做合适的高斯面。 3 分别求出电通量和电荷代数和。 4 写出高斯定理。 注：只有当电荷的分布，以及电场的分布具有某 种对称性时，才有可能应用定理求出电场强度
S S内
R
R
'
rQ
0 (球内) 有 D 4r Q (球外)
2
rP
Q
P
E
D


0（球内） Q E 4 0 r r 2 （介质内） Q （介质外） 2 4 0 r Q>0：沿半径向外；Q<0：沿半径向内。
R
R
'
rQ
rP
Q
P
（2）介质外任一点P电势
U P E dr Edr
rP rP


rP
4 r
0
Q
2
dr
Q 4 0 rp
介质内任一点Q电势
U P E dr E dr E dr
R' rQ rQ R'
R
R
'
rQ

R'
Q
2
4 0 r r rQ

R
'

Q 4 0 r 2
rP
Q
P
a
E dl
几种典型带电体的电势 带 电 细 R 圆 环
q
x
P
q R
V
q 4 0 ( x 2 R 2 )
q 4 0 R
均匀带电球壳
V
(r R)
（均匀介质）
D E U
说明： 1、为什么要引入电位移矢量 D ？ 2、D是一个辅助量，没有直接的物理意义
它是为求电介质中电场强度而引入的。
3、 与 D的通量是两个不同的概念。 D
5、D 0 r E E 适用范围
4、利用高斯定理求解电场强度时要求电介质及 场强具有对称性。
Q0 0 r1 r 2 S C U r1d 2 r 2 d1
设想 C1 和 C2 d d1 2 是由介质1和介质2分别构成的 两个电容器的电容，则电容 C 显然满足 1 1 1 C C1 C2
1
1
0 r s
0 r s
0 S1 +++++++++ - - - - - 1 ' d1 E1 + + + + + 1' - - - - - ' 2 d2 E2 + + + + +2' - - - - - - - 0
r
l
r
R2
R1

（２）由上题可知
E1 (r R1 ) D 2π 0 r R1 E 0 r 2π 0 r r E (r R2 ) 2 2π 0 r R2 1 ' ( r 1) 0 E1 ( r 1) 2π r R1
例3 把一块相对电容率 r 3 的电介质,放在极 板间相距 d 1mm 的平行平板电容器的两极板之间. 放入之前,两极板的电势差是 1000V . 试求两极板间 电介质内的电场强度 E , 电极化强度 P , 极板和电介 质的电荷面密度, 电介质内的电位移 D .
U 1000 1 6 1 3 1 解 E0 3 V m 10 V m 10 kV m d 10
R2
R1

r
R2
R1

) 解：（1）电场分析 ( R1 r R2 ,作一与圆柱同轴的 圆柱形高斯面，半径为 ，长为 ，则
D D2π rl l D d S l S 2π r D E ( R1 r R2 ) 0 r 2π 0 r r r 1 P ( r 1) 0 E 2π r r


D dS 0 S1
S
0
D dS 0 S1
S
D 0
仿此可得
0 E1 0 r1 0 r1
D
两极板间电势差
0 E2 0 r2 0 r2
D
U E dl E1d1 E2 d 2
2 1
R2 Q r C0 2π 0 r l ln C U R1
真空圆柱形 电容器电容
例6、在半径为R的金属球外，有一外半径为 R ' 的同心均 匀电介质层，其相对介电常数为 r，金属球电量为Q。 试求：（1）场强空间分布； （2）电势空间分布。 解：由对称性知，电场中各点的 D 矢量方向均 沿径向，D 的大小具有球对称性 （1）在介质球壳内作一半径 为 r ( R1 r R2 ) 高斯球面，则 由 D d s q0
E E0 r 3.33 10 2 kV m1 6 -2 P ( r 1) 0 E 5.89 10 C m 0 0 E0 8.85 10 6 C m 2 ' P 5.89 10 6 C m2 6 -2 D 0 r E 0 E0 0 8.85 10 C m
（７） E gradV
几种典型带电体电场强度： 无限长带电直线 无限大平板
E
er 2 0 r
E 0(r R) 球壳内外电场 q E e 2 r 4 0 r
E en 2 0
3. 电势
（1）电场力做功
WAB
A
B
q0 E dl