自相关函数

E x E y E xy
信号的互能量为： Exy
2 x(t ) y(t )dt


两函数的标量积： ( x, y )



x(t ) y(t )dt
6
5.1 信号的互能量与互能谱
(四)．广义瑞利公式、互能谱 1. 广义瑞利公式：
若信号x(t) 和 y(t) 为实函数，其频谱密度分别为
2
P lim
T
1 T 1 T

T 2 T 2 T 2 T 2
f ( t ) dt
（1.2—2）
2
P lim
T

f (t ) dt
3
5.1 信号的互能量与互能谱
(二)．能量谱与功率谱 1. 能量谱: E



1 f (t )dt 2
2



F ( ) d
2、Rxy ( ) 和
Ryx ( ) Ryx ( )
Ryx ( )
不是同一个函数，即：
Rxy ( ) Ryx ( )
但存在下列关系：
Rxy ( ) R yx ( )
15
5.4 信号的互相关函数
（二）相关与卷积的关系
卷积：
x(t ) y(t ) x( ) y(t )d
return 18
2
该式为帕色伐尔（斯瓦尔）定理，又成称为瑞利公式。 它表明：对于能量信号，在时域内计算的信号能量与在频域 内计算的信号能量相等。 其中|F()|2 表明了信号能量在频域的分布情况，所以 被称为能量谱密度,简称能谱。记作：
W ( ) F ( )
2
因为能谱是频谱密度模的平方，与相位无关。 对波形相同而时间位置不同的所有信号，其能谱完全相同。 4

，Y ( )
由此可见，两信号的互相关函数和互能谱是一对傅立叶变换。
Rxy ( ) Wxy ( ) X ( )Y ( )

（四）离散信号的互相关函数
Rxy ( )
j
x( j ) y ( j n)

return 17
作业：5-3，5-4， 5-10，5-11
周期函数：其自相关函数为
周期信号的自相关函数是 的周期函数，周期为T。 当=0 或 T 的整数倍时，x(t- )=x(t), Rx()达到最大值， 9 为x(t)的平均功率。
1 Rx ( ) T

T 2
T 2
x(t ) x (t )dt
5.2 信号的相关分析
（四）自相关函数与能谱的关系
x( j ) x( j n)
R( n ) R( n )
1、离散自相关函数是偶函数
2、在n=0时，自相关函数就是离散信号的能量
Rx (0)
j
x ( j) E
2

x
return 12
5.4 信号的互相关函数
（一）互相关函数 描述两信号之间的相互关系， 设 x(t)、 y(t) 为能量信号，则 x(t)、 y(t) 的互相关函数为 即两信号波形的相似程度，时 间轴上的位置差别
第五章
信号相关分析原理
5.1 信号的互能量与互能谱 5.2 信号的相关分析
5.3 离散信号的自相关函数
5.4 信号的互相关函数 作 业
1
U 由公式： E I Rdt dt R 信号的能量： 指信号f(t)的归一化能量，即信号的电
2 (一)．信号的能量与功率
5.1 信号的互能量与互能谱

2
当R=1时，即可得公式（5.1—1）。 压（电流）加在1电阻上所消耗的能量。
E
若f(t)为实数



| f (t ) | dt
2
E
2 （5.1—1） 如果在无限大的时间间隔内， 信号的能量为有限值，而信号 的平均功率为零

f (t )dt
对于能量信号E为有限值。
2
5.1 信号的互能量与互能谱
2. 功率谱：
设 f T0 (t ) 是 f (t ) 的截短函数 则f(t)的功率谱密度函数为
f (t ) t T0 2 fT0 (t ) t T0 2 0
S ( ) lim
FT0 ( ) T0
2
T0
所以
1 P 2


S()为信号的功率谱密度，
s( ) lim
则：

X T0 ( ) T0
2
T0
S ( ) R( )e

j
d
d
return 11
1 R( ) 2



S ( )e
j
5.3 离散信号的自相关函数
离散信号的自相关函数：

R(n )
性质：
j


互相关：
Rxy ( ) x( ) y( t )d


16
5.4 信号的互相关函数
（三）相关定理
若
x (t ) ， y (t )
的频谱函数分别为

X ( )
则：
F Rxy ( ) X ( ) Y ( ) F Ryx ( ) Y ( ) X ( )
（一）信号的自相关函数 为了定量地确定信号x(t) 与时移副本x(t-) 的差别或 相似程度，通常用自相关函数：
Rx ( ) x(t ) x(t )dt


自相关函数的特点：
1. 自相关函数是偶函数

R( ) R( )
2
2. 当=0 时，自相关函数等于信号的能量
Rx (0) x (t )dt Ex

S ( )d
5
5.1 信号的互能量与互能谱
(三)．两信号的互能量 两信号x(t) 、y(t)之和的能量为：
E ( x(t ) y(t )) dt
2

x (t )dt
2

（两信号之和的能量，除 2 了包含两信号各自的能量 y外，还包含一项E (） y(t )dt (t )dt 2 x t ) xy
1 Rx ( ) 2



X ( ) e
2
j
d
1 2



Wx ( )e
j
d
可见，自相关函数等于 信号能谱的傅立叶变换。由 此易得：
Wx ( ) Rx ( )e


j
d
10
5.2 信号的相关分析
（五）自相关函数与功率谱的关系
维纳—辛钦（Wiener-Khintchine）关系：

3. Rx(0)为自相关函数的最大值
8
5.2 信号的相关分析
（二）无限长信号的自相关函数 无限长非周期函数：由有限时间信号的周期T0趋于
无穷大时获得的。
为使所得R() 的表达式不发散，定义新自相关函数：
1 Rx ( ) lim T0 T 0

T0 2
T0 2
x (t ) x (t )dt
5.1 信号的互能量与互能谱
信号的功率：信号电压（或电流）在1欧姆电阻上所消耗的功率。
在[T1，T2]时间内平均功率可表示为：
1 P T2 T1

T2
T1
f (t ) dt
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2
1 设T2=T/2，T1=-T/2，则： p T
当T时 若f(t)为 实函数

T 2 T 2
2
f ( t ) dt
X ( ) 和 Y ( ) ，则
2. 互能谱：
1 ( x, y ) x(t ) y (t )dt 2





X ( )Y ( )d

Wxy ( ) X ( )Y ( )
Wxy()称为信号x(t)、y(t)的互能谱密度，简称互能谱。
return 7
5.2 信号的相关分析
Rxy ( ) x(t ) y(t )dt


式中 为两信号的时差。
Ryx ( ) y(t ) x(t )dt


如果两信号正交



x(t ) y(t )dt 0
13
说明正交信号之间毫无相似之处。
5.4 信号的互相关函数
若 x(t),y(t) 为功率信号，则 x(t), y(t) 的互相关函数为
1 Rxy ( ) lim T0 T 0

T0 2
T0 2
x (t ) y (t )dt
1 R yx ( ) lim T0 T 0

T0 2
T0 2
y (t ) x (t )dt
14
5.4 信号的互相关函数
互相关函数性质： 1、互相关函数不是偶函数。
Rxy ( ) Rxy ( )