浙教版八年级数学下册一元二次方程的解法教案

2.2 一元二次方程的解法

教学目标

会利用因式分解法、开平方法、配方法、公式法解一元二次方程；能利用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况．

重难点

重点：四种一元二次方程的解法和一元二次方程根的判别式的意义. 难点：用因式分解法和配方法解一元二次方程． 教学过程 一、探究新知

上节课我们学习了一元二次方程的有关概念，同学们还记得吗？谁能说一说？ 教师：我们知道“能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）”，那么我们怎么求一元二次方程的解呢？

学生思考，教师引入新课. 二、例题导学 1.因式分解法 例1 解下列方程:

(1)x 2

-3x =0. (2)25x 2

=16.

解：（1）将原方程的左边分解因式，得x （x -3）=0，则x=0，或x -3=0，解得x 1=0，x 2=3. （2）移项，得25x 2-16=0.将方程的左边分解因式，得（5x -4）（5x +4）=0，则5x -4=0， 或5x +4=0，解得x 1=

54，x 2=5

4

. 像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程.

例2 解下列一元二次方程： (1)(x -5)(3x -2)=10. (2)(3x -4)2=(4x -3)2.

学生独立完成，教师巡视、指导. 2.开平方法

一般地，对于形如x 2

=a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可得x 1x 2.这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.

例3 用开平方法解下列方程： (1)3x 2-48=0. (2)(2x -3)2=7.

解：（1）移项，得3x 2=48.方程的两边同除以3，得x 2=16.解得x 1=4，x 2=-4.

（2）由原方程，得2x -3=7，或2x -3=-7，解得x 1=273+，x 2=2

7

3-. 3.配方法

将一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

例4 用配方法解下列一元二次方程： (1) x 2+6x =1. (2)x 2+5x -6=0.

解：（1）方程的两边同加上9，得x 2+6x +9=1+9，即（x +3）2

=10.则x +3=10，或x +3=-10，

解得x 1=-3+10，x 2=-3-10.

（2）移项，得x 2+5x =6.方程的两边同加上2)25

(，得x 2

+5x +2)25(=6+2)25(，即4

49)25(2=

+x . 则2725=+

x ，或2

7

25-=+x ，解得x 1=1，x 2=-6. 4.公式法

(1)ax 2

－7x +3 =0. (2)ax 2

+bx +3=0.

(3)如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．

问题：已知ax 2

+b x +c =0(a ≠0)，试推导它的两个根x 1=2b a

-+，x 2=

2b a

-(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)

解：移项，得ax 2

+bx =-c . 二次项系数化为1，得x 2+b a x =-c a

. 配方，得x 2+

b

a x +(2

b a )2=-

c a +(2b a

)2，

即(x +2b a )2=22

44b ac

a

-. ∵4a 2

>0，当b 2

-4ac ≥0时，22

44b ac a

-≥0,

∴(x +2b a )2=(2a

)2

，

直接开平方，得x +2b a =，即x

∴x 1x 2由上可知，一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0，当b 2-4ac ≥0时，将a ，

b ，

c 代入式子x =2b a

-±就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过

的六种运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性)

(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式． (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 例5 用公式法解下列一元二次方程： (1)2x 2-5x +3=0； (2)4x 2+1=-4x ； (3）

34x 2-2x -1

2

=0. 解：（1）对方程2x 2

-5x +3=0，a =2,b =-5,c =3,b 2

-4ac =（-5）2

-4×2×3=1，∴x =

4

15221)5(±=

⨯±--，∴x 1=23415=+，x 2=1415=-. （2）移项，得4x 2+4x +1=0，则a =4,b =4,c =1,b 2-4ac =42

-4×4×1=0，∴2

1

4204-=⨯±-=x ，

∴2

121-

==x x . （3）方程的两边同乘4，得3x 2

-8x -2=0.则a =3,b =-8,c =-2,b 2

-4ac =（-8）2

-4×3×（-2）

=88，∴322432888±=

⨯±=

x ，∴32241+=x ，3

22

42-=x . 从一元二次方程ax 2

+bx +c =0(a ≠0)的求根公式的推导过程中不难看出，方程的根的情况由代数式b 2

-4ac 的值来决定.因此b 2

-4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是：

b 2-4a

c ＞0则方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个不相等的实数根； b 2-4ac =0则方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个相等的实数根； b 2-4ac ＜0则方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)没有实数根.