湖南师范大学附属中学人教版高中数学必修五课件：1.2 应用举例(距离)(共21张PPT)
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节又化是∵简速∠得度B单ABD位=，118单0o位-660符o-号15为o =(1k0n5)o， 1答kn：A=B1两n岛m的ileB距/Dh=离(1为8512B0/3D6600n)mm20/sile2. 4
即:s1i节n 6=01海s里in/110小5 时=si0n.57154 m/6s 2 6 2
实际问题 → 数学问题（三角形）
→ 数学问题的解（解三角形）→ 实际问题的解
练习1.一艘船以32.2n mile / h的速度向正北航 行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向， 30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏 东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外
的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正 北方向航行吗？
解：选择一条水平基线HG，使 H、G、B三点在同一条直线上。 在H、G两点用测角仪器测得A
的仰角分别是、， CD=a，
测角仪器的高是h， 那么，在△ACD中，根据正弦 定理可得
ACCD sin si n CA AD D Csin a(sin )
ABAEhACsinh asinsin h
B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测
量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字
和公式写出计算 M，N 间的距离的步骤。
三、练习
A
B
1
2
1
2
M N
三、练习
A
B
1
2
1
2
MLeabharlann BaiduN
三、练习
如图，一艘船从C处以30 n mile/h的速度往北偏东15o的A
岛行驶，若船在C处测得B岛在北偏西30o的方向，行驶20
B两点间的距离（精确到0.1m）
B
解：如图，在△ABC中，
B=180o-(51o+75o)=54o
所以由 AB AC sin C sin B
A 51o 55m 75o C
可得 AB AC sin C 55sin 75 65.7(m) sin B sin 54
答：A,B两点间的距离约为65.7米。
a sin
sin180 (
)
a
sin(
sin
)
AB AC2 BC2 2AC BC cos
三、练习
为了测定河对岸两点A、B间的距离,在岸边选定1公里长 的基线CD,并测得∠ACD=90o, ∠BCD=60o，∠BDC=75o， ∠ADC=30o，求A、B两点的距离.
AD cC o3sD 0 0 233； BD sin 1C 8 (0D 0s6i6 n0 0 0 075 0)
6; 2
AB AD 2BD 22AD BD co7s5 0(30 0) 30 6
B
D A
C
三、练习
（2009 宁夏海南卷理）为 了测量两山顶 M，N 间的 距离，飞机沿水平方向在 A，B 两点进行测量，A，
A
B
1
2
1
2
M
N
B，M，N 在同一个铅垂
平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和 A，
min后在D处测得B岛在北偏西45o的方向，到达A岛后又 测得B岛在北偏西60o的方向，试求A岛与B岛的距离。
解：依题意可得，
B
∠BCD=45o ， ∠BDA=60o，
n∴m∠ileC/hB即D=是∠：BD海A里-∠/每B小CD时=15o， 海里C是D 长3度0单1位，10其n单m位ile符号为(n mile)， 1(只n由适ms用iilnBe于=D415航85程23smi)n1一105海可里得约B为D 3.7里260。22
60o A
45o
D 30o
C
四、小结 解斜三角形应用题的一般步骤是： 1.分析：理解题意，画出示意图 2.建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中 3.求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三 角形，求得数学模型的解。 4.检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得 出实际问题的解。 方法：
解：在ASB中，SBA＝115，
S 45，由正弦定理得
SB AB sin 20 16.1sin 20 7.787(n mile)
sin 45
sin 45
设点S到直线AB的距离为h, 则
h SB sin 65 7.06(n mile)
h 6.5n mile 此船可以继续沿正北方向航行
答：此船可以继续沿正北方向航行
§1.2.1
一、基本概念
解斜三角形中的有关名词、术语：
（1）坡度：斜面与地平面所成的角度。 （2）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在
水平线上方的角叫仰角，视线在水平 线下方的角叫俯角。 （3）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的夹角。 （4）方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角。 （5）视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而 成的角
最大角度
解：由余弦定理，得
BC 2 AB2 AC 2 2 AB AC cos A
1.952 1.402 21.951.40 cos 66 20
C
3.571
BC 1.89(m)
答：顶杆BC约长1.89m。
A 66 20
B
§1.2.1
一、例题
例3.如图， AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建 筑的最高点，试设计一种测量建筑物高度AB的方法。
练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计 算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵 顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间 的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到 0.01m）．
已 知 △ ABC 中 AB＝1.95m，AC＝ 1.40m， 夹 角 ∠ CAB＝66°20′， 求 BC．
练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm, 灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏
东60 ° ，则A、B之间的距离为多少？ 2a
二、应用举例
例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。
测量者在A的同侧，在其所在的河岸边选定一点C，测出
AC的距离是55m，∠BAC＝51o， ∠ACB＝75o，求A、
二、应用举例
例2.A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种
测量两点间的距离的方法。 A
B
解：如图，测量者可以在
河岸边选定两点C、D，设
CD=a，∠BCA=α，
∠ACD=β，∠CDB=γ，
δ
∠ADB=δ
γ
D
a
AC
asin( )
sin180 (
)
a sin( sin(
)
)
α β
C
BC
即:s1i节n 6=01海s里in/110小5 时=si0n.57154 m/6s 2 6 2
实际问题 → 数学问题（三角形）
→ 数学问题的解（解三角形）→ 实际问题的解
练习1.一艘船以32.2n mile / h的速度向正北航 行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向， 30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏 东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外
的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正 北方向航行吗？
解：选择一条水平基线HG，使 H、G、B三点在同一条直线上。 在H、G两点用测角仪器测得A
的仰角分别是、， CD=a，
测角仪器的高是h， 那么，在△ACD中，根据正弦 定理可得
ACCD sin si n CA AD D Csin a(sin )
ABAEhACsinh asinsin h
B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测
量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字
和公式写出计算 M，N 间的距离的步骤。
三、练习
A
B
1
2
1
2
M N
三、练习
A
B
1
2
1
2
MLeabharlann BaiduN
三、练习
如图，一艘船从C处以30 n mile/h的速度往北偏东15o的A
岛行驶，若船在C处测得B岛在北偏西30o的方向，行驶20
B两点间的距离（精确到0.1m）
B
解：如图，在△ABC中，
B=180o-(51o+75o)=54o
所以由 AB AC sin C sin B
A 51o 55m 75o C
可得 AB AC sin C 55sin 75 65.7(m) sin B sin 54
答：A,B两点间的距离约为65.7米。
a sin
sin180 (
)
a
sin(
sin
)
AB AC2 BC2 2AC BC cos
三、练习
为了测定河对岸两点A、B间的距离,在岸边选定1公里长 的基线CD,并测得∠ACD=90o, ∠BCD=60o，∠BDC=75o， ∠ADC=30o，求A、B两点的距离.
AD cC o3sD 0 0 233； BD sin 1C 8 (0D 0s6i6 n0 0 0 075 0)
6; 2
AB AD 2BD 22AD BD co7s5 0(30 0) 30 6
B
D A
C
三、练习
（2009 宁夏海南卷理）为 了测量两山顶 M，N 间的 距离，飞机沿水平方向在 A，B 两点进行测量，A，
A
B
1
2
1
2
M
N
B，M，N 在同一个铅垂
平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和 A，
min后在D处测得B岛在北偏西45o的方向，到达A岛后又 测得B岛在北偏西60o的方向，试求A岛与B岛的距离。
解：依题意可得，
B
∠BCD=45o ， ∠BDA=60o，
n∴m∠ileC/hB即D=是∠：BD海A里-∠/每B小CD时=15o， 海里C是D 长3度0单1位，10其n单m位ile符号为(n mile)， 1(只n由适ms用iilnBe于=D415航85程23smi)n1一105海可里得约B为D 3.7里260。22
60o A
45o
D 30o
C
四、小结 解斜三角形应用题的一般步骤是： 1.分析：理解题意，画出示意图 2.建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中 3.求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三 角形，求得数学模型的解。 4.检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得 出实际问题的解。 方法：
解：在ASB中，SBA＝115，
S 45，由正弦定理得
SB AB sin 20 16.1sin 20 7.787(n mile)
sin 45
sin 45
设点S到直线AB的距离为h, 则
h SB sin 65 7.06(n mile)
h 6.5n mile 此船可以继续沿正北方向航行
答：此船可以继续沿正北方向航行
§1.2.1
一、基本概念
解斜三角形中的有关名词、术语：
（1）坡度：斜面与地平面所成的角度。 （2）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在
水平线上方的角叫仰角，视线在水平 线下方的角叫俯角。 （3）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的夹角。 （4）方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角。 （5）视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而 成的角
最大角度
解：由余弦定理，得
BC 2 AB2 AC 2 2 AB AC cos A
1.952 1.402 21.951.40 cos 66 20
C
3.571
BC 1.89(m)
答：顶杆BC约长1.89m。
A 66 20
B
§1.2.1
一、例题
例3.如图， AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建 筑的最高点，试设计一种测量建筑物高度AB的方法。
练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计 算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵 顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间 的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到 0.01m）．
已 知 △ ABC 中 AB＝1.95m，AC＝ 1.40m， 夹 角 ∠ CAB＝66°20′， 求 BC．
练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm, 灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏
东60 ° ，则A、B之间的距离为多少？ 2a
二、应用举例
例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。
测量者在A的同侧，在其所在的河岸边选定一点C，测出
AC的距离是55m，∠BAC＝51o， ∠ACB＝75o，求A、
二、应用举例
例2.A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种
测量两点间的距离的方法。 A
B
解：如图，测量者可以在
河岸边选定两点C、D，设
CD=a，∠BCA=α，
∠ACD=β，∠CDB=γ，
δ
∠ADB=δ
γ
D
a
AC
asin( )
sin180 (
)
a sin( sin(
)
)
α β
C
BC