山东省商河县第一中学2021届高三上学期12月联考数学试卷(PDF版)

2 cos A 2sin A cos A ，
2
22
cos
A 2
0
，故
sin
A 2
2， 2
A 90 ．
……………………………………………………………………………7 分
sin B 4 b ，a 25 ，
5a
4
……………………………………………………8 分
c a cos B 25 3 15 ， 45 4
an 2n
…………………………………………………………………………3 分
选择①当 n 1 时， b1 B1 20 ，
当 n 2 时， bn Bn Bn1 22 2n ， ………………………………………………5 分
bn 22 2n ，
………………………………………………………………………6 分
（Ⅱ）因为 h1 t 1 sin t 0 ,
所以
h1
t
在
1,
3 2
上单调递减，
所以当 t 1时, h1 t 取得最大值为 3 cos1 . …………………………………………7 分
.
…………………………12 分
20.解：（Ⅰ）曲线 E1 解析式为 y c o s x 1 ，
所以点 D 的坐标为 (t, cos t 1) ，点 O 到 AD 的距离为1 cos t ,
而 AB DC 3 t ,则
h1 (t )
(3
t)
(1
cos t)
t
cos t
4，1
t
3 2
…………………………………2 分
y x
2z z 2
，
令 z 2 ，所以 n (1, 4, 2) ，
………………………………………………………9 分
所以 cosm, n
m n
2
2 2 21 ，
| m | | n | 1 116 4 21 21
所以平面
AEFG
与底面
ABCD
所夹锐角的余弦值为
2
21 21
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97(14 178) 24 2 7954 7940
1 2
2
……………………………12 分
19.解：（Ⅰ）以 C 为原点，CD, CB, CF 所在直线分别为 x 轴， y 轴，建立如图所示的空间
直角坐标系 O xyz .
……………………………………………1 分
设点 F (0, 0, h) ，且有 A(2, 2, 0) ， G(2, 0, 4) ， E(0, 2,1) ，
5
5
……………3 分
所以 S 1 ac sin B 1 125 4 25 ，
2
2452
所以 ABC 的面积的最大值为 25 . 2
………………………………5 分
（Ⅱ）由正弦定理得 2 sin C sin A sin Asin C 2
sin C 0 ，
2 sin A sin A ．即 2
4
13.
3
14． 2 3
15． ,12,
16.
1，
13 6
,
19 6
四、解答题（17 题 10 分；18、19、20、21、22 每题 12 分）
17.解：（Ⅰ）cos B 3 ，sin B 4 ，
5
5
由余弦定理知： b2 a2 c2 2ac cos B ，
即 25 a2 c2 6 ac 2ac 6 ac ，当且仅当 a c 时取等号.
选择② Bn1 Bn bn 2 ，
即 bn1 bn 2 ， 所以bn 是首项为 20，公差 2 的等差数列， …………………5 分
bn 22 2n
… ……………………………………………………………………6 分
选择③ bn 22 2 log2 2n 22 2n .…………………………………………6 分
（Ⅱ）根据题意可取平面 ABCD 的一个法向量为 m (0, 0,1) ， ……………………7 分
由（Ⅰ）知 AG (0, 2, 4) ， AE (2, 0,1) ，
设平面 AEFG 的法向量为 n (x, y, z) ，
则由
nn
AE AG
0 0
，得
2 y 4z 0
2x
z
0
，即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： cn
an *bn
2n ,1 22
n 2n,
3 n
4
n N*
…… …………………8 分
所以， T100 a1 a2 a3 b4 b5 b6 b100
a1 1 q3 97 b4 b100
1 q
2
………………………………………………………10 分
2 1 23
因为几何体是由底面为 ABCD 的正四棱柱被截面 AEFG 所截而得到的， 所以平面 ADG / / 平面 BCFE ， 又平面 ADG 平面 AEFG AG ,平面 BCFE 平面 AEFG EF , 所以 AG / / EF ，同理 AE / /GF ，所以四边形 AEFG 是平行四边形， …………2 分
数学参考答案 第 2 页 （共 7 页）
所以 AG EF ，即 (0, 2, 4) (0, 2, h 1) ，得 h 5 …………………………………4 分
易知制作成的阳马 F ABCD 中，最长的棱长为 FA ，
所以 | FA | 4 4 25 33 ,
所以 FA 的长为 33 . ………………………………………………………………………6 分
关于曲线 E2 ，可知抛物线的方程为 x2
9 4
y ,
…………………………………………3 分
所以点
D
的坐标为
t,
4 9
t
2
，点
O
到
AD
的距离为
4 9
t
2
，
又 AB DC 3 t ,
可得
h2
t=
4 9
t2
t
3,
1
t
3 2
……………………………………………………5 分
数学参考答案 第 3 页 （共 7 页）
…………………………………………………………9 分
数学参考答案 第 1 页 （共 7 页）
周长为a b c 25 5 15 15 .
4
4
………………………………………10 分
18. 解：（Ⅰ）由已知得，an 为等比数列，公比为 q 2 ，
则 a1 2a1 22 a1 14
a1 2
4.
数学试题
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2021 届高三 12 月大联考
数学试题参考答案及评分标准
一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案 B
D
A
C
D
D
B
A
二、多项选择题（每小题 5 分，共 20 分）
题号
9
10 11 12
答案
BD
BC ACD AB
三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）