中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)及详细答案
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中考数学直角三角形的边角关系(大题培优易错难题)及详细答案
一、直角三角形的边角关系
1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米.
【答案】553
【解析】
【分析】
如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可.
【详解】
解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.
∵AM⊥CD,
∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°,
∴四边形OQMP是矩形,
∴QM=OP,
∵OC=OD=10,∠COD=60°,
∴△COD是等边三角形,
∵OP⊥CD,
∠COD=30°,
∴∠COP=1
2
∴QM=OP=OC•cos30°=3
∵∠AOC=∠QOP=90°,
∴∠AOQ=∠COP=30°,
∴AQ=1
OA=5(分米),
2
∴AM=AQ+MQ=5+3
∵OB∥CD,
∴∠BOD=∠ODC=60°
在Rt△OFK中,KO=OF•cos60°=2(分米),FK=OF•sin60°=23(分米),
在Rt△PKE中,EK=22
EF FK
-=26(分米),
∴BE=10−2−26=(8−26)(分米),
在Rt△OFJ中,OJ=OF•cos60°=2(分米),FJ=23(分米),
在Rt△FJE′中,E′J=22
63
-(2)=26,
∴B′E′=10−(26−2)=12−26,
∴B′E′−BE=4.
故答案为:5+53,4.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.
2.在矩形ABCD中,AD>AB,点P是CD边上的任意一点(不含C,D两端点),过点P 作PF∥BC,交对角线BD于点F.
(1)如图1,将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF,QF交AD于点E.求证:△DEF是等腰三角形;
(2)如图2,将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF',连接P'C,F'B.设旋转角为α(0°<α<180°).
①若0°<α<∠BDC,即DF'在∠BDC的内部时,求证:△DP'C∽△DF'B.
②如图3,若点P是CD的中点,△DF'B能否为直角三角形?如果能,试求出此时
tan∠DBF'的值,如果不能,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)①证明见解析;②1
2
3
【解析】
【分析】(1)根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF ,所以△DEF 是等腰三角形;
(2)①由于PF ∥BC ,所以△DPF ∽△DCB ,从而易证△DP′F′∽△DCB ;
②由于△DF'B 是直角三角形,但不知道哪个的角是直角,故需要对该三角形的内角进行分类讨论.
【详解】(1)由翻折可知:∠DFP=∠DFQ ,
∵PF ∥BC ,
∴∠DFP=∠ADF ,
∴∠DFQ=∠ADF ,
∴△DEF 是等腰三角形;
(2)①若0°<α<∠BDC ,即DF'在∠BDC 的内部时,
∵∠P′DF′=∠PDF ,
∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF ﹣∠F′DC ,
∴∠P′DC=∠F′DB ,
由旋转的性质可知:△DP′F′≌△DPF ,
∵PF ∥BC ,
∴△DPF ∽△DCB ,
∴△DP′F′∽△DCB ∴''DC DP DB DF = , ∴△DP'C ∽△DF'B ;
②当∠F′DB=90°时,如图所示,
∵DF′=D F=
12BD , ∴'12
DF BD =, ∴tan ∠DBF′=
'12DF BD =;
当∠DBF′=90°,此时DF′是斜边,即DF′>DB ,不符合题意;
当∠DF′B=90°时,如图所示,
∵DF′=DF=12
BD ,
∴∠DBF′=30°,
∴tan ∠DBF′=3.
【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题,涉及旋转的性质,锐角三角函数的定义,相似三角形的性质以及判定等知识,综合性较强,有一定的难度,熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.
3.在平面直角坐标系中,四边形OABC 是矩形,点()0,0O ,点()3,0A ,点()0,4C ,连接OB ,以点A 为中心,顺时针旋转矩形AOCB ,旋转角为()0360αα︒<<︒,得到矩形ADEF ,点,,O C B 的对应点分别为,,D E F .
(Ⅰ)如图,当点D 落在对角线OB 上时,求点D 的坐标;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的情况下,AB 与DE 交于点H .
①求证BDE DBA ∆≅∆;
②求点H 的坐标.
(Ⅲ)α为何值时,FB FA =.(直接写出结果即可).
【答案】(Ⅰ)点D 的坐标为5472(
,)2525;(Ⅱ)①证明见解析;②点H 的坐标为(3,258
);(Ⅲ)60α=︒或300︒.
【解析】
【分析】 (Ⅰ) 过A D 、分别作,AM OB DN OA ⊥⊥,根据点A 、点C 的坐标可得出OA 、OC 的长,根据矩形的性质可得AB 、OB 的长,在Rt △OAM 中,利用∠BOA 的余弦求出OM 的长,由旋转的性质可得OA=AD ,利用等腰三角形的性质可得OD=2OM ,在Rt △ODN 中,利用∠BOA 的正弦和余弦可求出DN 和ON 的长,即可得答案;(Ⅱ)①由等腰三角形性质可