幂函数习题精选精讲(免费推荐)

幂函数

函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学学习的始终，而幂函数是其中的一部分内容，这部分内容虽然少而简单，却包含了一些重要的数学思想．下面剖析几例，以拓展同学们的思维． 一、分类讨论的思想 例1 已知函数223

n n y x

--=()n ∈Z 的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数的图象．

解：因为图象与y 轴无公共点，故2

230n n --≤，又图象关于y 轴对称，则2

23n n --为偶数，由2

230n n --≤，得13n -≤≤，

又因为n ∈Z ，所以0123n =±，

，，． 当0n =时，2

233n n --=-不是偶数； 当1n =时，2234n n --=-为偶数； 当1n =-时，2230n n --=为偶数； 当2n =时，2233n n --=-不是偶数； 当3n =时，2230n n --=为偶数； 所以n 为1-，1或3．

此时，幂函数的解析为0

(0)y x x =≠或4

y x -=，其图象如图１所示．

二、数形结合的思想

例2 已知点(22)，在幂函数()f x 的图象上，点124⎛

⎫- ⎪⎝

⎭，，在幂函数()g x 的图象上．

问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <． 分析：由幂函数的定义，先求出()f x 与()g x 的解析式，再利用图象判断即可．

解：设()m

f x x =，则由题意，得2(2)m

=，

∴2m =，即2()f x x =．再令()n

g x x =，则由题意，得

1

(2)4

n =-， ∴2n =-，即2

()(0)g x x x -=≠．在同一坐标系中作出

()f x 与()g x 的图象，如图2所示．由图象可知： （1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >； （2）当1x =±时，()()f x g x =；

（3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <．

小结：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用，注意本题中()g x 的隐含条件0x ≠． 三、转化的数学思想

例3 函数1

2

24

(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是（ ）．

Ａ．(512)-， Ｂ．(51)-+，∞

Ｃ．(22)-，

Ｄ．(1515)---+，

解析：要使函数1

2

24

(42)

(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，可转化为2420mx x m +++>对一切实数都成立，

即0m >且2

44(2)0m m ∆=-+<．

解得51m >-． 故选（Ｂ） 幂函数中的三类讨论题

所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略． 分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重、不漏的分类讨论．在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据幂函数的图象和性质，依据幂函数的单调性分类讨论，使得结果得以实现． 类型一：求参数的取值范围 例1 已知函数223

()()m m f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式．

分析：函数223

()()m m f x x

m -++=∈Z 为偶函数，已限定了223m m -++必为偶数，且m ∈Z ，(3)(5)f f <，只要根据条件分类讨

论便可求得m 的值，从而确定()f x 的解析式．

解：∵()f x 是偶函数，∴2

23m m -++应为偶数．

又∵(3)(5)f f <，即2

2

23

23

3

5m m m

m -++-++<，整理，得223

315m m -++⎛⎫< ⎪

⎝⎭

，∴2230m m -++>，∴312

m -<<

． 又∵m ∈Z ，∴0m =或1．

当m =0时，2233m m -++=为奇数（舍去）；当1m =时，2

232m m -++=为偶数．

故m 的值为1，2

()f x x =．

评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础． 类型二：求解存在性问题

例2 已知函数2

()f x x =，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(]4--，

∞是减函数，且在区间(40)-，

上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由． 分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间．

解：∵2

()f x x =，则4

2

()(21)1g x qx q x =-+-+． 假设存在实数(0)q q <，使得()g x 满足题设条件，

设12x x <，则4

2

4

2

121122()()(21)(21)g x g x qx q x qx q x -=-+-+--

22

122112()()[()(21)]x x x x q x x q =+-+--．

若(]124x x ∈--，，

∞，易知120x x +<，210x x ->，要使()g x 在(]4--，∞上是减函数，则应有2

2

12()(21)0q x x q +--<恒成立．

∵14x <-，24x -≤，∴2

2

1232x x +>．而0q <，