专题函数常见题型归纳(教师版)

专题函数常见题型归纳

本专题热点考点可总结为六类：一是分段函数的求值问题，二是函数的性质及其应用，三是基本函数的图像和性质，四是函数图像的应用，五是方程根的问题，六是函数的零点冋题。

考点一分段函数求值问题

2x，x>0 ，

【例1】已知函数f(x)= 若f(a)+ f(1) = 0,则实数a的值等于( )

x+ 1，x<0.

【解析】由已知，得f(1) = 2 ;又当x>0时，f(x) = 2x>1，而f(a) + f(1) = 0,「

f(a) ——2，且a<0，.・.a + 1 ——2，解得a ——3

lgx，x > 0，

【例2】设f(x)—则f(f(-2)) — ________ .

10x，xO，

lgx，x>0，

【解析】f(x) —Q —2<0，f( —2) —10 -2; Q10 -2>0，

10x，x<0，

f(10 -2) —lg10 -2—-2.

【解题技巧点睛】求f(g(x))类型的函数值时，应遵循先内后外的原则，而对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解，特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性.

考点二函数性质的基本应用

【例3】下列函数中，既是偶函数又在(0，+^)单调递增的函数是()

A. y —x3

B. y —|x|+ 1

C. y — -x2+ 1 D . y —2-|x|【答案】B

【解析】A 选项中，函数y 二x 3是奇函数；B 选项中，y = |x |+ 1是偶函数，且 在

(0, +^)上是增函数；C 选项中，y 二—x 2 +1是偶函数，但在(0, +^)上

1

是减函数；D 选项中，y = 2-|x| = 1x1是偶函数，但在(0，+^)上是减函数.故 选B.

x

【例4】若函数f(x)二

为奇函数，贝U a =( )

2x + 1 x — a

x

【解析】 法一：由已知得f(x)二 ----------------- 定义域关于原点对称，由于

2x + 1 x — a 1

1

该函数定义域为 x X M — 且x 它，知a =，故选A.

2 2

一 x 一 x

则2x 2 — 1 — 2a x — a — 2x 2 + - 2a x — a ，因函数的定义域内恒成立，可得

1

(1 2a) 1 2a,

1 2a 0, a — ?. 1 【例5】函数y

的图像与函数y 2sin x ( 2

1 x

横坐标之和等于( ).

C . 6

法二: vf(x)是奇函数, --f(—X )= — f (x)，又 f (x) — 2x 2 +

x

1 — 2a x —

a

x 4)的图像所有交点的

B . 4

【答累】D

【解析】本題着査函数的图傢与性质反比例函数图15*三角函数圏僚、图像平移&对称性、 敌形结合思想等.是有难度的题目・利用数形结合思想求解函数交点个教问题是通性泓法.在 同一直角坐标系中画出两牛函数的圈稼（汪意利用函教图探殳换观点求作函数图曦丨 y = —

= —可看作由函数尸丄向右平移一牛单位得到）利用两个跑数有井同的

1 - x _（齐一 1） -x

对称中心（1,0）.设$个交点.的横坐标分别头Up 电，…,玛，结合函数图慷，由对称性 得叼十珂=2阳4■両=2, s 故所有交点的糧坐标之和等于$・

【解题技巧点睛】在解决与函数性质有关的问题中 ，如果结合函数的性质画出函 数的简图，根据简图进一步研究函数的性质，就可以把抽象问题变得直观形象、复 杂问题变得简单明了，对问题的解决有很大的帮助.（1）一般的解题步骤：利用函数 的周期性把大数变小或小数变大，然后利用函数的奇偶性调整正负号，最后利用函 数的单调性判断大小；⑵画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置 然后 利用单调性确定一段区间的图象，再利用奇偶性确定对称区间的图象，最后利用周 期性确定整个定义域内的图象

考点三 基本函数的性质与图像

【例 6】已知 a 5log23.4,b 5log43.6,c - 5

log 30.3

,则( ).

A . a b c

B . b a c

C . a c b

D . cab

【答案】C

【解析】根据对数函数的运算性质可知： a 5

log 2

3.4

,b 5lo

",c

也10

5 3,再由指

数函数

f （x ） 5x 为单调递增函数，因为lo

g 2-、3.6 log^.4 1 . log 2 3.4 log 2 2 1 ,

g 10 log 3 3 1，且也弓

3

3

a ， a —

b <1，

【例7】

对实数a 和b ，定义运算“ ？ ”： a?b = 设函数f(x)

b ，a — b>1.

=(x 2— 2)?(x — x 2), x € R ，若函数 y = f(x) — c 的图象与 X 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是() 【解析】本题考查二次函数的性质和图像。

x 2— 2，x 2 — 2 — (x — x 2) <1 ,

f(x) =

x — x 2, x 2 — 2 — (x — x 2)>i

则f (x )的图象如图:

■•y = f(x) — c 的图象与x 轴恰有两个公共点, ••y = f(x)与 y = c 的图象恰有两个公共点，

3

由图象知c <-2，或-1

考点四函数图像的应用

【例 8】 设函数 f(x)(x € R)满足 f(— x) = f(x)，f(x + 2) = f(x)，则 y = f(x)的图像

可能是()

3

x2 - 2

，— 1