应用数理统计基础

应用数理统计基础（庄楚强）考试共8道题1、样本的数据期望与方差2、2χ分布的概念与性质3、一连续型函数（只有一个未知参数）的无偏估计4、一正态分布的置性区间5、两个未知参数函数的矩估计6、①求一离散型的总体似然估计②求未知参数的信息量③求得的似然估计是否是最小方差估计7、正态分布的假设检验8、一离散型总体的假设检验第二章、数理统计的基本概念与抽样分布第一节、数理统计的几个基本概念重点：统计量，书中例题2、习题第四题第三节、常用统计分布重点：常用统计分布（2χ、t、F）的定义及性质第四节、抽样分布重点：定理1及推论、定理4及推论本章习题4、5、7、9、13、19、20第三章、参数估计掌握：矩估计、极大似然估计、区间估计本章习题1、2、3、4、10、11、15、16、18、27、29第四、章假设检验重点：第二节、一个正态总体均值与方差的检验第三节、两个正态总体均值与方差的检验第四节、非正态总体均值的假设检验书上的例题、习题37、38、39、40第一章概率论复习与补充1、概率2、期望数据期望的性质性质1：常量的期望就是这个常量本身, 即E(c)=c.推论：E(Eξ) = Eξ性质2：随机变量ξ与常量 c 之和的数学期望等于ξ的期望与这个常量 c 的和E(ξ+c)=Eξ+c性质3：E(cξ) = cE ξ性质4：随机变量的线性函数的数学期望等于这个随机变量期望的同一线性函数E(k ξ+c)=k E ξ+c3、方差方差的性质性质1：常量的方差等于零。

即：设c为常数，则Dc = 0性质2：随机变量与常量之和的方差就等于随机变量的方差本身即：D(X+c)=DX性质3：常量与随机变量乘积的方差，等于常量的平方与随机变量方差的乘积。

即：D(cX )=c2DX性质4：设k , b为常数，则：D(kX +b)=k2DX性质5：两个独立随机变量和(差)的方差，等于这两个随机变量方差的和。

即：D(X Y ) = DX +DY第二章数理统计的基本概念与抽样分布1、统计量(第一题样本数据期望与方差)预测类似题目可能会有二项分布B(n,p)、0—1分布B(1,p)、均匀分布R[a,b]、指数分布E(λ)、正态分布N(μ,σ2)。

2、常用统计分布（第二题有开方分布的概念与性质）1) 正态分布函数定义：若连续随机变量Xμ为常数，σ > 0 为常数，则称 X 服从参数为 μ , σ 2 的正态分布，记为 X ~ N (μ ,σ 2)。

其分布函数为正态分布满足密度函数的两个性质：(1) ϕ (x ) > 0 x ∈R (2) (x)1dx ϕ+∞-∞=⎰标准正态分布参数μ = 0,σ =1的正态分布称为标准正态分布其密度函数为：记为X ~ N (0,1) 一般正态分布与标准正态分布的关系若 X ~ N (μ , σ 2)，Y~ N (0 , 1)，它们的密度函数分别记为ϕ (x )和 ϕ 0(x ) ，分布函数分别记为Φ (x ) 和Φ0 (x ) ，则证明：2) χ2分布定义 设随机变量X 1,X 2,…,X n 相互独立,且同服从标准正态分布，则它们的平方和 χ 2= X 12+X 22+… +X n 2服从的分布称为自由度为 n 的χ 2分布。

记为： χ 2 ~ χ 2(n )χ 2 的密度函数为 10(s)(0)s t t e dt s +∞--Γ=>⎰220 () , x x x R φ-=∈φφ----===22 2()(x μ )σ 2σ211x μ(x) ()σσσ00φφφ--∞-∞-∞--Φ====⎰⎰⎰x μx x σ0 1t μx μ(x) (t)dt ()dt (y)dy Φ ()σσσ12221, 0 ()2()20 , 0 x n n e x x n f x x --⎧>⎪⎪=Γ⎨⎪⎪≤⎩当时当时χ2分布的基本性质(1) 2(),,2Xn X n DX n χ==若则：E χ 2的特征函数 2()(12)n t it φ-=-(2) 若 X~χ 2(n )，Y~χ 2(m )，且X 与Y 相互独立， 则 X +Y~ χ 2 (n+m ) 推论：（1） 若 X i ~χ 2(n i ), i = 1, 2, …, n ，且相互独立， 则：211()nnii i i Xn χ==∑∑(2) 若 X 1, X 2, …, X n 相互独立，同服从于正态分布N ( μi , σi 2)，则221()()ni ii iX u n χσ=-∑(3) 若2()n ηχ分布, 则当 n 充分大时, 2nnη-近似服从N(0,1). (4) 若2()n ηχ分布, 则当 n 充分大时,221n η--近似服从N(0,1).χ2分布的临界值（α 分位点）对于给定α（0<α <1）,称满足条件：特征函数定义 设 ξ为一个实随机变量, F ( x )为ξ的分布函数, t 为实数, 称函数 ()()()it itx t E e e dF x ξξφ+∞-∞==⎰为随机变量ξ( 或分布函数F ( x ) )的特征函数。

当ξ为连续型随机变量时, 特征函数为：()()()it itx t E e e p x dx ξξφ+∞-∞==⎰当ξ为离散型随机变量时, 特征函数为：()(){}kkitx itx it k k k kt E e e p x e p ξξφξ====∑∑特征函数的一些常用性质性质1 有界性φ( t ) ≤φ( 0) = 1 。

性质2 设η= k ξ+ b , 其中k , b 为常数, 则()()()itb k b t t e kt ηξξφφφ+==证()()()[][]()it k b itb i kt itb t E e E e e e kt ξξηξφφ+===22{()}P n αχχα>=22()()n n αχχ的点为分布的 α。

上分位点2() n n αχα的值依赖于和自由度，可查表获得。

性质3 若ξ, η独立, 则()()()t t t ξηξηφφφ+=•性质4 若ξ的n 阶原点矩存在, 则ξ的特征函数的n 阶导数存在, 且有()(0)k k k E i ξφ=- ( k = 1 , 2 , ⋯ , n )性质5 特征函数与分布函数相互唯一确定(不证) .即分布函数唯一地决定特征函数,而特征函数也唯一地决定分布函数, 特别地, 当ξ为连续型随机变量, 且有F ′( x ) = p ( x ) 及()t t d φ+∞-∞<+∞⎰时，则()()itx x t e p x d φ+∞-∞=⎰ 1()()2itx t p x e t d φπ+∞--∞=⎰3) t -分布服从的分布为自由度为 n 的 t 分布, 记为t ～ t (n)。

4) F 分布其中 n 1 叫做第一自由度， n 2 叫做第二自由度。

F 分布的性质性质1 若 F ~ F(m, n), 则 1/F ~ F(n, m);2.4~(0,1),~(),, n χ定义独立，则称随机变量5 X N Y XY ==X T1221()2()(1) , ()2n n t n x f x x n n +-+Γ=+-∞<<+∞Γ可以证明，自由度为的分布的密度函数为 t 可以证明，当自由度无限增大时，分布将趋于标准正态分布。

则称随机变量22125.4~(),~(),,n n χχ定义若独立，X Y X Y 12 (,)n n 自由度是的分布，F 12/ /n n =X F Y 所服从的分布为12~(,)n n 记作。

F F性质2 若2(),(1,)t n F n ξξ则5) 抽样分布定理1 设随机变量ξ1 ,ξ2 , ⋯ ,ξn 相互独立, 且2(,)ii i N u ξσ ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) ,则它们的任一确定的线性函数22111[,]nnni ii i i i i i i k N k u k ξσ===∑∑∑其中常数k 1 , k 2 , ⋯ , k n 不全为零.推论1 设总体ξ～ N (μ,σ2 ) , 而(ξ1 , ξ2 , ⋯ , ξn ) 是它的一个样本, 则样本的任一确定的线性函数22111[,]nnni ii i i i i i k N k u k ξσ===∑∑∑ 其中常数k 1 , k 2 , ⋯ , k n 不全为零.推论2 设总体ξ～ N(μ,σ2 ) , (ξ1 ,ξ2 , ⋯ ,ξn )是ξ的一个样本, 则样本均值ξ有()2,,0,1u N u N n nσξξσ⎛⎫- ⎪⎝⎭或推论3 设 ξ与η 为两个正态总体,ξ～ N (μ1 ,σ21 ) ,(ξ1 ，ξ2 , …ξn 1) 为ξ 的样本,η～ N (μ2 ,σ22) , (η1 ,η2 , ⋯ , ηn2)为η的样本, 且这两个样本独立, 则这两个样本均值ξ与η之差22121212(),N u u n n σσξη⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ 或()(0,1N ξη定理4 设总体ξ～ N (μ, σ2 ) , (ξ1 ,ξ2 , ⋯ ,ξn )是ξ的一个样本, 则(1)样本均值ξ与样本方差S 2 独立。

(2)()()22*222221(1)S 11nii nS n n ξξχσσσ=-==--∑推论1 设总体ξ～ N(μ, σ2 ) , (ξ1 ,ξ2 , ⋯ ,ξn )为ξ的一个样本, 则()1t n ξξ=-第三章 参数估计（4个题目51分）1、矩法（两个未知参数的矩估计 12分）在一定收敛意义上，经验分布函数是总体分布函数的近似，又由X инчен 大数定律可知，样本的k 阶原点矩11ki n ki n ξξ==∑是总体相应矩k E ξ的近似，这是矩估计法的根据．设（12,,,n ξξξ）为总体ξ 的样本，又总体ξ的k 阶原点矩存在但未知，我们用样本的k 阶原点矩11ki n ki n ξξ==∑ 作为k E ξ的估计量，即11n kk ki i E n ξξξ===∑ (特别是11n i i E n ξξξ===∑)这种用样本各阶原点矩的函数来估计总体各阶原点矩同一函数的方法，称为矩估计法，简称矩法．相应的估计量称为矩估计量。

特别地，当总体方差D ξ 存在时，它的矩估计量就是样本方差S ２ ，即2211()ni i D S n ξξξ==-=∑λξ= 或 2S λ=极大似然估计设总体分布(以离散型为例)为P(X=x)=F(x,θ1, θ2…… ,θk ),（θ1, θ2…… ,θk )∈Θ未知，样本(X 1, X 2, …, X n )来自总体 X ，则样本(X 1, X 2, …, X n )的概率分布函数为：12121211(,,,,,,,)()(,,,)nnn k i i i k i i L x x x P X x F x θθθθθθ=====∏∏进行一次具体的抽样之后，(X 1, X 2, …, X n ) 得到一组观察值 (x 1, x 2, …, x n )。